바이어스트라스 함수

수학에서 위어스트라스 함수는 어디에서나 계속되지만 어디에서도 차별화될 수 있는 실제 가치 함수의 예다. 프랙탈 곡선의 예다. 그것은 발견자인 칼 위어스트라스의 이름을 따서 지어졌다.

위어스트라스 함수는 역사적으로 병리학적 함수의 역할을 수행해 왔으며, 일련의 고립된 지점을 제외하고 모든 연속적인 함수가 서로 다르다는 개념에 도전하기 위해 특별히 고안된 첫 번째 사례(1872)가 되었다.^[1] 연속성이 거의 모든 곳에서 다른 가능성을 내포하지 않았다는 Weierstrass의 입증은 기하학적 직관력과 부드러움의 모호한 정의에 의존하는 여러 증거를 뒤엎으며 수학에 박차를 가했다. 이러한 유형의 기능은 동시대인들에 의해 비난 받았다. 앙리 푸앵카레는 이들을 '괴물'로 유명하며 위어스트라스의 작품을 '상식에 대한 분노'라고 불렀고, 찰스 헤르미테는 '고민스러운 재앙'이라고 썼다. 그 기능들은 다음 세기에 컴퓨터가 도착하기 전까지는 시각화가 불가능했고, 브라운 운동 모델과 같은 실용적 응용이 무한히 들쭉날쭉한 기능(요즘은 프랙탈 곡선이라고 알려져 있다)^[2]을 필요로 할 때까지 그 결과는 널리 받아들여지지 않았다.

건설

Weierstrass의 원본 논문에서 이 함수는 푸리에 시리즈로 정의되었다.

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\inflt }a^{n}\cos(b^{n}\pi x),}$

서 < ${\displaystyle 0<a<1$ b ${\displaystyle b}$은(는) 양의 홀수 정수이며,

${\displaystyle ab}1+{\frac {3}{2}}\pi .}$

제약조건이 충족되는 0< $>$이 존재하는$$ b ${\$$displaystyle b}$의 최소값은 ${\displaystyle \mathrm{b}}$= 7 ${\displaystyle b=7}$이다$.$ 이 구조는 그 기능이 어떤 간격에 걸쳐도 다를 수 없다는 증거와 함께 위어스트라스에 의해 1872년 7월 18일 쾨니글리히 아카데미에 데르 위센샤프텐에게 제시된 논문에서 처음 전달되었다.^[3][4][5]

결코 다를 수 없음에도 불구하고 기능은 연속적이다. 그것을 정의하는 무한계열의 항은 ±a로ⁿ 경계되고 이것은 0 < a < 1에 대한 유한 합이 있기 때문에, 용어의 합계의 합은 위어스트라스 M-시험에 의해_n M = a로ⁿ 균일하다. 각 부분합은 연속적이기 때문에, 균일한 한계 정리에는 f가 연속적이기 때문에, f가 연속적이라는 것을 따른다. 또한 각 부분합은 균일하게 연속적이므로 f도 균일하게 연속적이라는 것을 따른다.

연속함수는 파생상품이 있어야 하며, 또는 차이가 나지 않는 점 집합은 셀 수 없이 무한하거나 유한해야 한다고 예상할 수 있다. 그의 논문에서 위어스트라스에 따르면, 가우스를 포함한 초기 수학자들은 종종 이것이 사실이라고 추측했다. 이것은 구별할 수 없는 점들의 집합이 카운트할 수 있는 점들의 집합이 아닌 다른 어떤 집합인 연속적인 함수를 그리거나 시각화하기가 어렵기 때문일 것이다. 연속함수의 더 잘 행동한 등급에 대한 유사한 결과가 존재하는데, 예를 들어 립슈치츠 함수는 비차별성 점 집합이 르베그 null 집합이어야 한다(Rademacher의 정리). 우리가 일반적인 연속함수를 그리려고 할 때, 우리는 보통 립스치츠나 다른 행동을 잘 하는 함수의 그래프를 그린다.

위어스트라스 함수는 비록 이 용어는 훨씬 후에야 사용되었지만, 연구된 최초의 프랙탈 중 하나였다. 함수는 모든 레벨에서 디테일이 있기 때문에 곡선의 한 부분을 확대하면 직선에 점점 가까워지는 것을 보여주지 않는다. 오히려 아무리 가까운 곳에 있어도 그 기능은 단조로워지지 않을 것이다.

