통상의 팬

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수학, 특히 볼록 기하학에서 볼록 폴리토프 P의 정규 팬은 P와 이중인 다면체 팬이다.일반 팬은 다면체 조합학, 선형 프로그래밍, 열대 기하학 및 기타 수학 분야에 응용됩니다.

정의.

R의ⁿ 볼록 폴리토프 P가 주어졌을 때, P의 법선_P 팬 N은, P의 각 면 F에 대한 법선 원뿔 C로 이루어진 (Rⁿ)*의 이중 공간에서의 다면체_F 팬이다.

${\displaystyle N_{P}=\{C_{F}\}_{F\in \operatorname {face}(P)}.}.$

각 정규 원뿔_F C는 w(x)를 최대화하는 P의 점 x 집합이 F를 포함하도록 선형 함수 w의 집합으로 정의된다.

${\displaystyle C_{F}=\{w\in(\mathbb {R}^{n})^{*}\mid F\subseteq \operatorname {submax}_{x\in P}w(x)\}$

특성.

• N은_P 완전한 팬입니다. 즉, 원뿔의 결합은 공간 전체입니다. (Rⁿ)*
• 만약 F가 치수 d의 P의 면이라면, 그 법선_F 원뿔 C는 치수 n – d를 가진다.P의 정점에 대한 일반 원추는 전체 치수입니다.P가 풀치수를 가지면 P의 면에 대한 법선 원뿔은 N의_P 광선이며, P에 대한 법선 원뿔 자체는_P C = {0}이다.
• P의 면 F의 아핀 스팬은 정규 원뿔 C의_F 선형 스팬과 직교합니다.
• P의 면과 N의_P 원뿔 사이의 대응은 포함을 반전시킨다. 즉, P의 면 F와 G의 경우,

$\displaystyle F\subseteq G\quad \좌측 화살표 C_{F}\supseteq C_{G}.}$

• N은 팬이기 때문에_P 두 원뿔의 교차점도 N의_P 원뿔이다.P의 면 F와 G의 경우,

${\displaystyle C_{F}\cap C_{G}=C_{H}}$

여기서 H는 F와 G를 모두 포함하는 P의 가장 작은 면이다.

적용들

• 폴리토프 P가 리니어 프로그램의 실현 가능한 영역이라고 생각되면, P의 노멀 팬은 각각 정의된 리니어 프로그램에 설정된 해법에 근거해 목적 함수의 공간을 분할한다.선형 목적 함수 w를 최대화하는 것이 목적인 선형 프로그램은 w가 원뿔_F C의 상대 내부에 있는 경우에만 솔루션 집합 F를 가집니다.
• 폴리토프 P가 내부에 원점을 가지고 있으면, 듀얼 폴리토프 P°의 각 면에 원뿔을 가져가는 것으로, P의 극성 듀얼로부터 P의 법선 팬을 구성할 수 있다.
• 계수가 C인 n개의 변수 중 f다항식의 경우 f의 열대초면은 f의 뉴턴 폴리토프 P의 정상팬 서브팬에 지지된다.특히 열대초서면은 n보다 작은 치수 N의_P 원뿔에 지지된다.

레퍼런스