조각별로

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수학에서 조각별로 정의된 함수(piecewise function, hybrid function, 경우에 따른 정의)는 정의역이 여러 구간("하위 도메인")으로 분할되어 함수를 다르게 정의할 수 있는 함수입니다.^[1][2][3] 조각별 정의는 실제로 결과 함수 자체의 특성이 아니라 함수를 지정하는 방법입니다.

함수 속성이 모든 하위 도메인에 대해 속성이 유지되는 방식으로 함수를 조각별로 정의할 수 있는 경우 함수 속성은 함수에 대해 조각별로 유지됩니다. 이러한 조각별 특성을 갖는 함수의 예로는 조각별 상수 함수, 조각별 선형 함수(그림 참조), 조각별 연속 함수 및 조각별 미분 함수가 있습니다.

표기 및 해석

조각별 함수는 공통 함수 표기법을 사용하여 정의할 수 있으며, 여기서 함수의 몸체는 함수 및 관련 하위 도메인의 배열입니다. 이러한 하위 도메인은 전체 도메인을 함께 포함해야 합니다. 종종 이러한 도메인은 쌍으로 분리되어 있어야 합니다. 즉, 도메인의 파티션을 구성해야 합니다.^[4] 전체 기능을 "piecewise"라고 부르기 위해서는 일반적으로 하위 도메인이 구간이어야 합니다(일부는 퇴화된 구간, 즉 단일 점 또는 무한 구간). 경계 구간의 경우 부분 도메인의 수가 유한해야 하며, 경계 구간의 경우 국부적으로 유한해야 하는 경우가 많습니다. 예를 들어, 절댓값 함수의 조각별 정의를 생각해 보십시오.^[2]

$${\displaystyle x = {\begin{case}-x,&{\text{if }x<0\+x,&{\text{if }x\geq 0.\end{case}}$$

0보다 작은$$ $모든{\displaystyle }$ x ${\displaystyle$ x$}$ 값에 대해 첫 번째 하위 함수(${\displaystyle }$- ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -x$가 사용되며, 이는 입력 값의 부호를 음수로 만듭니다. $모든{\displaystyle }$ x ${\displaystyle$ $x$$}$ 값이 0보다 크거나$$ 같은 경우 입력 값 자체로 사소하게 평가하는 두 번째 하위 함수(${\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$\})$가 사용됩니다.

다음 표에서는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$의 특정 값에서 절대값 함수를 문서화합니다$.$

x	f(x)	사용된 하위기능
−3	3	${\displaystyle -x}$
−0.1	0.1	${\displaystyle -x}$
0	0	${\displaystyle x}$
1/2	1/2	${\displaystyle x}$
5	5	${\displaystyle x}$

주어진 입력 값에서 조각별로 정의된 함수를 평가하려면 올바른 하위 함수를 선택하고 올바른 출력 값을 생성하기 위해 적절한 하위 도메인을 선택해야 합니다.

예

• 선분으로 구성된 함수인 조각별 선형 함수
  • 스텝 함수, 상수 하위 함수로 구성된 함수
    • 박스카 기능,
    • 헤비사이드 스텝 함수^[2]
    • 부호함수
  • 절댓값^[2]
  • 삼각함수
• 멱법칙의 하위 함수들로 구성된 함수인 고장난 멱법칙
• 다항식 조각들이 연결되는 곳에서 높은 평활도를 가지는 다항식 하위 함수들로 구성된 함수인 스플라인
  • B-스플라인
• PDIFF
• ${\displaystyle f(x)={\begin{case}\exp \left (-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right), &x\in(-1,1)\\0,&{\text{otherwise}}\end{case}}$
  그리고 다른 일반적인 범프 기능도 있습니다. 이것들은 무한히 차별화될 수 있지만 분석성은 단편적으로만 유지됩니다.

부분별로 정의된 함수의 연속성과 차별성

조각별로 정의된 함수는 다음 조건을 만족하는 경우 해당 도메인의 특정 간격에서 연속적입니다.

• 하위 기능은 해당 간격(하위 도메인)에서 연속적으로 수행됩니다.
• 해당 구간 내에서 하위 도메인의 끝점에 불연속성이 없습니다.

예를 들어, 그림에 표시된 함수는 하위 도메인 전체에서 조각별로 연속적이지만 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$에서 점프 불연속성을 포함하므로 전체 도메인에서 연속적이지 않습니다$.$ 채워진 원은 오른쪽 하위 함수의 값이 이 위치에 사용되었음을 나타냅니다.

조각별로 정의된 함수가 도메인의 특정 간격에서 미분 가능하려면 위의 연속성 조건 외에 다음 조건을 충족해야 합니다.

• 그 하위 기능은 해당 개방 간격에 따라 구별할 수 있습니다.
• 단방향 도함수는 모든 구간의 끝점에 존재합니다.
• 두 부분 구간이 맞닿는 지점에서는 이웃하는 두 부분 구간의 대응하는 편미분이 일치합니다.

적용들

응용 수학적 분석에서 "부분적으로 규칙적인" 기능은 가장자리로 분리된 매끄러운 영역으로 구성된 첫 번째 단계에서 이미지를 인식하는 인간 시각 시스템의 많은 모델과 일치하는 것으로 밝혀졌습니다.^[5] 특히, 전단지는 2D 및 3D에서 이 모델 클래스의 희소 근사치를 제공하기 위한 표현 시스템으로 사용되었습니다.

조각별로 정의된 함수는 가장 가까운 이웃 보간에서와 같이 보간에도 일반적으로 사용됩니다.

참고 항목

• 조각별 선형 연속

참고문헌