공간 채우기 곡선

수학 해석에서 공간 채우기 곡선은 범위가 전체 2차원 단위 정사각형(또는 더 일반적으로 n차원 단위 하이퍼큐브)을 포함하는 곡선이다.주세페 페아노(1858–1932)가 최초로 발견했기 때문에, 2차원 평면에서의 공간 채우기 곡선은 때때로 페아노 곡선이라고 불리기도 하지만, 그 구절은 또한 페아노가 발견한 공간 채우기 곡선의 구체적인 예인 페아노 곡선을 가리킵니다.

정의.

직관적으로 2차원 또는 3차원 이상의 곡선은 연속적으로 움직이는 점의 경로로 간주할 수 있습니다.이 개념의 본질적인 모호성을 제거하기 위해 1887년 요르단은 다음과 같은 엄격한 정의를 도입했으며, 이후 곡선의 개념에 대한 정확한 설명으로 채택되었다.

가장 일반적인 형태에서, 그러한 함수의 범위는 임의의 위상 공간에 있을 수 있지만, 가장 일반적으로 연구되는 경우, 범위는 2차원 평면(평면 곡선) 또는 3차원 공간(공간 곡선)과 같은 유클리드 공간에 있을 것이다.

곡선은 함수 자체 대신 함수의 이미지(함수의 가능한 모든 값 집합)로 식별되는 경우가 있습니다.끝점이 없는 곡선을 실제 선(또는 열린 단위 간격(0, 1))에서 연속 함수로 정의할 수도 있습니다.

역사

1890년, 페아노는 단위 ^[1]사각형의 모든 점을 통과하는 연속 곡선을 발견했는데, 지금은 페아노 곡선이라고 불린다.그의 목적은 단위 간격에서 단위 정사각형까지의 연속적인 매핑을 구성하는 것이었다.Peano는 단위 간격의 무한 개수가 단위 제곱과 같은 유한 차원 다양체의 무한 개수와 동일하다는 Georg Cantor의 직관에 반하는 결과에 의해 동기 부여되었습니다.Peano가 해결한 문제는 그러한 매핑이 연속적일 수 있는지 여부, 즉 공간을 채우는 곡선이었다.Peano의 해는 단위 간격과 단위 제곱 사이에 연속적인 일대일 대응 관계를 설정하지 않으며, 실제로 이러한 대응 관계는 존재하지 않는다(아래의 § 속성 참조).

얇음과 1차원성에 대한 모호한 개념을 곡선과 연관시키는 것이 일반적이었습니다. 일반적으로 접하는 모든 곡선은 부분적으로 미분할 수 있으며(즉, 부분적으로 연속적인 도함수를 가지며), 이러한 곡선은 전체 단위 정사각형을 채울 수 없습니다.따라서 Peano의 공간 채우기 곡선은 매우 직관에 반하는 것으로 나타났습니다.

Peano의 예에서 범위에 n차원 하이퍼큐브가 포함된 연속 곡선을 쉽게 추론할 수 있었다.또한 Peano의 예를 끝점 없는 연속 곡선으로 확장하는 것이 쉬웠고, 이는 전체 n차원 유클리드 공간(여기서 n은 2, 3, 또는 다른 양의 정수)을 채웠다.

가장 잘 알려진 공간 채우기 곡선은 공간 채우기 한계와 더욱 근접하게 각각 선형 연속 곡선 시퀀스의 한계로 반복적으로 구성된다.

Peano의 획기적인 기사는 3원 팽창과 미러링 연산자의 관점에서 정의된 그의 구조에 대한 삽화를 포함하지 않았습니다.그러나 그래픽 구조는 그에게 완벽하게 분명했다. 그는 토리노에 있는 자신의 집에서 곡선의 그림을 보여주는 장식용 타일을 만들었다.Peano의 기사는 또한 이 기술이 Base 3 이외의 다른 이상한 베이스로 명백히 확장될 수 있다는 것을 관찰함으로써 끝을 맺는다.그래픽 시각화에 대한 어떠한 매력도 피하려는 그의 선택은 사진 덕택에 완전히 엄격한 증거를 원했기 때문이다.당시(일반 토폴로지의 기초가 시작된 시점)에는 여전히 그래픽 논쟁이 증명에 포함되었지만 종종 반직관적인 결과를 이해하는 데 장애가 되고 있었다.

