코흐 눈꽃

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	코흐 눈꽃 프랙탈 – 칸 아카데미

코흐 눈송이의 처음 네 번의 반복은

애니메이션의 첫 7회 반복

Koch 곡선으로 확대

코흐 안티노프레이크

처음 4회 반복

여섯 번째 반복

코흐 눈송이(코흐 곡선, 코흐 별 또는 코흐^[1]^[2] 섬으로도 알려져 있음)는 프랙탈 곡선이며 지금까지 기술된 가장 초기의 프랙탈 중 하나입니다.이것은 스웨덴 수학자 헬게 폰 코흐가 1904년에 발표한 "접선 없는 연속 곡선, 기초 ^[3]기하학에서 구성 가능"이라는 논문에 나온 코흐 곡선에 기초하고 있다.

코흐 눈송이는 단계별로 반복적으로 쌓일 수 있습니다.첫 번째 단계는 정삼각형으로, 각각의 연속된 단계는 이전 단계의 각 면에 바깥쪽으로 굽은 부분을 추가하여 작은 정삼각형으로 형성됩니다.눈꽃을 만들 때 연속되는 단계들로 둘러싸인 영역은 원래 삼각형의 ${\tfrac {8}{5}}$ 면적의 $8.5배$ 로 ${\tfrac {8}{5}}$ ${\tfrac {8}{5}}$ 되는 반면 연속되는 단계들의 주변은 제한 없이 증가한다 $.$ 따라서 눈송이는 한정된 면적을 둘러싸지만 둘레는 무한하다.

건설

코흐 눈송이는 등변 삼각형에서 시작하여 다음과 같이 각 선분을 재귀적으로 변경하여 구성할 수 있습니다.

선분을 길이가 같은 세 개의 세그먼트로 나눕니다.
1단계에서 중간 세그먼트를 밑면으로 하고 바깥쪽을 가리키는 등변 삼각형을 그립니다.
2단계에서 삼각형의 밑부분인 선분을 제거합니다.

이 프로세스의 첫 번째 반복으로 육각형 윤곽이 생성됩니다.

코흐 눈송이는 위의 단계를 무한정 따를 때 도달하는 한계이다.Helge von Koch가 원래 설명한 코흐 곡선은 원래 삼각형의 세 변 중 하나만 사용하여 구성됩니다.즉, 3개의 코흐 곡선이 코흐 눈송이를 만듭니다.

코흐 곡선에 기초한 명목상의 평탄한 표면 표현도 마찬가지로 주어진 ^[4]각도로 톱니 모양의 세그먼트 패턴으로 각 라인을 반복적으로 분할함으로써 작성할 수 있다.

여러 Koch 곡선 반복으로 만들어진 프랙탈 거친 표면

특성.

코흐 눈송이 주변

각 반복은 코흐 눈송이의 변의 수에 4를 곱하기 때문에 n개 $(\displaystyle$ n $)$ 반복 $n$ $n$ 의 변의 수는 다음과 같이 구한다.

\displaystyle N_{n}=N_{n-1}\cdot 4=3\cdot 4^{n},}

원래의 등변 삼각형의 변 $s$ 가 $s$ 인 경우, n ${displaystyle$ n $}$ 회 $n$ $반복$ 후 눈송이 각 변의 길이는 다음과 같습니다.

S_{n}=map frac {S_{n-1}}{3}=map frac {s}{3^{n}},

원래 길이의 3배수 역제곱 $\style$ n 반복 $n$ 후 눈송이의 둘레는 다음과 같습니다.

P_{n}=N_{n}=3\cdot s\cdot s\cdot {leftflac {4}{3}}\right}^{n},

코흐 곡선은 반복할 때마다 곡선의 총 길이가 $(\$ 3 ${\tfrac {4}{3}}$ }}) 증가하므로 길이가 무한합니다.각 반복은 이전 반복보다 4배 많은 라인 세그먼트를 생성합니다. 각 세그먼트의 길이는 ${\tfrac {1}{3}}$ 단계의 세그먼트 길이 13 $(\$ 입니다 ${\tfrac {1}{3}}$ .따라서 n $(\displaystyle$ n) 반복 $n$ $후$ 곡선의 길이는 ( $n({\tfrac {4}{3}})^{n})$ 이 $({\tfrac {4}{3}})^{n}$ $({\tfrac {4}{3}})^{n}$ 되며, n $(\displaystyle$ n $)$ 은 $n$ 무한대인 경향이 있기 $n$ 에 무한대입니다.

