시간-빈도 분석

신호 처리에서 시간-주파수 분석은 다양한 시간-주파수 표현을 사용하여 시간과 주파수 영역 모두에서 동시에 신호를 연구하는 기법으로 구성된다. 시간-주파수 분석은 1차원 신호(실제 또는 복합값의 함수)와 일부 변환(실제 선인 다른 함수, 일부 변환을 통해 원본에서 얻은 다른 함수)을 보는 대신 2차원 신호 - 2차원 실제 평면인 함수를 연구한다.시간-주파수 변환을 통해 신호로부터 입력됨.^[1][2]

본 연구의 수학적 동기는 기능과 변환표현이 밀접하게 연결되어 있으며, 분리하기보다는 2차원 개체로서 공동으로 연구함으로써 더 잘 이해할 수 있다는 것이다. 간단한 예로는 푸리에 변환의 4배 주기성(두 배의 푸리에 변환이 방향을 반대로 바꾼다는 사실)을 푸리에 변환을 관련 시간-주파수 평면에서 90° 회전으로 간주하여 해석할 수 있다: 4개의 회전은 정체성을 산출하고, 2개의 회전은 단순히 역방향(반사)으로 해석할 수 있다. 기원을 통하여

시간-주파수 분석에 대한 실제적인 동기는 고전적인 푸리에 분석에서 신호는 시간이나 주기적으로 무한하다고 가정하는 반면, 실제로 많은 신호는 지속시간이 짧고 그 지속시간에 걸쳐 실질적으로 변화한다는 것이다. 예를 들어, 전통적인 악기는 무한 지속 사인파이를 생산하지 않고 대신에 공격으로부터 시작하다가 점차 쇠퇴한다. 이것은 전통적인 방법으로 잘 표현되지 않으며, 이는 시간-주파수 분석에 동기를 부여한다.

시간-주파수 분석의 가장 기본적인 형태 중 하나는 짧은 시간 푸리에 변환(STFT)이지만, 특히 웨이브렛을 비롯한 보다 정교한 기법이 개발되었다.

동기

신호 처리에서 시간-주파수 분석은^[3] 과도 신호와 같이 시간에 따라 통계가 달라지는 신호를 특성화하고 조작하는 데 사용되는 기법과 방법의 본체다.

신호 주파수 특성이 시간에 따라 변화하는 경우를 위해 푸리에 분석의 일반화 및 정교화다. 음성, 음악, 이미지, 의료 신호와 같은 많은 관심 신호들이 주파수 특성을 변화시키기 때문에, 시간 빈도 분석은 광범위한 적용 범위를 가지고 있다.

푸리에 변환의 기법은 서서히 증가하는 국소적으로 통합 가능한 신호의 주파수 스펙트럼을 얻기 위해 확장될 수 있는 반면에, 이 접근법은 전체 시간에 걸쳐 신호의 동작에 대한 완전한 설명을 요구한다. 실제로, 사람들은 (스펙트럼) 주파수 영역의 포인트가 전체 시간영역에서 정보를 함께 얼룩지게 한다고 생각할 수 있다. 수학적으로 우아하지만, 그러한 기법은 불확실한 미래 행동을 가지고 신호를 분석하는 데 적합하지 않다. 예를 들어, 0이 아닌 엔트로피를 달성하기 위해 어떤 통신 시스템에서도 어느 정도 불확실한 미래 행동을 전제로 해야 한다(상대방이 어떤 것을 배울 수 없다고 말할지 이미 알고 있는 경우).

시간영역에서 완전한 특성화가 필요 없는 주파수표현의 힘을 이용하려면 먼저 신호의 시간-주파수 분포를 얻는데, 이는 시간과 주파수 영역 모두에서 동시에 신호를 나타낸다. 그러한 표현에서 주파수 영역은 일시적으로 국부화된 신호 버전의 동작만 반영할 것이다. 이것은 시간에 따라 구성 요소 주파수가 변하는 신호에 대해 분별 있게 말할 수 있게 해준다.

예를 들어 다음과 같은 기능을 전지구적으로 주파수 영역으로 변환하기 위해 강화 분포를 사용하는 대신 이러한 방법을 사용하여 주파수가 변화하는 신호로 설명할 수 있다.

