쌍곡각

쌍곡선은 두 개의 광선과 쌍곡선으로 둘러싸인 형상이다.

음영

처리된 섹터가 a =

1

인 경우 표준 위치에 있음

수학에서 쌍곡각은 쌍곡선을 정의하는 기하학적 형상이다. 쌍곡선과 쌍곡선의 관계는 "일반적인" 각도와 원의 관계를 평행하게 한다.

쌍곡선의 크기는 쌍곡선 xy = 1의 해당 섹터의 영역이다. 이 하이퍼볼라는 반주축이 ${\sqrt {2}}$ {\ $displaystyle {\sqrt{2}}$ 인 직사각형으로 ${\sqrt {2}}$ 2 ${\$ 인 원형의 영역에 해당하는 원형의 각도와 유사하다 ${\sqrt {2}}$

쌍곡각은 쌍곡선 함수 sinh, cosh 및 tanh에 대한 독립 변수로 사용된다. 쌍곡선 삼각형을 정의한 것으로 간주하여 쌍곡선 삼각함수와 해당 원형 삼각함수에 대한 쌍곡선 유사성에 대해 이러한 함수를 가정할 수 있기 때문이다. 따라서 모수는 실제 변수의 미적분학에서 가장 유용한 것 중 하나가 된다.

정의

직사각형 하이퍼볼라 $\textstyle \{(x,{\frac {1}{x}}):x>0\}$ $\textstyle \{(x,{\frac {1}{x}}):x>0\}$ $\textstyle \{(x,{\frac {1}{x}}):x>0\}$ $x>1$ ) $\textstyle \{(x,{\frac {1}{x}}):x>0\}$ : $\textstyle \{(x,{\frac {1}{x}}):x>0\}$ > $}$ {\ $displaystyle \textstyle \{\frac{1}{x}}}}}:x>0$ (관습에 따라) 지점 $x>1$ > $x>1$ ${\displaysty$ x $>1}$ 에 특히 주의를 기울이십시오 $x>1$

먼저 정의:

표준 위치의 쌍곡각은 ( $(1,1)$ $(0,0)$ 0 $(0,0)$ ) ${\displaystyle$ $(0,0)$ {\displaystyle $(1,0)}$ 과 $(1,1)$ (와 $(1,1)$ $\textstyle (x,{\frac {1}{x}})$ ( $\textstyle (x,{\frac {1}{x}})$ $\textstyle (x,{\frac {1}{x}})$ ) {\ $displaystyle$ \textyle $(x,{\frac{1$ $x$ }) 사이의 $(0,0)$ 각도인데 $x>1$ 서 $x>1$ > 1 ${\displaystystyle$ x $>$ 1.
이 각도의 크기는 해당 쌍곡선 섹터의 영역이며 $,$ 이 $\operatorname {ln} x$ 은 $\operatorname {ln} x$ $⁡$ x {\ $displaystyle$ \ $operatorname$ { $ln}$ x $}$ 인 것으로 확인된다 $\operatorname {ln} x$

자연 로그에 의해 수행되는 역할로 인해 다음 사항에 유의하십시오.

원형 각도와는 달리 쌍곡각은 한이 없다( $\operatorname {ln} x$ $\operatorname {ln} x$ x ${\displaystyle \operatorname {ln} x}).$ 이는 $\operatorname {ln} x$ 고조파 영상 시리즈가 한이 없다는 사실과 관련이 있다.
각도의 크기에 대한 공식은 $0<x<1$ < $0<x<1$ < $0<x<1$ > $0<x<1$ {\ $displaystyle 0<x<1$ }의 $0<x<1$ 경우 쌍곡선은 음수여야 함을 시사한다. 이는 정의한 바와 같이 각도가 지시된다는 사실을 반영한다.

