내포 구간

수학에서 내포된 간격의 순서는 $자연숫자{\displaystyle }$n =${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$3 ,$…[\displaystyle n=1,2,3,\dots }$을(를) 지수로 하여$$ 실수 라인에 있는$$ 구간 I ${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 순서 집합으로 직관적으로 이해할 수 있다.일련의 구간이 내포된 구간으로 간주되려면 다음 두 조건을 충족해야 한다.

1. 시퀀스의 모든 간격은 이전 간격에 포함되어 있다(${\displaystyle {\mathrm{In}}_{}}$ +${\displaystyle {}_{}}$1 ${\$}은$$(는) ${\displaystyle {항상}_{}}$In {\$displaystyle I_{$n}의 하위 집합임).
2. 간격의 길이는 임의로 작아진다(특정 지수 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 이후$$ 길이는 가능한 모든 임계값 $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ 아래로 떨어진다는 의미).$$

즉 구간 ${\displaystyle {In}_{}}$ ${\$$displaystyle$ $I_{n}$의 왼쪽 경계는 증가(${\displaystyle n_{}}$+ 1${\displaystyle {}_{}}$≥ $a_{n+1}\geq a_{n}})$만 증가시킬$$ 수 있고,$$ 오른쪽 경계는 감소(${\displaystyle b_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${n+1$}{n+1$}\leq b_{n}).$

역사적으로, 교과서에 내포된 간격을 정의하기 훨씬 이전부터, 사람들은 은연중에 그러한 둥지를 구체적인 계산 목적으로 건설했다.예를 들어, 고대 바빌로니아인들은 숫자의 제곱근을 계산하는 방법을 발견했다.이와는 대조적으로, 유명한 아르키메데스는 원주 둘레에 대한 하한과 상한을 얻기 위해 원주(${\displaystyle }$: Pi: ${\displaystyle \pi })$를 새기고 생략한 폴리곤 시퀀스를 구성했다.

중심 질문은 모든 구간 $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$}($$즉$,$ 모든 n${\displaystyle n\mathbb{}}$ N ${\$에서 발견되는 모든 자연수에 대한 교차점 특성 또는 다르게 표현한다.$$현대 수학에서 내포된 간격은 (합리적 수의 분야를 완성하기 위해) 실수의 구성 방법으로 사용된다.

역사적 동기

서론에서 언급된 바와 같이, 수학의 역사적 사용자들은 구체적인 계산 방법으로서 구간의 보금자리 및 밀접하게 관련된 알고리즘을 발견했다.이러한 고대 기법에 대한 몇 가지 변형과 현대적 해석이 여기에 소개될 것이다.

제곱근 계산

하나의 직관적인 알고리즘은 너무 이해하기 쉬워서 약혼한 고등학생들에게서도 충분히 발견될 수 있다.When trying to find the square root of a number ${\displaystyle x>1}$, one can be certain that ${\displaystyle 1\leq {\sqrt {x}}\leq x}$, which gives the first interval ${\displaystyle I_{1}=[1,x]}$, in which ${\displaystyle x}$ has to be found.에 더 높은 완벽한 2> x ${\displaystyle k^{2}>x}$를 알면 첫 번째 간격 동안 훨씬 더 나은 후보를 얻을 수 있다${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle k}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle I_{1}=[1,k$

The other intervals ${\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}],n\in \mathbb {N} }$ can now be defined recursively by looking at the sequence of midpoints ${\displaystyle m_{n}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}}$. Given the interval ${\displaystyle I_{n}}$ is already knowed (${\displaystyle {I\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$}부터),$$ 정의할 수 있다.

