최소 변환

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 삭제하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오.(2010년 9월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

수학에서, 극소수 변환은 작은 변환의 제한적인 형태다.예를 들어, 사람들은 3차원 공간에서 경직된 신체의 극소수 회전에 대해 말할 수 있다.이것은 일반적으로 3×3 스큐 대칭 행렬 A로 표현된다.공간에서의 실제 회전 행렬이 아니라 매개변수의 작은 실제 값에 대한 변환 ε

$T=I+\varepsilon A}$

순서의 양² quantities에 이르는 작은 회전이다.

역사

소푸스 리에 의해 처음으로 극소수의 변혁에 대한 포괄적인 이론이 제시되었다.이것은 현재 Lie 그룹이라고 불리는 것과 그에 수반되는 Lie Algebras; 그리고 기하학에서의 그들의 역할과 특히 미분 방정식의 이론에 대한 그의 연구의 핵심이었다.추상적인 Lie 대수학의 특성은 그룹 이론의 공리들이 대칭을 형상화하듯이 극소수 변환의 결정적인 것이다."Lie 대수"라는 용어는 1934년에 Hermann Weyl에 의해 도입되었는데, 이때까지 Lie 집단의 극소수 변환의 대수라고 알려져 있었다.

예

예를 들어, 극미량 회전의 경우, 리 대수 구조는 일단 3 벡터로 스큐 대칭 행렬이 식별되면 교차 제품이 제공하는 구조다.이것은 회전을 위한 축 벡터를 선택하는 것과 같다; 자코비 정체성을 정의하는 것은 교차 제품의 잘 알려진 속성이다.

이와 같이 인식되었을 수 있는 극소수 변환의 초기 예는 동질 함수에 대한 오일러의 정리에서였다.여기서 n 변수 x₁, ..., x의_n 함수 F가 도 r의 동질인 것을 만족한다고 명시한다.

$\displaystyle \Theta F=rF\,}$

와 함께

${\displaystyle \theta =\sum _{i}{i}{\partial \over \partial x_{i},}$

테타 교환원즉, 부동산에서

${\displaystyle F(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n}=\lambda ^{r}F(x_{1},\dots ,x_{n},},})$

λ에 관해서 분화시킨 다음 1을 1로 설정하는 것이 가능하다.이는 동질성 특성을 갖기 위해 부드러운 함수 F에서 필요한 조건이 된다. 또한 충분하다(슈워츠 분포를 사용함으로써 여기에서 수학적 분석 고려사항을 줄일 수 있다).이 설정은 일반적으로 1-모수 스칼링 그룹이 작동하고 있으며, 정보는 1차 차등 연산자인 최소 변환으로 코드화된다.

연산자 버전의 테일러 정리

연산자 방정식

${\displaystyle e^{tD}f(x)=f(x+t)\,}$

어디에

${\displaystyle D={d \over dx}}$

테일러의 정리의 연산자 버전이며, 따라서 f가 분석적 함수가 되는 것에 대한 주의사항 하에서만 유효하다.연산자 부분에 집중하여, D가 극소수 변환이라는 것을 보여주며, 지수화를 통해 실선의 번역을 생성한다.리의 이론에서 이것은 아주 일반화되어 있다.연결된 모든 Lie 그룹은 극소수의 생성기(그룹의 Lie 대수학의 기초)를 통해 구축될 수 있으며, 항상 유용한 정보는 아니지만 Baker-Campbell-Hausdorff 공식에 명시적이다.

참조

• "Lie algebra", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 소푸스 리 (1893) 보레성겐 über Continuerliche Gruppen, D의 영어 번역.H. 델페니치, §8, 네오클래식 물리학에서 온 링크.