주변 한계

반복 횟수가 무한대에 이르는 경향이 있으므로 둘레의 제한은 다음과 같습니다.

\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty}=\lim _{n\rightarrow \infty }3\cdot s\cdot \leftfrac {4}{3}\right)^{n}=\infty ,,}

4 ${\tfrac {4}{3}}>1$ > ${\tfrac {4}{3}}>1$ ({ $displaystyle$ { $tfrac$ { $4$ } {3 $}$ } ${\tfrac {4}{3}}>1$ > $1$ )이래.

ln ${\tfrac {\ln 4}{\ln 3}}$ ln ${\tfrac {\ln 4}{\ln 3}}$ (style & $gt; tfrac {\ln$ 3 $})$ 차원 ${\tfrac {\ln 4}{\ln 3}}$ 측정치가 ${\tfrac {\ln 4}{\ln 3}}$ 하지만, 아직 계산되지 않았습니다.오직 상한과 하한만이 ^[5]발명되었다.

코흐 눈송이 지역

각 반복에서 이전 반복의 양쪽에 새 삼각형이 추가되므로 $반복$ n $\style$ n에 $n$ 추가된 새 삼각형의 수는 다음과 같습니다.

T_{n}=N_{n-1}=3\cdot 4^{n-1}=cdot frac {3}{4}\cdot 4^{n},

반복에 추가된 각 새 삼각형의 면적은 이전 반복에서 추가된 각 삼각형의 면적 중 $(\$ 이므로 ${\tfrac {1}{9}}$ 반복 $n$ (\ $displaystyle$ n $)$ 에서 $n$ 추가된 각 삼각형의 면적은 다음과 같습니다.

a_{n}=snfrac {a_{n-1}}{9}=snfrac {a_{0}}{9}^{n}}},

$a_{0}$ 서 0 $(\$ 은 $a_{0}$ 원래 삼각형의 면적입니다. $따라서$ 반복n {\ $display$ n $}$ 에서 $n$ 추가된 총 새 영역은 다음과 같습니다.

b_{n}=T_{n}\cdot a_{n}=cdot frac {3}{4}\cdot {9}\right}^{n}\cdot a_{0

$\displaystyle$ n 반복 $n$ 후 눈송이의 총 면적은 다음과 같습니다.

{{n}=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}=a_{0}\left(1+{\frac {3}{4})\sum _{k=1}^{n}\left\flac {4}\flac {4}\right)^{k}\right)=a_{0}\left(1+{\frac {1}{3}\sum _{k=0}^{n-1}\left\frac {4}{9}\right)^{k}\right),}

지오메트릭 합계를 축소하면 다음과 같은 결과가 나옵니다.

A_{n}=a_{0}\left(1+{\frac {3}{5}}\left(1-\leftfrac {4}{9}}\오른쪽)^{n}\right)=param frac {a_{0}{5}}\left(8-3\faram\frac{4}{9}\right)^{n}\right),

면적 제한

영역의 제한은 다음과 같습니다.

\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{0}}{5}}\cdot \left(8-3\fright\frac {4}{9}}\오른쪽)^{n}\right)=syslogfrac {8}{5}\cdot a_{0},,}

4 ${\tfrac {4}{9}}<1$ < ${\tfrac {4}{9}}<1$ ({ $displaystyle$ { $tfrac$ { $4$ } { 9} $)<$ 1 ${\tfrac {4}{9}}<1$ }이래.

따라서 코흐 눈송이의 면적은 원래 삼각형 면적의 $($ 입니다 ${\tfrac {8}{5}}$ .원본 삼각형의 측면 $길이$ s(\ $style$ s)로 $s$ 표현하면 다음과 같습니다.^[6]

(\displaystyle {2s^{2}{\displayrt {3}}{5})}

솔리드 오브 레볼루션

단위 변의 시작 등변 삼각형의 대칭 축을 중심으로 한 코흐 눈송이의 회전체의 부피는 ${\frac {11{\sqrt {3}}}{135}}\pi .$ $.$ {{ $displaystyle {11{\sqrt {3}}{135}}}\pi}$ 입니다.

