부확률

Quasiprobability 분포는 일부 사건에 대해 부정적인 확률 또는 Quasiprobability를 허용하지만 실험 결과의 확률은 결코 부정적이지 않다.이러한 분포는 관측할 수 없는 사건이나 조건부 확률에 적용될 수 있다.

물리학과 수학

1942년에 폴 디락은 "양자역학의 물리적 해석"^[1]이라는 논문을 썼는데, 여기서 그는 음의 에너지와 음의 확률의 개념을 소개했다.

"부정적인 에너지와 확률을 허튼소리로 보아서는 안 된다.그것들은 돈에 대한 부정처럼 수학적으로 잘 정의된 개념들이다."

부정적인 확률에 대한 생각은 나중에 물리학에서, 특히 양자역학에서 더 많은 관심을 받았다.리처드 파인만은 계산에 부정적인 숫자를 사용하는 것을 반대하는 사람은 아무도 없다고 주장했다^[2]: 비록 "사과 3개를 마이너스"가 실생활에서 유효한 개념은 아니지만, 부정적인 돈은 유효하다.마찬가지로 그는 단일성 이상의 확률뿐만 아니라 음의 확률이 확률 계산에 어떻게 유용할 수 있는지를 주장했다.

부정적인 확률은 몇 가지 문제와 역설들을 해결하기 위해 나중에 제시되었다.^[3]반코인은 음의 확률에 대한 간단한 예를 제공한다.이 이상한 동전은 2005년 가보르 J. 세켈리에 의해 소개되었다.^[4]반코인은 무한히 많은 면에 0,1,2, ...의 숫자가 있고, 양수 짝수는 음수 확률로 취한다.반코인 두 개는 우리가 반코인 두 개를 뒤집으면 결과의 합이 0이나 1이고 확률 1/2로 마치 우리가 그냥 페어코인을 뒤집은 것처럼 된다는 점에서 완전한 동전을 만든다.

비부정확률 함수의^[5] 콘볼루션 인용과 대수적 확률 이론 Imre Z. Ruzsa와 Gabor J. Székeley는 확률의 일부가 음수인 서명 또는 준분포를 갖는 경우, X, Y가 독립적이고 X + Y = Z가 분포하는 일반(서명되지 않음/준하지 않음) 분포와 함께 항상 두 개의 랜덤 변수 Y와 Z를 찾을 수 있다는 것을 증명했다.따라서 X는 항상 두 개의 일반적인 랜덤 변수인 Z와 Y의 "차이"로 해석될 수 있다.Y가 X의 측정 오차로 해석되고 관측 값이 Z인 경우 X 분포의 음영 영역은 오차 Y에 의해 가림/차폐된다.

유진 위그너가 양자 교정을 연구하기 위해 1932년에 도입한 위상 공간의 위그너 분포로 알려진 또 다른 예는 종종 음의 확률을 초래한다.^[7]이러한 이유로, 그것은 후에 위그너 퀘이프로브빌리티 분포로 더 잘 알려져 있다.1945년 M. S. 바틀렛은 그러한 부정적인 가치관의 수학적, 논리적 일관성을 알아냈다.^[8]위그너 분포 함수는 오늘날 물리학에 일상적으로 사용되고 있으며, 위상 공간 정량화의 초석을 제공한다.그것의 부정적인 특징은 형식주의의 자산이며, 종종 양자 간섭을 나타낸다.분포의 음 영역은 양자 불확실성 원리에 의해 직접 관측되지 않는다: 일반적으로, 그러한 양-세미드마이트 퀘이프로브빌리티 분포의 순간은 매우 제한적이며, 분포의 음 영역의 직접 측정 가능성을 방지한다.그럼에도 불구하고 이러한 지역은 그러한 분포를 통해 계산된 관측 가능한 수량의 예상 값에 부정적이고 결정적인 기여를 한다.