마지막으로, 쌍곡 각도의 정의를 쌍곡선의 어떤 간격에 의해 하위화된 각도로 확장한다. d{\displaystyle a,b,c,d}은 긍정적인 실수를 b)cd)1{ab=cd=1\displaystyle}와 c>>1{\displaystyle c>, a> 1}, 쌍곡선에(a, b){\displaystyle(a,b)}과(c, d){\displaystyle(c,d)}것들)y=1{\displaystyle xy=1}a, b, c, 가정하자. 그리고 determi간격을 두다 Then the squeeze mapping $\textstyle f:(x,y)\to (bx,ay)$ maps the angle $\angle \!\left((a,b),(0,0),(c,d)\right)$ to the standard position angle ${\displaystyle \angle \!\lef$ $t$ (1 $,1),$ ( $0,0$ ), $(bc,ad)\right$ Greggoire de Saint-Vincent의 결과, 이들 각도에 의해 결정된 쌍곡선 섹터는 동일한 영역을 가지며, 이는 각도의 크기가 된다. 이 크기는 $\operatorname {ln} {(bc)}=\operatorname {ln} (c/a)=\operatorname {ln} c-\operatorname {ln} a$ $\operatorname {ln} {(bc)}=\operatorname {ln} (c/a)=\operatorname {ln} c-\operatorname {ln} a$ ( $\operatorname {ln} {(bc)}=\operatorname {ln} (c/a)=\operatorname {ln} c-\operatorname {ln} a$ $\operatorname {ln} {(bc)}=\operatorname {ln} (c/a)=\operatorname {ln} c-\operatorname {ln} a$ ) $\operatorname {ln} {(bc)}=\operatorname {ln} (c/a)=\operatorname {ln} c-\operatorname {ln} a$ = $\operatorname {ln} {(bc)}=\operatorname {ln} (c/a)=\operatorname {ln} c-\operatorname {ln} a$ $\operatorname {ln} {(bc)}=\operatorname {ln} (c/a)=\operatorname {ln} c-\operatorname {ln} a$ ( $\operatorname {ln} {(bc)}=\operatorname {ln} (c/a)=\operatorname {ln} c-\operatorname {ln} a$ / a $\operatorname {ln} {(bc)}=\operatorname {ln} (c/a)=\operatorname {ln} c-\operatorname {ln} a$ ) $\operatorname {ln} {(bc)}=\operatorname {ln} (c/a)=\operatorname {ln} c-\operatorname {ln} a$ = $\operatorname {ln} {(bc)}=\operatorname {ln} (c/a)=\operatorname {ln} c-\operatorname {ln} a$ $\operatorname {ln} {(bc)}=\operatorname {ln} (c/a)=\operatorname {ln} c-\operatorname {ln} a$ $\operatorname {ln} {(bc)}=\operatorname {ln} (c/a)=\operatorname {ln} c-\operatorname {ln} a$ - $\operatorname {ln} {(bc)}=\operatorname {ln} (c/a)=\operatorname {ln} c-\operatorname {ln} a$ $\operatorname {ln} {(bc)}=\operatorname {ln} (c/a)=\operatorname {ln} c-\operatorname {ln} a$ $\operatorname {ln} {(bc)}=\operatorname {ln} (c/a)=\operatorname {ln} c-\operatorname {ln} a$ $\operatorname {ln$ {ln $}(BC)}=\operatorname {ln}=\operatorname {ln} c-\\operatorname {ln} a}$ 입니다 $\operatorname {ln} {(bc)}=\operatorname {ln} (c/a)=\operatorname {ln} c-\operatorname {ln} a$

원각과의 비교

하이퍼볼라 단위에는 쌍곡선의 반 면적이 있다.

순환 vs. 쌍곡각

단위 원 $x^{2}+y^{2}=1$ $x^{2}+y^{2}=1$ + y $x^{2}+y^{2}=1$ = $x^{2}+y^{2}=1$ $x^{2}+y^{2}=1$ 에는 원형 부분의 반을 라디안으로 표시한 원형 부분이 있다 $x^{2}+y^{2}=1$ . 이와 유사하게 $x^{2}-y^{2}=1$ $x^{2}-y^{2}=1$ 하이퍼볼라 $x^{2}-y^{2}=1$ $x^{2}-y^{2}=1$ = 1 ${\displaystyle$ x $^{2}-y^{2}=1}$ 에는 쌍곡선 각도의 반 면적이 있는 쌍곡선 섹터가 있다 $x^{2}-y^{2}=1$ .

원형 및 쌍곡선 사례 간에도 투영 분해능이 있다. 두 곡선 모두 원뿔 단면이기 때문에 투영 기하학에서 투영 범위로 처리된다. 이들 범위 중 하나에 원점을 부여하면 다른 점은 각도에 해당한다. 과학에 기초하여 각도를 추가하는 개념은 다음과 같이 이들 범위 중 하나에 점을 추가하는 것에 해당한다.