기타 속성

코흐 눈송이는 6개의 작은 복사본이 가운데에 하나의 큰 복사본을 둘러싸고 있는 자기 복제입니다.따라서 irrep-7 irrep-tile입니다(논의에 대해서는 Rep-tile 참조).

$코흐$ 곡선의 프랙탈 치수는 $ln$ 4 ${\tfrac {\ln 4}{\ln 3}}\approx 1.26186$ 3 $1$ 1. $26186$ 입니다 ${\tfrac {\ln 4}{\ln 3}}\approx 1.26186$ 이 값은 선의 값( $=$ $=1$ { $디스플레이 스타일$ $=1$ 1)보다 크지만 Peano의 공간 채우기 $(=$ 2 { $디스플레이 스타일 =2})$ 보다는 작습니다.

코흐 곡선은 어디에서나 연속적이지만, 어디에서도 구별할 수 없습니다.

평면 테셀레이션

코흐 눈송이 2가지 크기의 테셀레이션

두 가지 다른 크기의 코흐 눈송이를 복사하여 평면을 테셀링할 수 있습니다.하지만, 이러한 테셀레이션은 한 크기의 눈송이만을 사용하는 것은 불가능합니다.테셀레이션의 각 코흐 눈송이는 두 가지 크기의 7개의 작은 눈송이로 세분될 수 있기 때문에,^[8] 한 번에 두 가지 이상의 크기를 사용하는 테셀레이션을 찾을 수도 있다.같은 크기의 코흐 눈송이와 코흐 안티나우 플레이크를 사용하여 평면을 타일링할 수 있다.

Thue-Morse 시퀀스 및 거북 그래픽스

거북이 그래픽은 오토마톤이 시퀀스로 프로그래밍된 경우 생성되는 곡선입니다.프로그램 상태를 선택하기 위해 Thue-Morse 시퀀스멤버를 사용하는 경우:

$t(n)=0$ ( $t(n)=0$ n ) $=$ {\ $style$ t $(n$ )= $0$ 인 경우 한 단위 전진한다.
t $t(n)=1$ ( $t(n)=1$ $=$ { $displaystyle$ t $n$ )=1 $}$ 인 $t(n)=1$ ${\tfrac {\pi }{3}}$ 반대 방향으로 3 $({$ }{ $3$ 각도만큼 회전시킨다.

결과 곡선은 코흐 눈송이로 수렴됩니다.

Lindenmayer 시스템으로서의 표현

Koch 곡선은 다음과 같은 개서 시스템(Lindenmayer 시스템)으로 표시할 수 있습니다.

알파벳 : F

상수: +, -

Axiom : F

생산 규칙:

F → F+F--F+f

여기서 F는 "앞으로 당김", - "우회전 60°"를 의미하며 +는 "좌회전 60°"를 의미합니다.

코흐 눈송이를 만들기 위해서는 F-F-F(정삼각형)를 공리로 사용한다.

코흐 곡선의 변형

폰 코흐의 개념에 따라, 직각(사차), 다른 각도(세사로), 원과 다면체 및 고차원에 대한 확장(각각 Spaceflake와 Kochcube)을 고려하여 코흐 곡선의 여러 변형이 설계되었다.