예: 이중 슬릿 실험

광자를 이용한 이중 슬릿 실험을 고려해 보자.각 슬릿을 빠져나가는 두 개의 파장은 다음과 같이 쓸 수 있다.

f_{1}(x)={\sqrt {\dN/dt}{2\pi /d}}{\frac {1}{\sqrt {1}{d^{2}+(x+a/2)^{2}}:\exp \left[i(h/\\da ){\sqrt{d^{2}+(x+a/2)^{2}}}\오른쪽],

그리고

f_{2}(x)={\sqrt {\frac {dN/dt}{2\pi /d}}}{\frac {1}{\sqrt {d^{2}+(x-a/2)^{2}}}}\exp \left[i(h/\lambda ){\sqrt {d^{2}+(x-a/2)^{2}}}\right],

여기서 d는 검출 화면까지의 거리, a는 두 슬릿 사이의 분리, x 화면 중앙까지의 거리, λ 파장, dN/dt는 소스에서 단위 시간 당 방출되는 광자의 수입니다.화면 중앙에서 거리 x에서 광자를 측정하는 진폭은 각 구멍에서 나오는 이 두 진폭의 합이므로 위치 x에서 광자가 검출될 확률은 이 합계의 제곱에 의해 주어진다.

I(x)=\left\vert f_{1}(x)+f_{2}(x)\right\vert ^{2}=\left\vert f_{1}(x)\right\vert ^{2}+\left\vert f_{2}(x)\right\vert ^{2}+\left[f_{1}^{*}(x)f_{2}(x)+f_{1}(x)f_{2}^{*}(x)\right],

이것은 당신을 잘 알려진 확률 규칙으로 떠오르게 할 것이다.

{\displaystyle{\begin{정렬}({\mathtt{photon\,\,reaches\,\,x\,\,going\,\,through\,\,either\,\,slit}})=\,&, P({\mathtt{photon\,\,reaches\,\,x\,\,going\,\,through\,\,slit\,\,1}})\\&, +P({\mathtt{photon\,\,reaches\,\,x}}\,\,{\mathtt{going\,\,through\,\,slit\,\,2}})\\&, -P({\mathtt{photon\,\,reaches\,\,x}}\,\,{\mathtt{going\,\,through\,.\,both\,\,sl그것의}})\\\\=\,&, P({\mathtt{photon\,\,reaches\,\,x}}), \,{\mathtt{went\,\,through\,\,slit\,\,1}})\,P({\mathtt{going\,\,through\,\,slit\,\,1}})\\&, +P({\mathtt{photon\,\,reaches\,\,x}}), \,{\mathtt{went\,\,through\,\,slit\,\,2}})\,P({\mathtt{going\,\,through\,\,slit\,\,2}})\\&, -P({\mathtt{photon\,\,reaches\,\,x}}\,\,{\mathtt{going\,\,t.hrough\,\,both\,\,slits})\\\\=\,&P({\mathtt {photon\,\,reaches\,\,x}}\, \,{\mathtt {went\,\,through\,\,slit\,\,1}})\,{\frac {1}{2}}\\&+P({\mathtt {photon\,\,reaches\,\,x}}\, \,{\mathtt {went\,\,through\,\,slit\,\,2}})\,{\frac {1}{2}}\\&-P({\mathtt {photon\,\,reaches\,\,x}}\,\,{\mathtt {going\,\,through\,\,both\,\,slits}})\end{aligned}}}

파란색은 1번홀과 2번홀을 통과하는 확률의 합이고 빨간색은 "두 구멍"을 통과할 확률의 합을 뺀다.간섭 패턴은 두 곡선을 추가하여 얻는다.

막말이 무슨 뜻인지실제로 광자가 다른 슬릿을 통과하도록 강요하는 구멍 중 하나를 닫으면 두 개의 그에 상응하는 강도가 발생한다.

I_{1}(x)=\left\vert f_{1}(x)\right\vert ^{2}={\frac {1}{1}:{dN}{dt}{\frac {d/\pi }{d^{d^{2}+a/2)^{2}}}

그리고

I_{2}(x)=\left\vert f_{2}(x)\right\vert ^{2}={\frac {1}{1}:{dN}{dt}{\frac {d/\pi{d^{d^{2}+(x-a/2)^{2}}.