1년 후, 데이비드 힐버트는 같은 저널에 페아노 ^[2]건축의 변형을 발표했다.힐버트의 기사는 기본적으로 여기에 나와 있는 것과 같은 시공 기법을 시각화하는 데 도움이 되는 그림을 최초로 포함시켰다.그러나 힐베르트 곡선의 해석적 형태는 페아노 곡선의 해석적 형태보다 더 복잡하다.

공간채움곡선 구축의 개요

$(\$는 칸토어 $공간{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ $(\displaystyle \mathbf {2}^{\mathbb {N$을 나타냅니다$.$

칸토어 $공간{\displaystyle \mathcal{}}$ C$(\$에서 전체 단위${\displaystyle }$간격 [$](\displaystyle[0,$ 1$])$까지 연속 $함수{\displaystyle }$h(\$style$ h$)$로 시작합니다(칸토어 함수를 칸토어 세트로 제한함).여기서 토폴로지 $곱{\displaystyle \mathcal{}}$C ×$C$의 $연속함수{\displaystyle }$H$(\displaystyle$${C}\;\times \;{\mathcal {C}})$를 단위$$ 제곱$[{\displaystyle 0,1\mathrm{}]}$× [${\displaystyle 0\mathrm{},}$ 1$]\times \;\$times \;\$displaystyle [0,1]\$times\;\$times$\;$0,1\$tes\tes\tes\cal {C}에서$$ 얻을 수 있다.

Cantor 세트는 $× C$와 동형이기 때문에${\displaystyle C\mathcal{}}$ × C로 $설정$된 연속 $g$가 있습니다$.\displaystyle {C}\;\times \;{\mathcal$ {C$\}.$ $fstyle$ f$.$$displaystyle$ H$}$ $및$ g {\$displaystyle$ g$}$는 칸토어 집합을 전체 단위 정사각형에 매핑하는 연속 함수입니다(또는 모든 콤팩트 메트릭 공간이 칸토어 집합의 연속 이미지라는 정리를 사용하여 $함수{\displaystyle }$f {\$displaystyle$ f$}$를 얻을 수 있습니다).

마지막으로 f${displaystyle$ f$}$를 f${$$displaystyle$F$}$의 각 성분에 대해${\displaystyle }$Tietze 확장 정리를 사용하거나 f${$$displaystyle$ f$\}$의 간단한 $확장$을 $통해{\displaystyle }$ f{$displa$}의 영역을 전체 단위 간격 $0,1$의 연속 $함수{\displaystyle }$F{$displaystyle$ F}로$$ $확장$할 수 있습니다.$ystyle$ f$}$ "선형"(즉, 칸토어 세트 구성에서 삭제된 각 열림${\displaystyle }$간격 (${\displaystyle a}$${\displaystyle ,b}$${\displaystyle )}$ $\{\{{\displaystyle }$$displaystyle (a,$ $b)}$마다${\displaystyle }$fstyle${\displaystyle 값}$을 연결하는 단위 내의 선 세그먼트로 F$${$displaystyle$$(a,$b)}의 확장 부분을 정의합니다$.$$e$ f$(a)}$ $및$ f$)$ {$displaystyle$ f$(b)}.$

특성.

곡선이 주입식이 아닌 경우 곡선의 교차하는 두 개의 하위 곡선을 찾을 수 있습니다. 각 곡선은 곡선의 영역(단위 선 세그먼트)에서 두 개의 분리된 세그먼트의 영상을 고려하여 얻을 수 있습니다.두 영상의 교차점이 비어 있지 않으면 두 하위 곡선이 교차합니다.교차하는 곡선의 의미는 평행하지 않은 두 선의 교차점처럼 한 변에서 다른 변으로 교차하는 것이라고 생각할 수 있습니다.그러나 두 개의 곡선(또는 한 원곡선의 두 개의 하위 곡선)이 교차하지 않고 서로 접촉할 수 있습니다. 예를 들어 원에 접하는 선이 교차하는 것처럼.

비자기교차연속곡선은 단위간격에서 단위사각형으로 곡선이 동형사상이 되기 때문에 단위사각형을 채울 수 없다(콤팩트공간에서 하우스도르프공간으로의 연속분사는 동형사상이 된다).그러나 단위 정사각형에는 절단점이 없으므로 끝점을 제외한 모든 점이 절단점인 단위 간격과 동형일 수 없습니다.0이 아닌 영역의 비자기 교차 곡선인 Osgood 곡선이 있지만 Netto의 정리에 따르면 공간을 ^[3]채우지 않습니다.