${\displaystyle x(t)={\displaystyle x(t)={\case}\cos(\pi t);&t\cos(3\pi t);&10\leq t<20\cos(2\pi t);&t]20\end{case}}}}$

그러한 표현이 생성된 후에는 신호에서 정보를 추출하기 위해, 노이즈 또는 간섭 신호 등과 신호를 분리하기 위해 신호에 다른 기법을 적용할 수 있다.

시간-주파수 분포 함수

공식화

유효한 시간-주파수 분포 함수를 공식화하는 방법에는 다음과 같이 잘 알려진 여러 가지 시간-주파수 분포가 있다.

• 짧은 시간 푸리에 변환(가보르 변환 포함)
• 웨이브릿 변환,
• 이선형 시간-주파수 분포 함수(Wigner 분포 함수 또는 WDF),
• 수정된 위그너 분포함수, 가보르-위그너 분포함수 등(가보르-위그너 변환 참조).
• 힐버트-황 변환

시간 빈도 분포의 역사와 개발 동기에 대한 자세한 내용은 시간 빈도 표현 항목에서 확인할 수 있다.

이상 TF배분함수

시간-주파수 분포 함수는 이상적으로 다음과 같은 특성을 갖는다.^{[citation needed]}

1. 분석 및 해석이 용이하도록 시간과 빈도 모두에서 고해상도.
2. 아티팩트 또는 노이즈로부터 실제 구성요소를 혼동하지 않도록 교차 용어 없음.
3. 이러한 방법이 실제 적용에 도움이 되도록 하기 위해 바람직한 수학적 특성 목록.
4. 실시간 구현이 가능한 시간 빈도 평면에서 신호를 표현하고 처리하는 데 필요한 시간을 보장하기 위한 계산 복잡성 감소

아래는 일부 선택된 시간-주파수 분포 함수를 간략히 비교한 것이다.^[4]

	명료함	교차기	좋은 수학적 특성[필요하다]	계산 복잡성
가보르 변환	최악	아니요.	최악	낮음
위그너 분포 함수	베스트	네	베스트	높은
가보르-위그너 분포 함수	좋아	거의 제거됨	좋아	높은
원뿔형 분포 함수	좋아	아니오(제거됨, 시간 내에)	좋아	중간(재귀적으로 정의된 경우)

신호를 잘 분석하려면 적절한 시간-주파수 분포 함수를 선택하는 것이 중요하다. 어떤 시간-주파수 분포 함수를 사용해야 하는지는 응용 프로그램 목록을 검토함으로써 보여지듯이 고려 중인 응용 프로그램에 따라 달라진다.^[5] 일부 신호에 대해 얻은 위그너 분배 함수(WDF)의 높은 선명도는 그 형성에 내재된 자동 상관 함수 때문이지만, 후자는 또한 교차기 문제를 야기한다. 따라서 단기간 신호를 분석하려면 WDF를 사용하는 것이 가장 좋은 방법일 수 있으며, 신호가 여러 구성 요소로 구성되는 경우 Gabor 변환, Gabor-Wigner 분포 또는 수정된 B-Distribution 기능과 같은 다른 방법이 더 나은 선택일 수 있다.

예를 들어, 국소화되지 않은 푸리에 분석의 크기는 신호를 구별할 수 없다.

${\displaystyle x_{1}(t)={\display{case}\cos(\pi t)\cos(3\pi t);&10\leq t<20\cos(2\pi t);&t]20\end{case}}}}}$

${\displaystyle x_{2}(t)={\display{case}\cos(\pi t);&t\cos(2\pi t);&10\leq t<20\cos(3\pi t);&t]20\end{case}}}}}$

그러나 시간-주파수 분석은 가능하다.

