네토의 정리

힐베르트 곡선의 첫 번째 세 단계는 Netto의 정리에 의해 많은 자기 교차점을 갖는 공간 채우기 곡선이다.

자체 교차로가 없는 Osgood 곡선.Netto의 정리에 따르면 이러한 곡선이 평면의 볼록 부분 집합을 완전히 덮는 것은 불가능하다.

수학 해석학에서, Netto의 정리는 매끄러운 다양체의 연속적인 분사가 차원을 보존한다고 말한다.즉, 차원이 다른 두 매끄러운 매니폴드 사이에 연속적인 사출이 존재하지 않는다.그것은 Eugen Netto의 ^[1]이름을 따서 지어졌다.

고차원 다양체에서 1차원 다양체로의 지도의 경우는 1878년 야콥 뤼로스에 의해 증명되었고, 위상원을 포함하는 어떤 다양체도 실선에 연속적이고 생물적으로 매핑될 수 없다는 것을 보여주기 위해 중간값 정리를 사용했다.1878년의 Netto와 1879년의 Georg Cantor 둘 다 일반정리에 대한 잘못된 증거를 제시했다.이 결함은 나중에 인식되어 ^[2]수정되었습니다.

이 정리의 중요한 특별한 경우는 실선이나 단위 간격과 같은 1차원 공간에서 유클리드 평면이나 단위 제곱과 같은 2차원 공간으로의 연속적인 사출이 존재하지 않는 것에 관한 것이다.정리 조건은 1차원 공간에서 2차원 공간까지 흥미로운 함수 클래스를 얻기 위해 다양한 방법으로 완화될 수 있습니다.

• 공간 채우기 곡선은 1차원 공간부터 2차원 공간까지 연속되는 투영 함수입니다.평면 또는 단위 사각형의 모든 점을 선 또는 단위 간격의 이미지로 덮습니다.예를 들어 Peano 곡선과 Hilbert 곡선이 있습니다.이 예들 중 어느 것도 자기 교차를 가지고 있지 않지만, Netto의 정리에 따르면 이러한 ^[1]곡선으로 여러 번 커버되는 정사각형의 점들이 많이 있습니다.
• Osgood 곡선은 1차원 공간에서 0이 아닌 면적을 가진 평면의 하위 집합으로 연속적으로 분사하는 것입니다.이들은 평면에서 조던 곡선을 형성합니다.그러나, Netto의 정리에 따르면, 그것들은 전체 평면, 단위 정사각형 또는 다른 볼록 ^[1]집합을 포함할 수 없습니다.
• 만약 누군가가 연속성의 요구사항을 완화한다면, 유계 치수의 모든 매끄러운 다양체는 동일한 카디널리티, 즉 연속체의 카디널리티를 가진다.그러므로, ^[2][3]1878년 게오르크 칸토르가 보여주었듯이, 그들 사이에 불연속적인 사출이 존재한다.칸토어의 결과는 많은 수학자들에게 놀라움으로 다가왔고 공간을 채우는 곡선, 오스굿 곡선, 그리고 넷토의 ^[2]정리로 이어지는 연구를 시작했다.단위사각형에서 단위간격까지의 근분사는 정사각형 내의 점의 데카르트 좌표의 십진수 표현 자릿수를 인터리브함으로써 얻을 수 있다.1 = 0.999...의 두 소수점 표현으로 예시되는 십진수의 모호성으로 인해 이는 분사가 아닌 주입이 되지만, 이 문제는 슈뢰더-베른슈타인 ^[3]정리를 사용하여 복구할 수 있다.

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