단일 모수 그룹

이 글은 검증을 위해 인용구가 추가로 필요하다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. 출처 찾기: "하나의 매개변수 그룹" – 뉴스 · 신문 · 책 · 학자 · JSTOR (2015년 1월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 학습)

수학에서, 1-모수 그룹 또는 1-모수 부분군은 일반적으로 연속적인 그룹 동형성을 의미한다.

${\displaystyle \varphi :\mathb {R} \오른쪽 화살표 G}$

from the real line ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (as an additive group) to some other topological group ${\displaystyle G}$. If ${\displaystyle \varphi }$ is injective then ${\displaystyle \varphi (\mathbb {R} )}$, the image, will be a subgroup of ${\displaystyle G}$ that is isomorphic to ${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle \mathb {R}}$을(를) 가법 그룹으로$$ 표시하십시오.

소푸스 리에 의해 1893년 극소수 변환을 정의하기 위해 1-모수 그룹이 도입되었다.Lie에 따르면, 최소 변환은 그것이 생성하는 단일 매개변수 그룹의 무한히 작은 변환이다.^[1]어떤 차원의 Lie 그룹을 설명하는 데 사용되는 Lie 대수학을 생성하는 것은 이러한 극소수의 변환이다.

집합에 대한 1-모수 그룹의 작용을 흐름이라고 한다.한 점에서 다지관의 부드러운 벡터 장은 국소 흐름을 유도하며, 국소 차이점 유형의 단일 매개변수 그룹으로서 벡터 영역의 적분 곡선을 따라 점을 보낸다.벡터 필드의 국부적 흐름은 벡터 필드를 따라 텐서 필드의 Lie 파생 모델을 정의하는 데 사용된다.

예

그러한 1-모수 집단은 리 집단 이론에서 기본적으로 중요한데, 이 이론에 대해 관련 리 대수학의 모든 요소들은 그러한 동형성, 즉 지수 지도를 정의한다.행렬 그룹의 경우 그것은 행렬 지수화에 의해 주어진다.

기능 분석에서 또 다른 중요한 경우를 볼 수 있는데, $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$은(는) 힐버트 공간의 단일 운영자 그룹이다$$.단일 변수 단일 그룹에 대한 스톤 정리를 참조하십시오.

1957년 자신의 모노그래프 Lie Groups에서 P. M. Cohn은 58페이지에 다음과 같은 정리를 한다.

연결된 1차원 거짓말 그룹은 모두 분석적으로 이형성이며, $실제{\displaystyle \mathfrak{}}$ 숫자 ${\displaystyle R\mathrm{}}$ ${\$ 또는 T ${\displaystyle$ {\$mathfrak{T},$ 실제 숫자$$${\displaystyle \mathrm{mod}}$ 1${\displaystyle \mod1$}의 첨가 그룹이다$.$ 특히 모든 1차원 거짓말 그룹은 국소형이다.$딸꾹질$을 R ${\$ $\}.$

물리학

물리학에서 하나의 변수 그룹은 역동적인 시스템을 설명한다.^[2]더욱이 물리적 법칙의 체계가 서로 다른 대칭의 한 변수 집단을 인정할 때마다, 노에더의 정리로는 보존된 양이 있다.

스페이스타임 연구에서는 1908년 헤르만 밍코프스키가 논의한 이후 주걱-임시 측정치를 보정하기 위해 하이퍼볼라 단위를 사용하는 것이 일반화되었다.상대성 원리는 세계선을 결정하기 위해 하이퍼볼라 단위의 직경을 어느 정도 사용했는가의 재정적인 문제로 축소되었다.쌍곡각을 가진 하이퍼볼라의 파라메트리제이션(parametrization)을 이용하여 특수상대성이론은 급도에 의해 지수화된 1-모수 그룹과 상대운동의 미적분학을 제공했다.빠른 속도는 상대성 이론의 운동학 및 역학 이론의 속도를 대체한다.신속성은 한이 없기 때문에, 그것이 서 있는 하나의 매개변수 그룹은 비결정적이다.신속성 개념은 E.T에 의해 도입되었다. 1910년에 휘태커로, 다음해에 알프레드 롭이 이름을 지었다.신속성 매개변수는 19세기의 개념인 쌍곡선 버시어의 길이에 해당한다.Mathematical physicists James Cockle, William Kingdon Clifford, and Alexander Macfarlane had all employed in their writings an equivalent mapping of the Cartesian plane by operator ${\displaystyle (\cosh {a}+r\sinh {a})}$, where ${\displaystyle a}$ is the hyperbolic angle and ${\displa$$ystyle$ r$^{2}=+1$}$$$.$

GL(n,ℂ) 내

Lie groups 이론의 중요한 예는 $G{\displaystyle }$ {\$displaystyle G}$을$($를) 복잡한 항목이 있는 $변환{\displaystyle }$불가능한 $×$ n {\$displaystyle$ n\$times$ n$}$ 행렬의$$ $그룹인$G$$${\displaystyle \mathrm{L}}$(${\displaystyle n}$;$$) ${\displaystyle \$$times n$$}$ 행렬로 간주할$$ 때 발생한다.이 경우 기본적인 결과는 다음과 같다.^[3]

정리:$\phi {\displaystyle }$: ${\displaystyle R\mathbb{}}$→ ${\displaystyle \mathrm{G}}$ L${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$; ${\displaystyle C\mathbb{}}$) ${\displaystyle \varphi :\mathb {R} \rightarrow \mathrow \mathrm {GL}(n;\$mathb {$C}$ )이$($가) 단일 파라미터 그룹이라고 가정하자.그러면 다음과 ${\displaystyle \mathrm{같은}}$$$ 고유한 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ n ${\displaystyle n\times n}$ 행렬$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이(가) 존재한다.

${\displaystyle \varphi(t)=e^{tX}}$

모든 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$에 대해 $.$

이 결과로부터 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$은(는) 정리의 가정은 아니었지만 서로 다른 것으로 나타난다$$.$그런$ 다음 X ${\displaystyle X$$}$ 행렬을 $from{\displaystyle }$ {\$displaystyle \varphi }$에서 다음과 같이 복구할 수 있다.

${\displaystyle$$\왼쪽$${\frac {d\varphi (t)}{dt}\오른쪽 _{t=0}=\왼쪽.$${\frac {d}{dt}\오른쪽 _{t=0}e^{tX}=\왼쪽.$$(Xe^{tX})\right _{t=0}=Xe^{0}=X}$.

예를 들어, 이 결과는 매트릭스 Lie 그룹 사이의 모든 연속적인 동형성이 부드럽다는 것을 보여주기 위해 사용될 수 있다.^[4]

위상

$기술적{\displaystyle }$ 복잡성은 G ${\displaystyle G}$의 하위 공간으로서의$$ $\phi {\displaystyle }$ $){\displaystyle$ $\varphi$ $(\mathb {R} )$이$($가) $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ \$mathb {R}$에$$있는 위상보다 더 강력한 위상(위상)을 포함할 수$$ 있다는 것이다$.$ 이는 $\phi {\displaystyle }$ ${\displays$.$예$를 들어 G ${\displaystyle G}$이(가) $torus{\displaystyle }$ T$${\$displaystyle$$T}$이고, {$${\$displaystyle$$\varphi$}이(가) 비합리적인 $경사도$에서 직선을 둥글게 감아 구성된 경우를 생각해 보십시오$.$

이 경우 유도 위상이 실제 선의 표준 위상이 아닐 수 있다.

참고 항목

• 적분 곡선
• 단일 매개변수 세미그룹
• 노에더의 정리

참조

• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.