나흐빈의 정리

수학에서, 복잡한 분석의 영역에서는, 나흐빈의 정리(Leopoldo Nachbin의 이름을 따서 명명)를 일반적으로 사용하여 분석함수의 증가율에 대한 경계를 설정한다. 이 기사는 지수형 함수의 개념을 포함하여 성장률에 대한 간략한 검토를 제공한다. 성장률을 유형별로 분류하면 경계 함수의 분석 구조와 그 적분 변환에 대한 많은 이론이 명시될 수 있기 때문에 큰 O 또는 랜도 표기법보다 더 정교한 도구를 제공하는 데 도움이 된다. 특히 나흐빈의 정리는 아래에 주어진 일반화된 보렐 변환의 융합영역을 부여하기 위해 사용될 수명은 다음과 같다.

지수형

복합 평면에 정의된 함수 f(z)는 다음과 같은 상수 M과 α가 존재하는 경우 지수형이라고 한다.

${\displaystyle f(re^{i\theta }) \leq Me^{\alpha r}$

$r{\displaystyle }$→$∞{\displaystyle r\to \infit }$의 한계에서$.$ 여기서 복합 변수 z는 $z{\displaystyle }$= r ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {\theta }^{}}$ ${\$로 표기하여$$ 한계가 모든 방향으로 유지되어야 함을 강조하였다. α를 그러한 모든 α의 최소치를 나타내도록 내버려두면, 함수 f가 지수형 α라고 말한다.

예를 들어 $f{\displaystyle }$(${\displaystyle z}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \sin }$sin (${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle f(z)=\sin(\pi$ z$)\}$ . 그런 다음${\displaystyle \sin }$( ${\displaystyle \mathrm{axis}}$ z ) {\$displaystyle \sin(\pi z)}$이(가$)$ 지수형 π이라고 말하는데, π은 상상의 축을 따라$$ ${\displaystyle 죄}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (\pi }$ ${\displaystyle z}$) ${\displaysty \sin(\pi$ z$)}$의 성장을 제한하는 가장 작은 수이기 때문이다. 그래서 이 예에 대해서는 π 이하의 지수형의 기능을 필요로 하기 때문에 칼슨의 정리는 적용할 수 없다.

ψ형

경계는 지수함수 이외의 다른 함수에 대해 정의할 수 있다. 일반적으로 $\psi {\displaystyle \mathrm{}(t}$) ${\displaystyle \Psi(t)}$ 함수는 시리즈가 있으면 비교함수다.

${\displaystyle \Psi (t)=\sum _{n=0}^{\npty }\Psi _{n}t^{n}}}}$

모든 n에 대해 > ${\displaystyle \Psi _{n}>0}$ 포함

${\displaystyle \lim _{n\to \inflt }{\frac {\Psi _{n+1}{\\\psi _{n}}=0.}$

비교 함수는 반드시 전체여야 하며, 비율 검사에 따른다. $\psi {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \Psi (t)}$이(가) 그러한 비교 함수라면$$, 다음과 같은 상수 M과 τ이 존재하면 f는 ψ형이라고 한다.

${\displaystyle \왼쪽(re^{i\theta }\오른쪽)\오른쪽 \leq M\PSI(\tau r)}$

$r{\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle r\to \infit$ $\}.$ 만약 τ이 그러한 모든 τ의 최소치라면 f는 ψ형 τ이라고 한다.

Nachbin의 정리에는 시리즈를 가진 함수 f(z)가 있다고 명시되어 있다.

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\n=0}^{\f_{n}z^{n}}}}}}$

다음과 같은 경우에만 ψ형 τ이다.

${\displaystyle \limsup _{n\to \flt}\왼쪽 {\frac {f_{n}}{\Psi _{n}}\오른쪽 ^{1/n}=\tau .}$

보렐 변환

나흐빈의 정리는 카우치 정리 같은 상황, 그리고 적분 변환에 즉시 응용된다. 예를 들어 일반화된 보렐 변환은

${\displaystyle F(w)=\sum _{n=0}^{\inflt }{f_{n}}{\psi _{n}w^{n+1}.}$

f가 ψ형 τ인 경우$,$ $F{\displaystyle }$( ${\displaystyle w}$) ${\displaystyle F(w)}$의 수렴 영역 외부와 그 단수점 모두가 디스크 내에 포함되어 있다.