그러나 이제 이러한 각 용어를 이러한 방식으로 해석한다면, 관절 확률은 거의 모든 $\lambda {\frac {d}{a}}$ d $\lambda {\frac {d}{a}}$ ${\$

{\reasoned}I_{12}(x)&=\left[f_{1}^{**(x)f_{2}(x)+f_{1}(x)^{2}^{*(x)\\\\}\\&={\frac{1}{2}}:{\frac {dN}{dt}}{{\frac {d/\pi }{{\\sqrt{d^{2}+(x-a/2)^{2}}:{\sqrt {d^{d^{2}+a/2)^{2}}}}\sin \left[(h/\lambda )({\sqrt {d^{2}+(x+a/2)^{2}}:}-{\sqrt {d^{2}+(x-a/2)^{2}}:\오른쪽]\\end{정렬}}

그러나, 이러한 부정적인 확률은 광자가 "두 개의 슬릿을 모두 통과"하는 경우를 분리할 수 없지만, 반 입자의 존재를 암시할 수 있기 때문에 결코 관찰되지 않는다.

금융

부정 확률은 최근 수학적 금융에 더 많이 적용되고 있다.정량적 재정에서 대부분의 확률은 실제 확률이 아니라 유사 확률이며, 흔히 위험 중립 확률로 알려져 있다.^[9]이는 실제 확률이 아니라 2004년 에스펜 가아더 하우그가 처음 지적한 바와 같이 특정 경우에 그러한 유사 확률을 음성으로 허용함으로써 계산을 단순화하는 데 도움이 되는 일련의 가정 하에서 이론적 "확률"이다.^[10]

음의 확률과 그 성질에 대한 엄격한 수학적 정의는 최근 마크 버긴과 건터 마이스너(2011년)에 의해 도출되었다.저자들은 또한 금융옵션가격결정에서 부정적인 확률을 어떻게 적용할 수 있는지를 보여준다.^[9]

공학

시설 위치, 고객 할당 및 백업 서비스 계획을 동시에 결정할 때 시설물이 음의 상관관계가 있는 붕괴 위험에 노출되는 신뢰할 수 있는 시설 위치 모델에 대해서도 부정적 확률의 개념이 제시되었다.^[11]^[12]리 외는 긍정적으로 상관된 시설망을 가상 지원 스테이션이 추가된 동등한 네트워크로 바꾸는 가상 스테이션 구조를 제안했고, 이들 가상 스테이션은 독립된 운영 중단의 대상이 되었다.^[13]이 접근방식은 상관관계가 있는 장애에서 없는 장애로 문제를 감소시킨다.나중에 Xie 외 연구진은 가상 지원 스테이션이 현재 "고장 성향"으로 중단될 수 있다는 점을 제외하고, 동일한 모델링 프레임워크에서도 부정적으로 상관된 중단이 어떻게 해결될 수 있는지를 보여주었다.^[14]

... 실패 확률의 모든 수학적 특성과 속성을 계승한다. 단, 1보다 더 크게 허용한다는 점을 제외하면...

이러한 발견은 현장 의존적 및 긍정적/부정적/혼합적 설비 붕괴 상관관계에 따른 서비스 시설의 신뢰할 수 있는 위치를 최적으로 설계하기 위해 소형 혼합 정수의 수학 프로그램을 사용하는 방법을 마련한다.^[15]

시외에서 ^[14]제안된 "확대성" 개념은 파인만과 다른 사람들이 "준확대성"이라고 말한 것으로 밝혀졌다.준확률이 1보다 크면 1에서 이 값을 뺀 값이 음의 확률을 제공한다는 점에 유의하십시오.신뢰할 수 있는 시설 위치 맥락에서, 실제로 물리적으로 검증 가능한 관찰은 시설 붕괴 상태(확률이 재래식 범위[0,1] 내에 있다고 보장되는 경우)이지만, 발전소 붕괴 상태 또는 그에 상응하는 확률에 대한 직접적인 정보는 없다.따라서 "상상적인 중간 국가의 가능성"으로 해석되는 방송국의 붕괴 "확률"은 단결을 초과할 수 있으며, 따라서 준확률이라고 한다.

