확장 위상

Extension topology

수학의 한 분야인 위상에서 확장 위상은 위상학적 공간과 다른 세트의 분리 결합에 배치된 위상이다.아래 절에서 설명하는 다양한 유형의 확장 토폴로지가 있다.

확장 위상

X를 위상학적 공간으로 하고 P를 X로부터 세트 디스 이음매로 한다.X ∪ P에서 열린 세트가 A ∪ Q 형태인 위상(A는 X의 열린 세트, Q는 P의 부분 집합)을 고려한다.

X ∪ P의 닫힌 세트는 B ∪ Q 형식이며, 여기서 B는 X의 닫힌 세트, Q는 P의 서브셋이다.

이러한 이유로 이 위상은 X+P의 확장 위상이라고 불리며, X의 개방 및 폐쇄된 집합으로 확장된다.X ∪ P의 하위 집합으로서 X의 하위 공간 위상은 X의 원래 위상이고, P의 하위 공간 위상은 이산 위상이다.위상학적 공간으로서 X ∪ P는 X와 P의 위상적 합에 대해 동형상이며, X는 X ∪ P의 열린 부분집합이다.

Y가 위상학적 공간이고 R이 Y의 부분집합인 경우 Y – R + R의 확장 위상이 Y의 원래 위상과 동일한지 여부를 물을 수 있으며, 답은 일반적으로 no이다.

이 확장 토폴로지 구조와 알렉산드로프 원포인트 압축의 유사성에 주목하십시오. 이 경우 무한대에 점 ∞을 추가하여 압축하고자 하는 위상학적 공간 X를 가지면 닫힌 X ∪ {∞} 집합을 형식 K의 집합으로 간주하며, 여기서 K는 X의 콤팩트 집합, 또는 B ∪ {∞}의 집합으로 간주한다. 여기서 B는 형식 X의 닫힌 콤팩트 집합이다.닫힌 X 세트

오픈 확장 토폴로지

X를 위상학적 공간으로 하고 P를 X로부터 세트 디스 이음매로 한다.X ∪ P에서 개방형 세트가 X ∪ Q 형태인 위상, 여기서 Q는 P의 부분집합 또는 A는 X의 열린 집합인 위상을 고려한다.

이러한 이유로 이 위상은 X 플러스 P의 오픈 확장 위상이라고 불리며, X의 오픈 세트인 X ∪ P까지 확장된다.X ∪ P의 하위 집합으로서 X의 하위 공간 위상은 X의 원래 위상이고, P의 하위 공간 위상은 이산 위상이다.

X ∪ P의 닫힌 집합은 Q, 여기서 Q는 P의 부분 집합이고, B는 X의 닫힌 집합이다.참고로 P는 X ∪ P에서 닫히고 X는 X in P에서 열려 있고 밀도가 높다.

위상학적 공간 Y와 R이 Y의 부분 집합인 경우 Y – R + R의 개방형 확장 위상이 Y의 원래 위상과 동일한지 여부를 물을 수 있으며, 대답은 일반적으로 no이다.

X ∪ P의 개방 확장 토폴로지는 X ∪ P의 확장 토폴로지에 비해 작다는 점에 유의한다.

사소한 문제를 피하기 위해 X와 P가 비어 있지 않다고 가정하면, 다음은 개방형 확장 토폴로지의 몇 가지 일반적인 특성이다.[1]

  • X는 X ∪ P로 조밀하다.
  • P가 유한하면 X ∪ P는 콤팩트하다.그래서 X ∪ P는 그 경우에 X를 압축한 것이다.
  • X ∪ P가 연결되어 있다.
  • P가 1점일 경우 X ∪ P는 초음파 연결된다.

설정 Z와 Z의 점 p의 경우, Z에서 이산 위상 구조를 고려하고 개방 확장 위상 구조를 Z – {p} + p에 적용하여 제외된 점 위상 구조를 얻는다.

닫힌 확장 토폴로지

X를 위상학적 공간으로 하고 P를 X로부터 세트 디스 이음매로 한다.X ∪ P에서 닫힌 집합이 X ∪ Q 형태인 위상, 여기서 Q는 P의 부분 집합, 또는 B는 X의 닫힌 집합인 위상을 고려한다.

이러한 이유로 이 위상은 X 플러스 P의 닫힌 확장 위상이라고 불리며, X의 닫힌 세트인 X topology P까지 확장된다.X ∪ P의 하위 집합으로서 X의 하위 공간 위상은 X의 원래 위상이고, P의 하위 공간 위상은 이산 위상이다.

X ∪ P의 오픈 세트는 Q형이며 여기서 Q는 P의 서브셋이고 A는 X의 오픈 세트다.참고로 P는 X ∪ P에서, X ∪ P에서는 X가 닫힌다.

Y가 위상학적 공간이고 R이 Y의 부분집합인 경우 Y – R + R의 닫힌 확장 위상이 Y의 원래 위상과 동일한지 여부를 물을 수 있으며, 답은 일반적으로 no이다.

X ∪ P의 닫힌 확장 토폴로지는 X ∪ P의 확장 토폴로지에 비해 작다는 점에 유의한다.

설정 Z와 Z의 점 p의 경우, Z에서 이산 위상을 고려하고 닫힌 확장 위상 구조를 Z – {p} + p에 적용함으로써 특정 지점 위상 구조를 얻는다.

메모들

  1. ^ Steen & Seebach 1995, 페이지 48.

인용된 작품

  • Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr (1995) [First published 1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446