원형 각도는 두 개의 현이 원의 중심에서 PP와₀₁ PP₀₂ 하위 각 L을₁₂ 이루는 경우, 이들의 합₁ L + L은₂ 현 PQ로 하위 각도를 이루는 각도로 기하학적으로 특성화할 수 있다. 여기서 PQ는 PP와₁₂ 평행해야 한다.

하이퍼볼라에도 같은 구조를 적용할 수 있다. P를₀ 점(1, 1)으로₁, P 점을 점₁₂(1, 1/x₁), P를₂ 점(x, 1/x)으로₂ 하는 경우, 평행 조건은 Q를 점(xx₁₂, 1/x1₁/x₂)으로 한다. 따라서 곡선상의 P에서₀ 임의 점까지의 쌍곡선을 x의 점 값에 대한 로그 함수로 정의하는 것이 타당하다.^[1]^[2]

유클리드 기하학에서는 원점에서 광선으로 직교 방향으로 꾸준히 이동하는 반면, 유사 유클리드 평면에서 원점에서 광선으로 꾸준히 직교하는 것은 하이퍼볼라를 추적한다. 유클리드 공간에서는 주어진 각도의 배수가 원을 중심으로 동일한 거리를 추적하는 반면 쌍곡선에서는 지수 거리를 추적한다.^[3]

원형과 쌍곡선은 모두 불변 측정의 예를 제공한다. 원의 각 크기를 가진 호는 원의 회전을 하거나 회전에 따라 크기가 변하지 않는 원의 특정 측정 가능한 집합에 대한 측정을 생성한다. 하이퍼볼라의 경우 턴은 스퀴즈 매핑에 의해 이루어지며, 평면도 매핑에 의해 압착될 때 쌍곡선 각도 크기는 그대로 유지된다.

(x, y) ↦ (rx, y / r), r > 0.

민코스키 라인 요소와의 관계

쌍곡각과 민코프스키 공간에 정의된 미터법과도 묘한 관계가 있다. 2차원 유클리드 기하학이 그것의 선 요소를 다음과 같이 정의한다.

ds_{e}^{2}=dx^{2}+dy^{2},

민코프스키 공간의 라인 요소는^[4]

ds_{m}^{2}=dx^{2}-dy^{2}.

2차원 유클리드 공간에 박혀있는 곡선을 생각해봐

[\displaystyle x=f(t),y=g(t)].}

여기서 $매개$ 변수 t $t$ 은 $t$ (는 $)$ ${\displaystyle$ a $}$ 과 $a$ ( $와)$ $b$ ${\$ $displaystyle b}$ 사이에 실행되는 실제 수입니다 $.$ 유클리드 공간에서 이 곡선의 경사는 다음과 같이 계산된다.

S=\int _{a}^{b}ds_{e}=\int _{a}^{b}{b}{\sqrt}{\preck({dx}{dt}\오른쪽)^{2}+\{\frac {d}{d}}}dt}^{2}}dt.

만약 x2+y2=1{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}.,arclength S{\displayst 컴퓨팅 0⩽ t<>θ{\displaystyle0\leqslant t<, \theta} 하면 단일 매개 변수 이 방정식으로 설정된 x는 단 위원,)cos⁡ t{\displaystyle x=\cos어}과 y)죄⁡ t{\displaystyle y=\sin지}을 정의합니다.S}yle $S=\theta$ = $S=\theta$ ${\displaystyle S=\theta$ $S=\theta$ 이제 유클리드 원소를 민코프스키 라인 원소로 교체하는 것을 제외하고 동일한 절차를 수행한다.

S=\int _{a}ds_{m}=\int _{a}^{b}{b}{\sqrt}{\preck({dx}{dt}\right)^{2}-\{\frac {d}{dt}}{2}}dt,},}}

그리고는 y2− x2=1{\displaystyle y^{2}-x^{2}=1}로 그것이 일치하는 매개 변수 해결책 y= cosh ⁡ t{\displaystyley=\cosh지}x)sinh⁡ t{\displaystylex=\sinh지}, 0⩽ t<>η{\displaystyle0\leqslant t<, \eta}(쌍곡선 각도)를 허용하여, 우리가 도착하면 설정된"단위"쌍곡선 정의했다.흙에서 $S=\eta$ S $S=\eta$ = $S=\eta$ ${\displaystyle$ S $=\eta }$ 의 결과 $S=\eta$ 다시 말하면, 이는 원형 각도를 유클리드 정의 측정지표를 사용하여 동일한 각도로 하위화된 단위 원호 위의 호(arclength)로 정의할 수 있는 것과 마찬가지로, 쌍곡각은 쌍곡선을 이용한 "단위" 하이퍼볼라에서 호(arclength)를 의미한다. 민코프스키 정의 미터법.