두 개의 하위 곡선이 교차하는 고전적인 Peano 및 Hilbert 공간 채우기 곡선의 경우(기술적 의미) 자가 교차 없이 자가 접촉이 있습니다.공간 채우기 곡선은 근사 곡선이 자가 교차하는 경우 (어디서나) 자가 교차할 수 있습니다.위의 그림에서 알 수 있듯이 공간 채우기 곡선의 근사치는 스스로 회피할 수 있습니다.3차원에서는 자기 회피 근사 곡선에는 매듭도 포함될 수 있습니다.근사 곡선은 n차원 공간의 경계 부분 내에 유지되지만, 그 길이는 경계 없이 증가한다.

공간을 채우는 곡선은 프랙탈 곡선의 특수한 경우입니다.구분 가능한 공간 채우기 곡선은 존재할 수 없습니다.대략적으로 말하면, 차별화성은 곡선이 얼마나 빨리 회전할 수 있는지에 대한 한계를 부여합니다.

한-마주르키에비치 정리

Han-Mazurkiewicz 정리는 곡선의 연속 이미지인 공간의 다음과 같은 특성화이다.

단위 간격의 연속 이미지인 공간은 Peano 공간이라고도 합니다.

Han-Mazurkiewicz 정리의 많은 공식에서, 2차 계수 가능은 계량 가능으로 대체된다.이 두 공식은 동일합니다.한 방향에서 콤팩트 하우스도르프 공간은 정규 공간이며, Urysson metrization 정리에 따르면 2차 계수 가능은 metrizable을 의미한다.반대로 콤팩트한 메트릭스페이스는 세컨드카운트 가능합니다.

클라이니아 그룹

이중 퇴화 클라이니아 군 이론에는 공간을 채우는, 혹은 구를 채우는 곡선의 자연스러운 예가 많이 있다.예를 들어, Cannon & Thurston(2007)은 의사 아노소프 맵의 매핑 토러스 섬유의 유니버설 커버의 무한대 원은 구 채우기 곡선이다(여기서 구면이란 쌍곡선 3공간의 무한대 구면이다).

통합

Wiener는 "푸리에 적분 및 특정 용도"에서 공간 채우기 곡선이 르베그 통합을 1차원에서의 르베그 적분보다 더 높은 차원으로 감소시키기 위해 사용될 수 있다고 지적했다.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

• Cannon, James W.; Thurston, William P. (2007) [1982], "Group invariant Peano curves", Geometry & Topology, 11 (3): 1315–1355, doi:10.2140/gt.2007.11.1315, ISSN 1465-3060, MR 2326947
• Hilbert, D. (1891), "Ueber die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück", Mathematische Annalen (in German), 38 (3): 459–460, doi:10.1007/BF01199431, S2CID 123643081
• 를 클릭합니다Mandelbrot, B. B. (1982), "Ch. 7: Harnessing the Peano Monster Curves", The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman.
• 맥 케나, 더글러스 M.(1994년),"정방형 그리드에 SquaRecurves, E-Tours, Eddies, Frenzies:페아노 곡선의 기본 가족들은", 가이에서, 리처드 K.;.우드 로우, 로버트 E.(eds.), 그 라이터 사이드 수학의:.유진 Strens 기념관 회의 휴양 그리고 수학과의 역사에 회보, 수학 협회는 미국의,를 대신하여 서명함. 49–73, 아이 에스비엔 978-0-88385-516-4.
• 를 클릭합니다Peano, G. (1890), "Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane", Mathematische Annalen (in French), 36 (1): 157–160, doi:10.1007/BF01199438, S2CID 179177780.
• 를 클릭합니다Sagan, Hans (1994), Space-Filling Curves, Universitext, Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0871-6, ISBN 0-387-94265-3, MR 1299533.

외부 링크

• 다차원 공간 채우기 곡선
• 절단된 코트에서 사출이 존재한다는 증거

자바 애플릿:

• 자른 코트에서 Peano 평면 채우기 곡선
• Hilbert와 Moore의 절단된 평면 채우기 곡선
• 모든 Peano 평면 채우기 원곡선(컷 더 노)