${\displaystyle I_{n+1}:=\left\{{\begin{matrix}\left[m_{n},b_{n}\right]&&{\text{if}}\;\;m_{n}^{2}\leq x\\\left[a_{n},m_{n}\right]&&{\text{if}}\;\;m_{n}^{2}>x\end{matrix}}\right.}$

이를 말로 표현하면 ${\displaystyle {In}_{}}$ ${\$의 중간점이 $x{\displaystyle \sqrt{}}$ ${\$$displaystyle {\sqrt{$$x}$보다 작거나 큰지 여부를 $확인$하기 위해$$ x ${\$$displaystyle {\sqrt{$x}}}}와$$ 비교할 수 있으며$,$ 중간점이 작으면 다음 ${\displaystyle {간격}_{}}$ $In{\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$의 하한 값으로 설정할 수 있다.${\displaystyle I_{n+1$ 중간점이 크면 다음 간격의 상한으로 설정할 수 있다.${\displaystyle {}_{}}$를 통해 x${\displaystyle n_{}}$ I${\displaystyle {}_{}}$n + ${\displaystyle 1_{}}$ ${\${\$sqrt{x}\in I_{n+1$이 구조로 간격은 중첩되고 길이 ${\displaystyle I_{}}$ $displaystyle I_{n}}은($는) 재귀 단계마다 절반씩 감소한다$$.따라서 임의적으로 우수한 정밀도로$$( 충분한 계산 시간이 주어짐) $x{\displaystyle \sqrt{}}$ ${\$에 대한 하한과 상한을 얻을 수 있다.

때 0<>또}},;1{\displaystyle 0<, y< 1}. 1{1/y> 1\displaystyle}, 알고리즘 x을 설정하여 사용할 수 있습니다.=1/y{\displaystyle x:=1/y}후 정확을 원하는 수준 acqu고 있는 역수를 계산 y{\displaystyle{\sqrt{y} 베<>이 경우 1/y를 계산할 수 있다.ired.

예

이 알고리즘을 증명하기 위해 여기 19{\displaystyle{\sqrt{19}의}은 값을 찾기 디렉터리 사용될 수 있는지에 대한 예이다. 12<이래로 19<52{\displaystyle 1^{2}<, 19<, 나는 1:)[1,5]{\displaystyle I_{1}:=[1,5]}, 이후 5^{2}}, 알고리즘에 대한 첫번째 간격 정의될 수 있습니다 있다. 19{)디스플레이 $스타일 {\sqrt{19}}$은(는) 이 간격 내에 반드시 찾을 수 있어야$$ 한다.따라서 이 구간을 사용하여 구간 중간점을 계산하고, 중간점의 제곱이 19보다 크거나 작은지 여부를 결정하고, 프로세스를 반복하기 전에 그에 따라 다음 구간 경계를 설정함으로써 알고리즘의 다음 단계로 넘어갈 수 있다.

M1=1+52=3⇒ m12=9≤ 19⇒ 2)[3,5]m2=3+52=4⇒ m22=16≤ 19⇒ 나는 3)[4,5]m3=4+52=4.5⇒ m32=20.25 대리자 19⇒ 4)[44.5]m4=4+4.52=4.25⇒ m4명은 2.${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&={\dfrac {1+5}{2$$}}}=3&\오른쪽 화살표 \;m_{1}^{2}=9\leq 19&\오른쪽 화살표 \;;$$I_{2}=[3,5]\\m_{2}&={\dfrac {3+5}{2}}=4&\오른쪽 화살표 \;m_{2}^{2}=16\leq 19&\오른쪽 화살표 \;;$$I_{3}=[4,5]\\m_{3}&={\dfrac {4+5}{2}}=4.5&&\Rightarrow \;m_{3}^{2}=20.25>19&&\Rightarrow \;I_{4}=[4,4.5]\\m_{4}&={\dfrac {4+4.$$5}{2}}=4.25&\오른쪽 화살표 \;m_{4}^{2}=18.0625\leq 19&\오른쪽 화살표 \;;$$I_{5}=[4.25,4.5]\\m_{5}&={\dfrac {4.25+4.5}{2}}=4.375&\오른쪽 화살표 \{5}^{2}=19.140625}19&\오른쪽 화살표 \;;;;;;$그래서는 간격 내에서 남아 있는 가치와 19의 실질 가치에 더 가까운=4.35889894 …{\displaystyle{\sqrt{1더 가깝다 I_ᆩ=[4.25,4.375]\\&, \vdots &,&\end{정렬}}}일 경우 새로운 중간 계산할 때마다 가능한 값의 19{\displaystyle{\sqrt{19}의 범위}}위축될 수 있다.9}}=4.358898$94\dots$ $\}.$ 즉, ${\displaystyle \sqrt{19}}$ ${\$이(가) 거짓말을 해야 하는$$ 구간의 경계를 연속적으로 변경할 때마다 구간의 하한을 증가시키거나 int의 상한을 감소시킴으로써 ${\displaystyle \sqrt{19}}$ ${\$의 값을 더 정확하게 추정할$$ 수 있다.얼버무리다