역사

하이퍼볼라의 4각형은 쌍곡선 부분의 면적에 대한 평가다. 그것은 점근에 대한 해당 면적과 동일하다는 것을 보여줄 수 있다. 이 4각형은 1647년 Opus 기하학적 4각형 circuli et sectionum coni에서 Greggoire de Saint-Vincent에 의해 처음 달성되었다. 역사학자의 표현대로

[그는] 하이퍼볼라의 4각형을 그것의 점근법으로 만들었고, 산술 시리즈에서 면적이 증가함에 따라 부위가 기하 계열로 증가한다는 것을 보여주었다.^[5]

A. A. de Sarasa는 사분선을 로그로 해석하여 기하학적으로 정의한 자연 로그(또는 "hyperbolic logarithm")는 x = 1의 오른쪽에 있는 y = 1/x의 영역으로 이해된다. 초월함수의 예로서 로그는 그 동기인 쌍곡각보다 더 친숙하다. 그럼에도 불구하고 쌍곡각은 생빈센트의 정리가 스퀴즈 맵핑으로 진전되었을 때 역할을 한다.

원형 삼각법은 아우구스투스 드 모건이 그의 교과서인 삼각법과 이중 대수에서 하이퍼볼라까지 확장되었다.^[6] 1878년 W.K. 클리포드는 쌍곡선을 이용하여 단위 하이퍼볼라를 파라메트리화하여 "준조화합 운동"이라고 표현했다.

1894년 알렉산더 맥팔레인은 그의 저서 '공간분석 논문'에서 쌍곡선을 이용해 쌍곡선을 만든 에세이 '대수의 상상'을 회람했다.^[7] 이듬해 미국수학협회 회보는 멜렌 W를 발행했다. 쌍곡선 함수에 대한 ^[8]하스켈의 개요

루드윅 실버슈타인이 새로운 상대성 이론에 관한 1914년 인기 있는 교과서를 집필할 때, 그는 쌍곡선 a에 기초한 신속도 개념을 사용했다. 여기서 tanh a = v/c는 빛의 속도에 대한 속도 v의 비율이다. 그는 다음과 같이 썼다.

단위 속도에 대한 속도는 빛의 속도의 3/4에 달하는 거대한 속도에 해당한다는 것을 언급할 가치가 있어 보인다; 더 정확히 말하면 a = 1의 v = .7616)c가 있다.

[...] rapidity a = 1, [...] 결과적으로 물에서 빛의 속도보다 조금 높은 .76 c 속도를 나타낼 것이다.

실버스타인은 또한 로바체프스키의 평행각 π(a) 개념을 사용하여 코스 π(a) = v/c를 얻는다.^[9]

가상 원형 각도

쌍곡각은 흔히 상상수인 것처럼 나타난다. 따라서 x가 실제 숫자이고² i = -1이면

\cosh(x)=\cosh(x)\design {\text{and}\design \sin(ix)=i\sinh(x)

쌍곡선 함수는 cosh와 sinh를 순환 함수로 나타낼 수 있다. 그러나 이러한 정체성은 원이나 회전으로부터 생기는 것이 아니라 무한 계열의 관점에서 이해할 수 있다. In particular, the one expressing the exponential function ( $e^{x}=\cosh x+\sinh x\!$ ) consists of even and odd terms, the former comprise the cosh function ( ${\displaystyle \textstyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!$ $}}}}})$ 후자의 sinh 함수( $\textstyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$ x $\textstyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$ = $\textstyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$ $\textstyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$ + $\textstyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$ ( $\textstyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$ 1 $\textstyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$ {\ $displaystyle \sinh$ x $=\sum$ _ ${n=0^{n^}}{\frac {x^{2n+1$ }{{{n $+1}}}{{{{n$ +n+1 $)!$ $}}}}}}$ 코사인 무한계열은 교대계열로 바꾸어 cosh에서 유래하며, 사인계열은 sinh를 교대계열로 만드는 데서 유래한다. 위의 ID는 숫자 i를 사용하여 시리즈 조건(-1)에서 교대 인자(-ⁿ1)를 제거하여 지수 시리즈의 전체 반을 복원한다. 그럼에도 불구하고, 홀로모르픽 함수 이론에서 쌍곡 사인 및 코사인 함수는 복합 사인 및 코사인 함수에 통합된다.