참고 항목

음의 표준 상태(또는 Pauli-Villars 유령과 같이 운동 용어의 잘못된 기호가 있는 필드)의 존재는 확률을 음의 확률로 허용한다.유령(물리학)을 참조하십시오.
서명된 측정치
위그너 퀘이프로브성 분포

참조

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[1] Dirac, P. A. M. (1942). "Bakerian Lecture. The Physical Interpretation of Quantum Mechanics". Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 180 (980): 1–39. Bibcode:1942RSPSA.180....1D. doi:10.1098/rspa.1942.0023. JSTOR 97777.

[2] Feynman, Richard P. (1987). "Negative Probability" (PDF). In Peat, F. David; Hiley, Basil (eds.). Quantum Implications: Essays in Honour of David Bohm. Routledge & Kegan Paul Ltd. pp. 235–248. ISBN 978-0415069601.

[3] Khrennikov, Andrei Y. (March 7, 2013). Non-Archimedean Analysis: Quantum Paradoxes, Dynamical Systems and Biological Models. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-009-1483-4.

[4] Székely, G.J. (July 2005). "Half of a Coin: Negative Probabilities" (PDF). Wilmott Magazine: 66–68. Archived from the original (PDF) on 2013-11-08.

[5] Ruzsa, Imre Z.; SzéKely, Gábor J. (1983). "Convolution quotients of nonnegative functions". Monatshefte für Mathematik. 95 (3): 235–239. doi:10.1007/BF01352002. S2CID 122858460.

[6] Ruzsa, I.Z.; Székely, G.J. (1988). Algebraic Probability Theory. New York: Wiley. ISBN 0-471-91803-2.

[7] Wigner, E. (1932). "On the Quantum Correction for Thermodynamic Equilibrium". Physical Review. 40 (5): 749–759. Bibcode:1932PhRv...40..749W. doi:10.1103/PhysRev.40.749. hdl:10338.dmlcz/141466.

[8] Bartlett, M. S. (1945). "Negative Probability". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 41 (1): 71–73. Bibcode:1945PCPS...41...71B. doi:10.1017/S0305004100022398.

[:2-9] Meissner, Gunter A.; Burgin, Dr. Mark (2011). "Negative Probabilities in Financial Modeling". SSRN Electronic Journal. Elsevier BV. doi:10.2139/ssrn.1773077. ISSN 1556-5068.

[10] Haug, E. G. (2004). "Why so Negative to Negative Probabilities?" (PDF). Wilmott Magazine: 34–38.

[11] Snyder, L.V.; Daskin, M.S. (2005). "Reliability Models for Facility Location: The Expected Failure Cost Case". Transportation Science. 39 (3): 400–416. CiteSeerX 10.1.1.1.7162. doi:10.1287/trsc.1040.0107.

[12] Cui, T.; Ouyang, Y.; Shen, Z-J. M. (2010). "Reliable Facility Location Design Under the Risk of Disruptions". Operations Research. 58 (4): 998–1011. CiteSeerX 10.1.1.367.3741. doi:10.1287/opre.1090.0801.

[13] Li, X.; Ouyang, Y.; Peng, F. (2013). "A supporting station model for reliable infrastructure location design under interdependent disruptions". Transportation Research Part E. 60: 80–93. doi:10.1016/j.tre.2013.06.005.

[:0-14] Xie, S.; Li, X.; Ouyang, Y. (2015). "Decomposition of general facility disruption correlations via augmentation of virtual supporting stations". Transportation Research Part B. 80: 64–81. doi:10.1016/j.trb.2015.06.006.

[:1-15] Xie, Siyang; An, Kun; Ouyang, Yanfeng (2019). "Planning facility location under generally correlated facility disruptions: Use of supporting stations and quasi-probabilities". Transportation Research Part B: Methodological. Elsevier BV. 122: 115–139. doi:10.1016/j.trb.2019.02.001. ISSN 0191-2615.

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