이 절차는 원하는 정밀도를 얻기 위해 필요한 만큼 반복할 수 있다.이론적으로는 무한정 단계를 반복함으로써 이 제곱근의 참된 가치에 도달할 수 있다.

헤론법

바빌로니아식 방법은 훨씬 $더{\displaystyle }$효율적인 $알고리즘$을 사용하여 x {\$displaystyle$ x$}$의 정확한 근사를 더욱 빠르게$$ 산출한다.내포된 간격을 사용한 현대적 설명은 위의 알고리즘과 유사하지만 중간점 순서를 사용하는 대신 다음과 같이 주어진$$ 시퀀스$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}{}_{}}$) ${\displaystyle {n\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ N ${\$in $\mathb{N}}}}}}}}}}$를 사용한다.

${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle :=}$ 1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle (c_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle x\frac{}{}}$ c ${\displaystyle \frac{n_{}}{}}$) ${\$}}}\$cdot \left(c_{n}+{x}{$c_{$n}}}}\right$ .

간격 나는으로 시퀀스에서 이 결과+1:)[)c, cn]{\displaystyle I_{n+1}:=\left[{\frac{x}{c_{n}}},c_{n}\right]}서 1)[0, km그리고 4.9초 만]{\displaystyle I_{1}[0,k]}의 스녀, k2>){\displaystyle k^{2}>, x}, x에 대한 정확한 위와 낮은 범위를 제공할 것이다{\di.splays$tyle {\sqrt{x}}$ 매우$$ 빠르게.실제로는 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$만 고려하면 되는데$$, 이 c는 $x{\displaystyle \sqrt{}}$ ${\$로 수렴된다$.$이 알고리즘은 뉴턴의 방법의 특수한 경우다.

아르키메데스의 원 측정

그림과 같이 원주 둘레에 대한 하한과 상한을 글씨와 원주형 일반 다각형으로 구할 수 있다.지름 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1$의 원을 검사할 때 원주는 (Pi의 정의에 따라) 원주 번호 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$ 입니다$.$

기원전 250년경 시라큐스의 아르키메데스는 옆구리 길이(따라서 둘레)를 원 지름에서 직접 계산할 수 있는 일반 육각체로 시작했다.또한 이전 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -곤에서$$ 정규 ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystyle n}$ -곤의$$ 측면 길이를 계산하는 방법을 찾을 수 있으며, ${\displaystyle \mathrm{}}$ 6각형$({\displaystyle 6}$ -gon$$)부터 시작할 수 있다.96면 다각형에 도달할 때까지 가장자리 수를 연속적으로 두 배로 늘림으로써 아르키메데스는 < $<{\$ {$22}{7}}}}}}}}}$과(와)의 간격에 도달했다상한 ${\displaystyle 22}$/ ${\displaystyle 7\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\approx }}$3${\displaystyle .143}$ ${\displaystyle 22/7\ 약 3.143}$은(는) 여전히 거칠지만 실용적인 근사치인 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi}$로 자주 사용된다$.$

1600 CE 무렵 아르키메데스의 방법은 여전히 파이 계산을 위한 금본위제였으며 네덜란드 수학자 루돌프 반 쿨렌에 의해 30자리 이상의 $[\$디스플레이 스타일 $\pi$}을 계산하는데 사용되어 수십 년이 걸렸다$.$곧이어 더 강력한 연산 방법이 발견되었다.