참고 항목

초월각

메모들

^ Bjørn Felsager, Through the Looking Glass – 유클리드(유클리드)의 쌍둥이 기하학적 구조를 엿볼 수 있는 Minkowski 기하학, ICME-10 코펜하겐 웨이백 머신(Wayback Machine) 2004; 페이지 14. 예시 시트 [1] Wayback Machine에 보관 [2] 일부 표준 유클리드 결과의 Minkowskiian 유사점을 조사하는 Wayback Machine에 보관된 2008-11-21을 참조하십시오.
^ 빅토르 프라솔로프와 유리 솔로비예프(1997) 타원함수와 타원적분, 1페이지 수학 모노그래프 번역본 170, 미국 수학학회
^ 쌍곡 기하학 페이지 5-6, 그림 15.1
^ Weisstein, Eric W. "Minkowski Metric". mathworld.wolfram.com.
^ 데이비드 유진 스미스(1925) 수학사, 페이지 424,5 v. 1
^ 아우구스투스 드 모건 (1849) 삼각법과 이중 대수, 6장: "공통 삼각법과 쌍곡 삼각법의 연결에 대하여"
^ 알렉산더 맥팔레인(1894) 우주분석 논문, B. 웨스터맨, 뉴욕
^ 멜렌 W. 하스켈(1895) 쌍곡함수의 개념 도입에 관하여 미국수학학회 회보 1(6):155–9
^ 루드윅 실버슈타인 (1914년) 상대성 이론, 페이지 180–1 인터넷 아카이브를 통해

참조

Janet Heine Barnett (2004) "Enter, stage center: the early drama of the hyperbolic functions", available in (a) Mathematics Magazine 77(1):15–30 or (b) chapter 7 of Euler at 300, RE Bradley, LA D'Antonio, CE Sandifer editors, Mathematical Association of America ISBN 0-88385-565-8 .
아서 케넬리(1912) 전기공학 문제에 쌍곡선 기능 적용
William Mueller, Presalculus 탐험, § The Number e, Hyperbolic Trigonometry.
존 스틸웰(1998) 번호와 기하학 연습 9.5.3, 페이지 298, 스프링거-버락 ISBN 0-387-98289-2.

[1] Bjørn Felsager, Through the Looking Glass – 유클리드(유클리드)의 쌍둥이 기하학적 구조를 엿볼 수 있는 Minkowski 기하학, ICME-10 코펜하겐 웨이백 머신(Wayback Machine) 2004; 페이지 14. 예시 시트 [1] Wayback Machine에 보관 [2] 일부 표준 유클리드 결과의 Minkowskiian 유사점을 조사하는 Wayback Machine에 보관된 2008-11-21을 참조하십시오.

[2] 빅토르 프라솔로프와 유리 솔로비예프(1997) 타원함수와 타원적분, 1페이지 수학 모노그래프 번역본 170, 미국 수학학회

[3] 쌍곡 기하학 페이지 5-6, 그림 15.1

[4] Weisstein, Eric W. "Minkowski Metric". mathworld.wolfram.com.

[5] 데이비드 유진 스미스(1925) 수학사, 페이지 424,5 v. 1

[6] 아우구스투스 드 모건 (1849) 삼각법과 이중 대수, 6장: "공통 삼각법과 쌍곡 삼각법의 연결에 대하여"

[7] 알렉산더 맥팔레인(1894) 우주분석 논문, B. 웨스터맨, 뉴욕

[8] 멜렌 W. 하스켈(1895) 쌍곡함수의 개념 도입에 관하여 미국수학학회 회보 1(6):155–9

[9] 루드윅 실버슈타인 (1914년) 상대성 이론, 페이지 180–1 인터넷 아카이브를 통해

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