변형(치수, 각도)	일러스트	건설
d 1D, 60~90° 각도	세자로 프랙탈 (85°)	Cesaro fractal은 60°와 90°^{[citation needed]} 사이의 각도를 가진 Koch 곡선의 변형입니다. $Cesàro fractal outlines 1-4.svg$ Cesaro Antiisnowflake의 처음 4회 반복(90° 정사각형으로 배열된 60° 곡선 4회)
1.46D 이하, 90° 각도	2차 유형 1 곡선	처음 두 번의 반복
1.5D, 90° 각도	2차 유형 2 곡선	민코프스키 소시지^[9] 처음 두 번의 반복.프랙탈 치수는 $($ 이며 ${\tfrac {3}{2}}$ ${\tfrac {3}{2}}$ 1과 2의 정확히 중간입니다.따라서 이것은 종종 정수 프랙탈 객체의 물리적 특성을 연구할 때 선택된다.
d 2D, 90° 각도	세 번째 반복	민코프스키 섬 정사각형에 배열된 4차 유형 2 곡선
37 1.37D, 90° 각도	이차 플레이크	폴리곤에 배열된 4차 유형 1 곡선:처음 두 번의 반복."민코프스키 소시지"^[10]^[11]^[12]로 알려진 프랙탈 ${\tfrac {\ln 3}{\ln {\sqrt {5}}}}=1.36521$ 는 ${\tfrac {\ln 3}{\ln {\sqrt {5}}}}=1.36521$ ${\tfrac {\ln 3}{\ln {\sqrt {5}}}}=1.36521$ ln ${\tfrac {\ln 3}{\ln {\sqrt {5}}}}=1.36521$ 5 ${\tfrac {\ln 3}{\ln {\sqrt {5}}}}=1.36521$ 1. $displaystyle {$ $tfrac { ln$ { 5 } ${\tfrac {\ln 3}{\ln {\sqrt {5}}}}=1.36521$ ^[13] 1 $. displaystyle$ 입니다 $.$
d 2D, 90° 각도	이차 반호수	곡선이 바깥쪽이 아닌 안쪽을 향하는 2차 플레이크 유형 1인 반교차 곡선(Vicsek 프랙탈)
1.49D 이하, 90° 각도	이차 십자	또 다른 변형입니다.프랙탈 치수는 ${\frac {\ln 3.33}{\ln {\sqrt {5}}}}=1.49$ . $33$ ln ${\frac {\ln 3.33}{\ln {\sqrt {5}}}}=1.49$ 1. $49 {$ $displaystyle$ } = ${\frac {\ln 3.33}{\ln {\sqrt {5}}}}=1.49$ 1.49 입니다 ${\frac {\ln 3.33}{\ln {\sqrt {5}}}}=1.49$
d 2D, 90° 각도	이차^[14] 섬	2차 곡선, 0, 1, 2회 반복, ${\tfrac {\ln 18}{\ln 6}}\approx 1.61$ ln ${\tfrac {\ln 18}{\ln 6}}\approx 1.61$ ln ${\tfrac {\ln 18}{\ln 6}}\approx 1.61$ 6 ${\tfrac {\ln 18}{\ln 6}}\approx 1.61$ 1. ${\tfrac {\ln 18}{\ln 6}}\approx 1.61$ ${ display$ \ $tfrac$ \ $ln$ 6 } \ $1 약 1$ .61
d 2D, 60° 각도	폰 코흐 표면	코흐 곡선의 자연 연장을 2차원으로 처음 세 번 반복합니다.]
d 2D, 90° 각도	$Koch quadratic 3d fractal.svg$ 유형 1 3D Koch 2차 프랙탈의 첫 번째(파란색 블록), 두 번째(녹색 블록 추가), 세 번째(노란색 블록 추가) 및 네 번째(투명 블록 추가) 반복	2차 유형 1 곡선의 연장입니다.왼쪽 그림은 두 번째 반복 후의 프랙탈을 보여줍니다. 애니메이션 2차 표면
33D, 임의의	$Koch Curve in Three Dimensions ("Delta" fractal).jpg$ 3D 코흐 곡선	코흐 곡선으로 구성된 3차원 프랙탈입니다.시에르핀스키 피라미드와 멩거 스펀지가 시에르핀스키 삼각형과 시에르핀스키 카펫의 연장이라고 볼 수 있는 것과 같은 의미에서 곡선의 3차원 연장이라고 볼 수 있다.이 모양에 사용된 곡선의 버전은 85° 각도를 사용합니다.