기타 구현

중첩된 간격의 시퀀스(또는 현대 수학에서와 같이 설명될 수 있음)의 초기 사용은 미적분학의 선행(차별화와 통합)에서 찾을 수 있다.컴퓨터 과학에서 중첩된 간격의 시퀀스는 수치 계산을 위한 알고리즘에 사용된다.즉, 이분법(Bisection method)은 연속함수의 근원을 계산하는 데 사용할 수 있다.수학적으로 무한정 시퀀스와는 대조적으로, 적용 연산 알고리즘은 원하는 0이 발견되거나 충분히 근사하게 추정될 때 어느 시점에서 종료된다.

실수의 구성

수학적 분석에서 내포된 구간은 연속성과 차별성의 개념을 논의하기 위한 필요성인 합리적 숫자의 완성으로서 실수를 자명하게 도입하는 한 가지 방법을 제공한다.역사적으로, 아이작 뉴턴과 고트프리드 빌헬름 라이프니츠의 1600년대 후반의 미분 및 적분 미적분 발견은 물리학, 공학, 그리고 다른 과학에서의 성공에도 불구하고, 그들의 방법을 엄격하게 증명하려는 수학자들에게 커다란 도전과제가 되었다.내포된 간격(또는 등가 공리)에 대한 자명적인 설명은 미적분학의 현대적 이해를 위한 중요한 기초가 되었다.

이 글의 맥락에서$,{\displaystyle }$ + ${\displaystyle +}$ 및$$${\displaystyle }$conjunction ${\displaystyle \cdot }$과(와) 함께 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$은(는) Archimediec 순서 필드로, 질서의 공리 및 Archimedech 속성 보유를 의미한다.

정의^[1]

Let ${\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ be a sequence of closed intervals of the type ${\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}]}$, where ${\displaystyle I_{n} :=b_{n}-a_{n}}$ denotes the length of such an interval.다음과 같은 경우${\displaystyle }$(In )${\displaystyle n_{}{}_{\in }}$ ${\displaystyle {N\mathbb{}}_{}}$ ${\$을(를) 중첩된 간격으로 호출할 수 있다.

1. $\displaystyle \quad \forall n\in \mathb {N} :\;;;;I_{n+1}\subseteq I_{n}}$
2. > N: < \\\$displaystyle \quad$\$forall \varepsilon >0\;\exists N\in \mathb {N} :\;\;; I_{N} <\varepsilon$ .

단어, 속성 1은 구간이 지수에 따라 중첩된다는 것을 의미한다.는 간격 크기로 작은 소리가 임의의 상수. ε>에 0{\displaystyle \varepsilon>0}는 늘 길이는 엄격하게 그 숫자 ε{\displaystyle \varepsilon}보다 작는 간격(인덱스 N{N\displaystyle})를 찾을 수 있도록 두번째 속성, 의미,. 그것은 또한w. 하는 개념입니다. 얘기하였다orth속성 1은 즉시 $인덱스{\displaystyle }$ n${\displaystyle }$n ${\displaystyle N}${\$displaystyle n\geq$ N$}$을(를) 가진 모든 간격은 < < {{\$displaystyle I_{n}$ <\$varepsilon }}$을(를) 가져야$$ 함을 암시한다는 점에 유의하십시오

비고

일부 저자는 위의 두 속성을 모두 만족시키는 이러한 구간 순서를 축소 중첩 구간이라고 언급한다는 점에 유의한다.이 경우 중첩된 간격의 순서는 속성 1만 만족하는 순서를 가리킨다.