$\leq \tau .}$

게다가, 사람은 가지고 있다.

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}\point _{\gamma }\psi(zw)F(w)\,dw}$

여기서 통합의 윤곽선이 ${\displaystyle \mathrm{디스크}}$ w w${\displaystyle$w$\leq \tau }$을(를) 감싸고 있다$.$ 여기서 $\psi {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ ${\$ 지수 유형에 대해 일반적인 Borel 변환을 일반화한다$.$ 일반화된 보렐 변환을 위한 일체형 형태도 다음과 같다. $\alpha {\displaystyle (t}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \alpha(t)}$을(를) 함수로 하고$$$,{\displaystyle }$ 첫 번째 파생상품은 [${\displaystyle 0,\mathrm{})}$ $){\displaystyle [0,\fty$ $)\}$ 간격으로 경계한다.

${\displaystyle {\frac {1}{\psi _{n}}=\int _{0}^{\inflt ^{n}\,d\alpha(t)}$

여기서 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha (}$ ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}t}$) ${\displaystyle d}$ t ${\displaystyle d\alpha(t)=\alpha ^{\premium }(t)\,dt$ 그러면 일반화된 보렐 변환의 적분 형태는 다음과 같다.

${\displaystyle F(w)={\frac {1}{1}{w}\int _{0}^{0}{0}\f\ft\왼쪽({\frac {t}{w}\오른쪽)\,d\알파(t)}$

일반적인 보렐 변환은 $\alpha {\displaystyle (}$ ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle e^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$를 설정하여 되찾는다$.$ 보렐 변환의 적분 형태는 라플라스 변환일 뿐이다.

나흐빈 재기

Nachbin resummation(일반화된 보렐 변환)은 일반적인 보렐 합산으로 탈출하는 다이버전트 시리즈를 합하거나 심지어 (비추상적으로) 형태의 적분 방정식을 푸는 데 사용될 수 있다.

${\displaystyle g(s)=s\int _{0}^{\infit }K(st)f(t)\,dt}$

여기서 f(t)는 기하급수적으로 성장할 수 있고, 커널 K(u)는 멜린 변환을 가질 수 있다. The solution can be obtained as ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{M(n+1)}}x^{n}}$ with ${\displaystyle g(s)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}s^{-n}}$ and M(n) is the Mellin transform of K(u). An example of this is the Gram series ${\displaystyle \pi (x)\approx 1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\log ^{n}(x)}{n\cdot n!\zeta (n+1)}}.$$}$

추가 조건으로서 $\int {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle t^{}}$ ${\displaystyle t}$ t ${\displaystyle \int _{0}^{$0}{$0}^{0$}\K$(t)t$^{$n}\,dt}$는 n = ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$3.${\displaystyle }$. . . . $.\displaysty$n=$0,1,2,3,}$에 대해 유한하며$$ 0과 다른 경우가 있다.

프레셰트 공간

지수 타입 ${\displaystyle \tau}$의 함수 모음은 표준의 계수 가능한 계열에 의해 유도된 위상에 의해 완전한 균일한 공간, 즉 프레셰트 공간을 형성할$$ 수 있다.

${\displaystyle \ f\ _{n}=\sup \mathb {C}}\exp \왼쪽(\tau +{n1}{n}\오른쪽) z \right] f(z) .}$

참고 항목

• 다이버전트 시리즈
• 보렐 합계
• 오일러 합계
• 제왕절개
• 램버트 합계
• 미타그-레플러 합계
• 프라그멘-린델뢰프 원칙
• 아벨과 타우베리아의 이론들
• 반 빈가르덴 변신

참조

• L. Nachbin, "유한 지수형의 적분함수 개념의 확장", 아나이스 아카드. 브레이슬릿. 시엔시아스. 16 (1944년) 143–147.
• Ralph P. Boas Jr. R. Creighton Buck, 분석 기능의 다항식 확장 (Second Printing Corrected), (1964) New York, Springer-Verlag, Berlag, Publishers Inc. 의회 도서관 카드 번호 63-23263 (이 주제에 대한 일반적인 검토와 함께 나흐빈의 정리에 대한 진술과 증거를 제공한다.)
• A.F. Leont'ev (2001) [1994], "Function of exponential type", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• A.F. Leont'ev (2001) [1994], "Borel transform", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press