2018년까지 고전적인 바이어 슈트라스 함수의 그래프의 하우스 도르프 차원 D의 계산한 문제, 일반적으로 D2+로그 b⁡(를)<>로 여겨졌다;2{2+\log_{b\displaystyle}(를)<2}.[6][7]그 D은 엄격하게 2다음과 같은 조건에서{\displaystyle}에 김혜진입니다. 적다 {\displays위에서$$ b$}$을(를) 가르다. 30년 이상 지난 후에야 이것은 엄격하게 증명되었다.^[8]

Weierstrass 함수라는 용어는 종종 Weierstrass의 원래 예와 유사한 성질과 구조를 가진 모든 함수를 지칭하기 위해 실제 분석에서 사용된다. 예를 들어 코사인 함수는 무한 계열에서 조각처럼 선형의 "지그재그" 함수로 대체될 수 있다. G. H. 하디는 위의 구성의 기능이 가정 0 < a < 1, ab ≥ 1과 전혀 다를 바가 없다는 것을 보여주었다.^[9]

홀더 연속성

Weierstrass 함수를 다음과 같이 동등하게 쓰는 것이 편리하다.

${\displaystyle W_{\alpha }(x)=\sum _{n=0}^{\infit }b^{-n\alpha }}cos(b^{n}\pi x)}}$

$\alpha {\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle \frac{\ln }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{a}{}}$) ${\displaystyle \frac{\ln }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{(b}{}}$) ${\$a){\$ln(b$ 그러면_α W(x)는 지수 α의 Hölder 연속체로서 다음과 같은 C가 존재한다는 것이다.

${\displaystyle W_{\alpha }(x)-W_{\alpha }(y) \leq C x-y ^{\alpha }}}}$

모든 ^[10]x와 y에 대해 더욱이 W는₁ 모든 주문 α < 1의 orders데르 연속이지만 립스키츠 연속은 아니다.

구별할 수 없는 함수의 밀도

Weierstrass 함수는 "병리학"이지만 연속함수의 "일반적"이기도 하다.

• 위상학적으로 보면, [0, 1]의 어느 곳에서도 구별할 수 없는 실질 가치 함수의 집합은 [0, 1]의 모든 연속적 실질 가치 함수의 벡터 공간 C([0, 1]; R)^[11][12]에서 균일한 수렴의 위상과 함께 온다.
• 측정이론적 의미에서 공간 C([0, 1]; R)에 고전적인 위너 측정 γ을 장착했을 때, [0, 1]의 단일 지점에서라도 구별이 가능한 기능의 집합에는 γ 측정 0이 있다. 어느 곳에서도 구별할 수 없는 함수가 C([0, 1]; R)의 일반적인 부분집합([0, 1]; R)을 형성한다는 점에서 C([0, 1]; R)의 유한 차원 "slices"를 취하더라도 마찬가지다.

참고 항목

• 블랑캉게 곡선
• 코흐 눈송이
• 없음 연속 기능

메모들

참조

• David, Claire (2018), "Bypassing dynamical systems : A simple way to get the box-counting dimension of the graph of the Weierstrass function", Proceedings of the International Geometry Center, Academy of Sciences of Ukraine, 11 (2): 53–68, doi:10.15673/tmgc.v11i2.1028
• Falconer, K. (1984), The Geometry of Fractal Sets, Cambridge Tracts in Mathematics, Book 85, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33705-2
• Gelbaum, B Bernard R.; Olmstead, John M. H. (2003) [1964], Counterexamples in Analysis, Dover Books on Mathematics, Dover Publications, ISBN 978-0-486-42875-8
• Hardy, G. H. (1916), "Weierstrass's nondifferentiable function" (PDF), Transactions of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 17 (3): 301–325, doi:10.2307/1989005, JSTOR 1989005
• Weierstrass, Karl (18 July 1872), Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen, Königlich Preussische Akademie der Wissenschaften
  • Weierstrass, Karl (1895), "Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen", Mathematische Werke von Karl Weierstrass, 2, Berlin, Germany: Mayer & Müller, pp. 71–74
  • 영어 번역:

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Weierstrass function". MathWorld. (또한 연속적이고 어디에서도 다를 수 없는 다른 Weierstrass 함수)
• 바나흐의 수축 원리를 이용한 존재의 어느 곳에서도 다를 수 없는 연속 기능 증명.
• Baire 범주 정리를 사용한 단조로운 연속 함수 존재 증명.
• Johan Thim. "Continuous Nowhere Differentiable Functions". Master Thesis Lulea Univ of Technology 2003. Retrieved 28 July 2006.
• Weierstrass는 복잡한 평면 아름다운 프랙탈에서 기능한다.
• SpringerLink - Fourier 분석 및 적용 저널, 제16권, Weierstrass의 기능 및 저성장 사례에 대한 1번 단순 차별성 증명
• Weierstrass 기능: 지속적이지만 어디에서나 차별화되지 않음