완전성의 공리

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle {In}_{}{}_{}}$)${\displaystyle {n\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ N ${\$이(가) 중첩된 구간의 순서인 경우$$, 항상 실제 숫자가 존재하며, 이 ${\displaystyle {숫자}_{}}$는 모든 $구간{\displaystyle {}_{}}$ I ${\$에 포함되어 있다$.$ 공식 표기법에서는 다음과 같이 보장한다.

${\displaystyle \mathrm{\exists }}$ ${\displaystyle x\mathbb{}}$ ${\displaystyle \in }$ R${\displaystyle }$: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ N ${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}{}_{}}$ ${\$\in \n$\in \mathb {N$$n$}}.

정리

중첩된 간격의$$ 각 시퀀스$({\displaystyle {In}_{}{}_{}}$) ${\displaystyle {n\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ N ${\$은(는) 정확히 하나의 실제 $숫자{\displaystyle }$ x ${\displaystyle$ x$}$를 포함한다$.$

증명: 이 진술은 모순으로 쉽게 증명될 수 있다.두가지 다른 숫자 x, y∈∩ n∈ N의 아틀란 다{\displaystyle x,y\in \cap_{n\in \mathbb{N}존재하}}. I_{n}다고 가정하자부터 x ≠ y{\displaystyle x\neq y}을 그 뒤, 그들이 다르x− y>0.{\displaystyle x-y>0.두 숫자마다 간격에 포함되어야 한다}, 그것이 있습니다.${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle \ge {}_{}}$ x -${\displaystyle y}$ $displaystyle I_{n} \geq x-y }$ $모든$ n${\displaystyle n\mathbb{}}$ N$${\$displaystyle$ n$\in \mathb {N$ 이것은 중첩된 간격의 정의에서 속성 2와 모순되므로 교차로에는 최대 하나의 숫자 $x{\displaystyle }$ ${\displaystystyle x}$가 포함될 수 있다$.$완전성 공리는 그러한 실제 숫자 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) 존재함을 보장한다.${\displaystyle \;\square }$

메모들

• ${\displaystyle {이}_{}}$ 공리는 중첩된 구간의 순서에 합리적 숫자가 반드시 포함되어 있지는 않다는 점에서 기본적이다. 즉, $\cap {\displaystyle {}_{}}$ n ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle {N\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$ ${\$ $\}{\displaystyle \mathrm{}}$$I_{n}}}}}}$이(가) 합리성을 고려하는 경우에만$display$ {\displaystyle \ \\\$empt \$pleptyptyptyptyptyptyptyptyptyptyptyption \n}을 산출할 수 있다$$$.$
• 이 공리는 극과 극(아래 증명)의 존재, 카우치 시퀀스와 볼자노–의 융합에 해당한다.위어스트라스 정리.이는 4개 중 1개는 자명적으로 도입해야 하고, 나머지 3개는 연속적으로 증명할 수 있어야 한다는 것을 의미한다.

공리의 직접적인 결과

뿌리의 존재

제곱근에 대해 위에 나타낸 알고리즘을 일반화함으로써 실제 수식에서 $x{\displaystyle }$= y ${\displaystyle j^{}}$ j, ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$ x$=y^{j},\;j\in \mathbb {n}}}$은(는) $y{\displaystyle }$= x${\displaystyle \text{exception 25:}{1\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle j^{}}${\$displaysty$ y$={$x$\}\}\}\{$$xqrt=x^{1/j}}}}}}}{$1/j$$}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.이 있는 고유한 실수는 y을이 존재한다;0{\displaystyle y>0}, x)yk{\displaystyle x=y^{k}}. 이 구간 위와 비교 의미 중 하나인 k에 중첩의 간격 시퀀스를 달성하도록{k\displaystyle}-th 뿌리의 x{\displaystyle)}, 즉 y{이\displaystyle}에 의해 보는 것이다.그${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle n}$ -th$$ 간격의$$ 중간점 ${\displaystyle m_{}}$ ${\$보다 ${\displaystyle {낮거나}_{}^{}}$ 같거나 크다$.$