적용들

다음 애플리케이션은 시간 주파수 분배 기능뿐만 아니라 신호에 대한 일부 작동이 필요하다. LCT(Linear Canonical Transform)는 정말 도움이 된다. LCTs에 의해, 신호의 시간-주파수 평면의 형태와 위치는 우리가 원하는 임의의 형태일 수 있다. 예를 들어 LCTs는 시간-주파수 분포를 임의의 위치로 이동시킬 수 있으며, 평면상의 면적을 변경하지 않고 수평과 수직 방향으로 확장하여 전단(또는 비틀림)하고 회전시킬 수 있다(Fractal Fourier transform). 이 강력한 작동인 LCT는 시간-주파수 분포를 더 유연하게 분석하고 적용할 수 있게 한다.

순간 주파수 추정

순간 주파수의 정의는 위상 변화 시간 비율이다.

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }{\frac {d}{dt}\phi(t),}$

여기서 $\varphi {\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \phi (t)}$은 신호의 순간 위상이다. 영상이 충분히 선명한 경우 우리는 시간 주파수 평면에서 순간 주파수를 직접 알 수 있다. 높은 명확성이 중요하기 때문에 우리는 종종 그것을 분석하기 위해 WDF를 사용한다.

TF 필터링 및 신호 분해

필터 설계의 목적은 신호의 원하지 않는 구성요소를 제거하는 것이다. 통상적으로 우리는 아래와 같이 시간영역이나 주파수영역에서 개별적으로 필터링하면 된다.

위에서 언급한 필터링 방법은 시간 영역 또는 주파수 영역에서 중복될 수 있는 모든 신호에 대해 잘 작동하지 않는다. 시간-주파수 분포 함수를 사용함으로써 유클리드 시간-주파수 영역 또는 분수 영역 내에서 분수 푸리에 변환을 사용하여 필터링할 수 있다. 예는 아래와 같다.

시간-주파수 분석의 필터 설계는 항상 다중 구성요소로 구성된 신호를 다루기 때문에 교차 문자로 인해 WDF를 사용할 수 없다. 가보르 변환, 가보르-위그너 분배 기능 또는 코헨의 클래스 분배 기능이 더 나은 선택일 수 있다.

신호 분해의 개념은 신호의 다른 요소와 한 요소를 분리해야 하는 필요성과 관련이 있다. 이는 필터 설계 단계가 필요한 필터링 작동을 통해 달성할 수 있다. 그러한 필터링은 전통적으로 시간 영역 또는 주파수 영역에서 수행되지만, 그러한 구성요소가 시간 영역과 주파수 영역 모두에서 중첩될 수 있기 때문에 다중 요소인 비스테이션 신호의 경우에는 가능하지 않을 수 있다. 그 결과, 구성요소 분리와 th를 달성하는 유일한 방법이 될 수 있다.따라서 신호 분해는 시간 빈도 필터를 구현해야 한다.

샘플링 이론

Nyquist-Shannon 샘플링 정리에 의해 앨리어싱이 없는 최소 샘플링 포인트 수는 신호의 시간 주파수 분포 영역과 동일하다고 결론을 내릴 수 있다. (어떤 신호의 TF 영역이 무한하기 때문에 이것은 사실 근사치에 불과하다.) 다음은 샘플링 이론을 시간-주파수 분포와 결합하기 전과 후의 예다.

시간-주파수 분포를 적용한 후 샘플링 포인트 수가 감소하는 것이 눈에 띈다.

WDF를 사용할 때 교차기 문제(간섭이라고도 함)가 있을 수 있다. 한편, 가보르 변환을 사용하면 표현의 명확성과 가독성이 향상되어 해석과 적용이 실제적인 문제에 개선된다.

따라서 우리가 샘플링하려는 신호가 단일 구성요소로 구성되었을 때 WDF를 사용하지만, 신호가 둘 이상의 구성요소로 구성되면 Gabor 변환, Gabor-Wigner 분배 기능 또는 기타 감소된 간섭 TFD를 사용하여 더 나은 결과를 얻을 수 있다.

발리안-낮은 정리는 이를 공식화하고 필요한 최소 시간 빈도 표본 수에 대한 한계를 제공한다.

변조 및 멀티플렉싱

일반적으로 변조 및 멀티플렉싱의 작동은 시간 또는 주파수에서 개별적으로 집중된다. 시간-주파수 분포를 활용함으로써, 우리는 더 효율적으로 조절하고 멀티플렉싱할 수 있다. 우리가 해야 할 일은 시간 빈도 평면을 채우는 것이다. 우리는 아래와 같은 예를 제시한다.