정사각형을 사용하여 유사한 프랙탈 곡선을 생성할 수 있습니다.단위 정사각형에서 시작하여 각 반복에서 각 변에 이전 반복의 정사각형의 1/3 치수를 갖는 정사각형을 더하면 둘레의 길이와 총 면적이 모두 기하급수에 의해 결정됨을 알 수 있다.면적의 진행은 2 $(\displaystyle$ 2 $2$ )로 수렴하고 주변에서의 진행은 무한대로 분산되므로 코흐 눈송이처럼 무한 프랙탈 ^[15]곡선으로 둘러싸인 유한한 면적이 있습니다.결과 영역은 정사각형의 중심을 원래 영역과 같지만 두 배의 면적으로 채우고 § $(\$ 라디안만큼 ${\tfrac {\pi }{4}}$ 회전합니다. 둘레는 서로 맞닿지만 겹치지 않습니다.

$n$ {\ $style$ n $}$ 반복에서 다루는 총 영역은 다음과 같습니다.

A_{n}=frac {1}{5}+{\frac {4}{5}\sum _{k=0}^{n}\left\frac {5}{9}\right}^ { k } \ mbox { giving } \ lim _ { n \ rightarrow \ infty } A _ { n } = 2, ,

단, 둘레의 총 길이는 다음과 같습니다.

P_{n}=4\left({\frac {5}{3}}\right)^{n}a,

n

\displaystyle

n이

n

n

할수록 무한대에 가까워집니다.

「」를 참조해 주세요.

하우스도르프 차원에 따른 프랙탈 목록
가브리엘의 뿔(무한 표면적이지만 한정된 부피를 감싸고 있음)
고스퍼 곡선(페아노-고스퍼 곡선 또는 플로우네이크라고도 함)
오스굿 곡선
자기유사성
테라곤
바이어스트라스 함수
해안선의 역설

레퍼런스

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추가 정보

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외부 링크

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안테나에 대한 Koch 곡선 적용
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[11] 팸필로스, 파리'민코프스키 소시지', user.math.uoc.gr/~http:/http:접속일 : 2019년 9월 21일

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[15] James McDonald가 2013년 1월 27일 KOST 대학교 공개강연에서 시연: CS1 maint: 아카이브 카피(archive copy as title)가 2013년 1월 29일 취득.

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v t 프랙탈
특성.	프랙탈 치수 아수아드 박스 카운트 히구치 상관 관계 하우스도르프 포장. 토폴로지 재귀 자기유사성
반복 함수 시스템.	반슬리 양치류 칸토어 집합 코흐 눈꽃 멩거 스펀지 시에르핀스키 카펫 시에르핀스키 삼각형 아폴로 개스킷 피보나치어 공간 채우기 곡선 블랑망주 곡선 드람 곡선 민코프스키 용곡선 힐베르트 곡선 코흐 곡선 레비 C 곡선 무어 곡선 페아노 곡선 시에르핀스키 곡선 Z차 곡선 스트링 T-제곱 n플레이크 빅섹 프랙탈 헥사플레이크 고스퍼 곡선 피타고라스나무 바이어스트라스 함수
이상한 매력자	다분할계
L계	프랙탈 캐노피 공간 채우기 곡선 H 트리
이스케이프 타임 프랙탈	불타는 배 프랙탈 줄리아 세트 가득 찬 뉴턴 프랙탈 두아디토끼 랴푸노프 프랙탈 만델브로트 집합 미시우레비치 점 멀티봇 세트 뉴턴 프랙탈 트리콘 만델박스 만델구
렌더링 기술	버드하브 궤도 트랩 피커버 줄기
랜덤 프랙탈	브라운 운동 갈색나무 브라운 모터 프랙탈 풍경 레비 비행 침투 이론 자기 회피 보행
사람	마이클 반즐리 게오르크 칸토르 빌 고스퍼 펠릭스 하우스도르프 데스몬드 폴 헨리 개스톤 줄리아 헬게 폰 코흐 폴 레비 알렉산드르 랴푸노프 브누아 만델브로 하미드 나데리 예가네 루이스 프라이 리처드슨 바츠와프 시에르핀스키
다른.	"영국 해안은 얼마나 깁니다?" 해안선의 역설 프랙탈 아트 하우스도르프 차원에 따른 프랙탈 목록 자연의 프랙탈 기하학 (1982년 책) 프랙탈의 아름다움 (1986년 책) 혼돈: 새로운 과학 만들기 (1987년 책) 만화경 카오스 이론

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