경계 집합의 최소 및 우월성 존재

정의

If ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ has an upper bound, i.e. there exists a number ${\displaystyle b}$, such that ${\displaystyle x\leq b}$ for all ${\displaystyle x\in A}$, one can call the number ${\displaystyle s=\sup(A)}$ the supremum of ${\displaystyle A}$, if

1. $숫자{\displaystyle }$ s ${\displaystyle s}$은(는) $A{\displaystyle }${\$displaystyle A}$의 상한으로$,$${\displaystyle \mathrm{}\mathrm{meaning}}$ x ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A}$: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \forall x:\;x\leq$ s$}$을(를) 의미한다.
2. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle$ s$}$은(는) $A{\displaystyle }${\$displaystyle A}$의 최소 상한으로$,$meaning σx x { { { { $\$ $displaystyle \ forall \s:;\existers \in$ A$:\;x)\sigma }$을 의미한다.

이러한 숫자 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ s$}$만 존재할 수 있다$$.유사하게, 아래에서 경계되는 세트 $B{\displaystyle inf\mathbb{}}$ R ${\$의 최소값($Inf (B$을 해당 집합의 최대 하한으로 정의할 수 있다$.$

정리

각 세트 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$에는 위(아래)와 경계를 이루는 경우 우월(최소)가 있다$$.

증명: 일반성의 손실 없이 ${\displaystyle 상한선}$이 있는$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ R ${\$를) 볼 수 있다.${\displaystyle {이제}_{}}$ 다음 두 가지 속성을 가진 중첩 구간 $In{\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$[${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle$I_{$n}}}$의 시퀀스$In$) $n,$ b $】${\$displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n$의 시퀀스를 구성할 수 있다.

1. ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$은(는) ${\displaystyle 모든\mathbb{}}$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ N ${\$에 $대한$ A ${\displaystyle A}$의 상한 값이다$$.
2. ${\displaystyle n_{}}$ ${\$은(는) ${\displaystyle n\mathbb{}}$ ${\displaystyle \in }$ N ${\$에 대한$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 상한은 결코 아니다$$$.$

이 구성은 ${\displaystyle {상한\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle {예\mathrm{}}_{}}$: 1${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{c}}$- 1 ${\displaystyle a_{1}=c-1$ 여기서 $c{\displaystyle }$$$${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c\in A$$}$ 및 임의$$ $상한$ ${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$$displaystyle b_$${1$}{1})이$$아닌 $임의$의 숫자로 시작하여 재귀에 따른다.$$일부 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$${n$$}},$$b_{n}]$에 대한$$ ${\displaystyle {In}_{}}$=${\displaystyle }$[$a_${n$}=$${\displaystyle \frac{n_{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{\mathrm{}}}$ 2 ${\$$n$}}}}을(를) 지정하면 중간점$$ ${\displaystyle m_{}}$ :=n ${\displaystyle +}$ b ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ {\displaysty m_{n}을 계산할 수 있다$.$$={\frac {a_{n}+b_{n}:{n2}}:$ 정의$$

${\displaystyle I_{n+1}:\좌측\{\\begin{matrix}\좌측[a_{n},m_{n}\right]&{\text}\{if}\m_{n}\;{\text};은(으)의 상한 값이다}\;A\\\\왼쪽[m_{n}\right]&#{\text{if}\;m_{n}\;{\text}은(는) 상한}\end{matrix}}\right.}$

이 구간 시퀀스는 잘 정의되어 있으며 분명히 시공에 의해 중첩된 구간 시퀀스라는 점에 유의하십시오.