위 예제에서와 같이 WDF를 사용하는 것은 심각한 교차문제로 인해 다중화 및 변형이 어렵기 때문에 스마트하지 않다.

전자파 전파

우리는 전자파를 2x1 매트릭스 형태로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle {\bmatrix}x\\y\end{bmatrix},}$

시간-주파수 평면과 유사하다. 전자파가 자유 공간을 통해 전파되면 프레스넬 회절이 발생한다. 우리는 2x1 매트릭스로 조작할 수 있다.

${\displaystyle {\bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$

파라미터 매트릭스를 포함한 LCT 기준

${\displaystyle {\bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}={\\bmatrix}1&#da z\0&1\end{bmatrix},}$

여기서 z는 전파 거리, $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$은 파장이다$$. 전자파가 구형 렌즈를 통과하거나 디스크에 반사될 때 파라미터 매트릭스는

${\displaystyle {\bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}={\\bmatrix}1&0\-{\frac {1}{\bmatrix}}}}$

그리고

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}1&0\\\\\\frac{1}{\lambda R}&1\end{bmatrix}}}}}}}}}$

여기서 각각 where은 렌즈의 초점 길이, R은 디스크의 반지름이다. 이러한 대응 결과는 다음에서 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}{bmatrix}{\nd{bmatrix}}{\nd{bmatrix}}}}.}$

광학, 음향 및 바이오의약품

빛은 전자기파여서 일반 전자파 전파와 같은 방식으로 광학에도 시간-주파 분석이 적용된다.

마찬가지로, 음향 신호의 특성은 주파수 구성요소가 시간에 급격한 변화를 겪기 때문에 전체 기간을 포함하는 단일 주파수 구성요소 분석으로 잘 표현되지 않는다는 것이다.

음향신호가 인간-수신기 간 통신에서 음성으로 사용되기 때문에 기술 통신 시스템에서의 그들의 지연되지 않은 전송이 매우 중요하므로, 가보르 변환과 같은 간단한 TFD는 계산 복잡성을 줄여 실시간으로 이러한 신호를 분석하기에 적합하다.

주파수 분석 속도가 제한이 아닌 경우 특정 TFD를 선택하기 전에 잘 정의된 기준과 상세한 형상 비교를 해야 한다. 또 다른 접근방식은 데이터에 적응하는 신호 의존적 TFD를 정의하는 것이다. 바이오의약품의 경우 시간-주파수 분포를 이용해 전자파(EMG), 뇌전파(EEG), 심전도(ECG) 또는 오투아쿠스틱 배출(OAE)을 분석할 수 있다.

역사

초기 시간-주파수 분석 작업은 신호 처리에 크게 적용되지는 않았지만 알프레드 하르의 하르 웨이블렛(1909)에서 확인할 수 있다. 초기 형태의 파도타기 형태인 가보르 원자(1947년)와 변형된 단시간 푸리에 변환인 가보르 변환 등 더 실질적인 작업이 데니스 가보르에 의해 수행되었다. 위그너-빌 분포(Ville 1948, 신호 처리 맥락에서)는 또 다른 기본 단계였다.

특히 1930년대와 1940년대에 양자역학과 협력하여 초기 주파수분석이 개발되었다(위그너는 양자역학에서 위그너-빌 분포를 1932년에 개발했고, 가보르는 양자역학의 영향을 받았다 - 가보르 원자 참조). 이는 포지션-모멘텀 평면의 공유수학과 시간-주파수의 수학에 반영된다.y 평면 – 하이젠베르크 불확실성 원리(수량 역학)와 가보르 한계(시간-주파수 분석)에서와 같이, 궁극적으로 양쪽 모두 공통적인 구조를 반영한다.

시간 빈도 분석의 초기 실용적인 동기는 레이더의 개발이었다 - 모호함수 참조.

참고 항목

• 원뿔형 분포 함수
• 다중화 분석
• 스펙트럼 밀도 추정
• 음악 신호에 대한 시간-주파수 분석

참조