$이제{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$을(를) 모든 간격의 숫자로 합시다$$(공리에 의해 존재가 보장됨). ${\displaystyle s}$ is an upper bound of ${\displaystyle A}$, otherwise there exists a number ${\displaystyle x\in A}$, such that ${\displaystyle x>s}$. Furthermore, this would imply the existence of an interval ${\displaystyle I_{m}=[a_{m},b_{m}]}$ with M<>)s−{\displaystyle b_{m}-a_{m}<, x-s}의 bm−의<>)s−{\displaystyle b_{m}-s<.}{\displaystyle I_{m}치고의 x-s}다음, 때문에가 어떻게 되{s\displaystyle}는 요소다. 하지만 상한 재산 1의 모순(bm<>;s{\displaystyle b_{m}&lt의}.모든 m을${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$ .따라서 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$은(는) 사실상 $A{\displaystyle }${\$displaystyle A}$의 상한이다$.$

이 낮은 상한 σ<>{A\displaystyle}의 매우{\displaystyle \sigma<>잖니}존재한다. 가정하라 이후(의 아틀란 다)n∈ N{\displaystyle(I_{n})_{n\in \mathbb{N}}}시퀀스의 중첩 구간 간격 길이를 임의로 작은, 특히, 존재하는 간격과 길이 이상.s− σ{\displaystyle s-\sigma}. 하지만 s에서 ∈ 나는{\displaystyles\in I_{n}의 스녀}하나 s을 가져오− 오빠<>매우− σ{\displaystyle s-a_{n}<, s-\sigma}이고 그러므로 n>σ{\displaystyle a_{n}>, \sigma}. 이 건축의 규칙을 따른 n{\displaystyle a_{n}}의 꿈은 상한을 것이다.A$$중첩된 간격의 모든 시퀀스 중 속성 2와$$모순되는 $[\displaystyle A}$

$s{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ s}은$(는)$ A의 $상한$이며 하한$$$$ 상한이 존재할 수 없음을 두 단계로 보여주었다.따라서 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$은(는) 정의상$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 우월성이다.

비고

본 바와 같이, $경계{\displaystyle \mathbb{}}$ 집합의 우월성과 무한성의 존재는 R ${\$의 완전성에 대한 상담이다$.$ 실제로 이 둘은 동등하다는 뜻으로, 둘 중 어느 한 쪽이 자명하게 도입될 수 있다는 뜻이다.

증명: (${\displaystyle {In}_{}{}_{}}$)${\displaystyle {n\mathbb{}}_{}}$] N ${\$${\displaystyle n_{}}$= ${\displaystyle [n_{}}$, ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle I_{n}=[a_{n$},$b_{n}]}}}}}}}}}}}}}$을(으$$)로 하여 중첩된 간격의 순서가 되도록$$ 한다.그러면 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle :=\{}$ ${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}\dots \}}$ 세트 ${\displaystyle$ A$:=\{a_{1},a_{2},\dots \}}$이(가) 위에서$$ 경계되며, 여기서 모든 ${\displaystyle b_{}}$ n ${\$은 상한이다$$.This implies, that the least upper bound ${\displaystyle s=\sup(A)}$ fulfills ${\displaystyle a_{n}\leq s\leq b_{n}}$ for all ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Therefore ${\displaystyle s\in I_{n}}$ for all ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, respectively $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle {N\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$ n ${\$ x$\in \cap _{n\in \mathb {N}{{I_{$n$\}\}\}\}\}\}.$

추가 결과

시퀀스의 정합화와 시퀀스의 축적 지점을 공식적으로 정의한 후, 볼자노–도 증명할 수 있다.내포된 간격을 이용한 위어스트라스 정리.후속 조치에서, 카우치 시퀀스가 수렴(그리고 모든 수렴 시퀀스가 카우치 시퀀스라는 사실)을 증명할 수 있다.이는 다시 위의 완전성 속성에 대한 증거를 허용하여 동등성을 보여준다.

관련 측면에 대한 추가 논의

Without any specifying what is meant by interval, all that can be said about the intersection ${\displaystyle \cap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}$ over all the naturals (i.e. the set of all points common to each interval) is that it is either the empty set ${\displaystyle \emptyset }$, a point on the number line (cal싱글톤${\displaystyle }${ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{x\}})$ 또는 일부 간격.

The possibility of an empty intersection can be illustrated by looking at a sequence of open intervals ${\displaystyle I_{n}=\left(0,{\frac {1}{n}}\right)=\left\{x\in \mathbb {R} :0<x<{\frac {1}{n}}\right\}}$.

이 경우 빈 집합${\displaystyle \mathrm{}}$set${\displaystyle \emptyset$}은$$(는) 교차로 $\cap {\displaystyle {}_{}}$ n${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle N_{}}$ I n$${\$displaystyle \cap _{n\in \mathb {N}{}I_{n}}}}}}$에서 발생한다$.$이 결과는 어떤 숫자 > ${\$$displaystyle$ $x>0}$에 대해서도 ${\$$displaystyle n\in \mathb {N}($ n> / ${\displaystyle$ $n$$>1$$/x})$의 일부 값이 존재한다는 사실에서 비롯된다이것은 실제 숫자의 아르키메데스 재산에 의해 주어진다.따라서 ${\displaystyle }$> {\$displaystyle$ x>$0} 아무리$ 작은x > 0{\displaystyle${\displaystyle {}_{}}$I_{$n$$}$의 순서로 항상 구간$$ ${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle I_{n}$을 찾을 수 있으므로 $교차점$이 비어 있어야 함을 암시한다$$.

닫힌 간격마다 상황이 다르다.If one changes the situation above by looking at closed intervals of the type ${\displaystyle I_{n}=\left[0,{\frac {1}{n}}\right]=\left\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq {\frac {1}{n}}\right\}}$, one can see this very clearly.∈ N{\displaystylen\in \mathbb{N}}. 어떤 사람은 결론을 내릴 수 있는 각 x의 자,에 0{\displaystyle x>0}아직 한 사람을 항상 말했다{\displaystyle)}가 포함되지 않지만 x에)0{\displaystyle x=0}, 속성이 0≤)간격을 찾을 수 있≤ 1/n{0\leq x\leq 1/n\displaystyle}는 어느 n에서나 있다 이 문제에.사건, $\cap {\displaystyle {}_{}}$ n ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle N_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{In}{}_{}}$=${\displaystyle }${ 0 ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \cap _{n\in \mathb {N} }I_{n}=\{0$

One can also consider the complement of each interval, written as ${\displaystyle (-\infty ,a_{n})\cup (b_{n},\infty )}$ - which, in our last example, is ${\displaystyle (-\infty ,0)\cup (1/n,\infty )}$. By De Morgan's laws, the complement of the intersection is a union of 분리형 오픈 세트 2개진짜 라인의 연결성에 의해 그들 사이에는 분명 무엇인가가 있을 것이다.이것은 내포, 닫힘 및 경계 구간의 교차점이 비어 있지 않음을 보여준다.

상위 치수

2차원에서도 비슷한 결과가 있다: 평면에 중첩된 폐쇄형 디스크는 공통 교차점을 가져야 한다.이 결과는 헤르만 베일(Hermann Weyl)이 특정 미분 방정식의 단일한 행동을 분류하기 위해 보여주었다.

참고 항목

• 이등분법
• 칸토르 교차로 정리

참조

• Fridy, J. A. (2000), "3.3 The Nested Intervals Theorem", Introductory Analysis: The Theory of Calculus, Academic Press, p. 29, ISBN 9780122676550.
• Shilov, Georgi E. (2012), "1.8 The Principle of Nested Intervals", Elementary Real and Complex Analysis, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, pp. 21–22, ISBN 9780486135007.
• Sohrab, Houshang H. (2003), "Theorem 2.1.5 (Nested Intervals Theorem)", Basic Real Analysis, Springer, p. 45, ISBN 9780817642112.
• Königsberger, Konrad (2003), "2.3 Die Vollständigkeit von R (the completeness of the real numbers)", Analysis 1, 6. Auflage (6th edition), Springer, p. 10-15, ISBN 9783642184901