특정 점 위상

수학에서 특정 점 위상(또는 포함된 점 위상)은 위상 공간의 특정 점을 포함하는 집합이 열려 있는 위상이다.형식적으로 X를 어떤 비어 있지 않은 세트와 p p X가 되게 하라.컬렉션

${\displaystyle T=\{S\subseteq X\mid p\in S{\text{ 또는 }S=\emptyset \}}}$

X의 부분 집합은 X의 특정 점 위상이다.개별적인 명칭을 갖는 경우는 다음과 같이 다양하다.

• X가 두 점을 갖는다면 X의 특정 포인트 위상은 시에르피에스키 공간이다.
• X가 유한한 경우(최소 3점) X의 위상은 유한특정점 위상이라고 한다.
• X가 카운트할 수 있을 정도로 무한하다면, X의 위상은 카운트 가능한 특정 포인트 위상이라고 불린다.
• X를 탑재할 수 없는 경우, X의 위상은 탑재할 수 없는 특정 점 위상이라고 한다.

특정 지점 위상의 일반화는 닫힌 확장 위상이다.X \ {p}에 이산 위상이 있는 경우 닫힌 확장 위상은 특정 지점 위상과 동일하다.

이 토폴로지는 흥미로운 예와 몇 가지 예를 제공하는 데 사용된다.

특성.

닫힌 세트의 내부 공간이 비어 있음

비어 있지 않은 ${\displaystyle \mathrm{오픈}}$ 세트 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ X ${\displaystyle A\subseteq$ X$}$ $매$ x every${\displaystyle p}$ ${\displaystyle$ x$\neq$ p$}$은(는) A의 한계점이다.따라서 $\varnothing {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \$$emptyet$ $}$ 이외의 열린 세트의 $닫힘$은 X${\displaystyle$ X}이며$,$ $X{\displaystyle }${\$displaystyle$ $X}$ 이외의 닫힌 세트의 내부는 모두$$${\displaystyle \mathrm{}}$p를 포함하지$$ 않으므로 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \empt$

연결성 속성

경로 및 로컬로 연결되었지만 호는 연결되지 않음

임의의 x, y ∈ X에 대해, 함수 f: [0, 1] → X가 주어짐

${\displaystyle f(t)={\displaystyle f(t)={\case}x&t=0\\\p&t\in (0,1)\\y&t=1\case}}}}$

길이다.그러나 p가 열려 있기 때문에 [0,1]에서 연속 주사하는 p의 전상은 [0,1]의 개방된 단일점일 것이며, 이는 모순이다.

산포점, 다음이 있는 집합의 예

p는 X의 산포점이다.즉, X \ {p}이(가) 완전히 끊어진 것이다.

초연결되었지만 초연결되지 않음

비어 있지 않은 모든 오픈 세트는 p를 포함하며, 따라서 X는 초연결된다.그러나 p, a, b가 3개의 구별되는 지점인 X에 a와 b가 있으면, {a}과(와) {b}은(는) 분리 닫힌 집합이므로 X는 초연결되지 않는다.X가 시에르피에스키 공간인 경우, 그러한 a와 b는 존재하지 않으며 X는 사실상 초연결되어 있다는 점에 유의한다.

컴팩트 속성

유한한 경우에만 압축하십시오.린델뢰프는 셀 수 있는 경우에만.

X가 유한하면 콤팩트하고, X가 무한하면 콤팩트하지 않은데, 이는 모든 오픈 세트${\displaystyle }${${\displaystyle p}$, ${\displaystyle x}$}${\displaystyle }$( x${\displaystyle x}$ X$){\displaystyle$\{$p,x\}\;(x\in$ X$)}$의 패밀리가 유한 서브커버가 없는 오픈 커버를$$ 형성하기 때문이다.

비슷한 이유로 X를 셀 수 있다면 린델뢰프 공간이고, X를 셀 수 없다면 린델뢰프가 아니다.

컴팩트 비컴팩트 클로즈

{p} 집합이 소형이다.그러나 그것의 폐쇄(컴팩트 세트의 폐쇄)는 전체 공간 X이며, 만약 X가 무한하다면 이는 컴팩트하지 않다.X를 계산할 수 없는 유사한 이유로 콤팩트 세트의 폐쇄가 린델뢰프 공간이 아닌 경우를 들 수 있다.

유사콤팩트지만 약하게 셀 수 없을 정도로 압축되지 않음

첫째, (모든 오픈 세트에 p가 포함되기 때문에) 분리되지 않은 비 빈 오픈 세트는 없다.따라서 실제 라인에 대한 모든 연속 함수는 일정해야 하며, 따라서 경계되어야 하며, 이는 X가 유사콤팩트 공간임을 증명한다.p를 포함하지 않은 세트는 한계점이 없으므로 만약 X가 무한하다면 그것은 약하게 계산적으로 압축되지 않는다.

국소적 소형이지만 국소적으로 비교적 소형은 아니다.

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X$인 경우 세트 $\{{\displaystyle }$x , ${\displaystyle p\}}$ ${\displaystyle \{x,p\}}}$은(는) x의 콤팩트한 근린이다$$. 그러나 이 근린의 폐쇄는 모두 X이며, 따라서 X가 무한하다면 x는 닫힌 컴팩트한 근린 이웃이 없고, X는 로컬로 콤팩트하지 않다.

관련 한도

집합의 누적점

$Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\subseteq X}$이(가) p를 포함하지$$ 않는 경우 Y는 누적점이 없다(Y는 X에서 닫히고 하위 공간 위상에서는 이산적이기 때문이다).

$Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\subseteq$ X$}$이(가) p를 포함하는$$ 경우$,{\displaystyle }$ { x${\displaystyle }$, ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{x,p\}}($${\displaystyle$ x$\}$ )가 Y를 만나는 것이므로 모든 점 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ p ${\$${\displaystyle \mathrm{sp}}$$}$은 Y의 누적점이다$$.Y는 Ω-accumulation point가 없다.p는 X에서 격리되어 있기 때문에 어떤 집합의 축적 지점이 결코 아니라는 점에 유의한다.

집합으로서의 누적점(순서가 아닌)

p도 포함하는 구별되는 요소의$$ 시퀀스${\displaystyle }$(${\displaystyle n_{}{}_{}}$)${\displaystyle n_{}}$ ${\$를 취한다.기본 세트${\displaystyle }${${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}\}}$에는 누적 ${\displaystyle \mathrm{포인트}}$로 x${\displaystyle }$≠ p ${\displaystyle x\neq p}$이(가) 있다.${\displaystyle \mathrm{그러나}}$ y의 인접성${\displaystyle }${ ${\displaystyle y_{}}$ ,${\displaystyle }$p } {\$displaystyle$\{$y,p\}}$은(는) n ${\$의 구별되는 많은 $부분$을 무한히 포함할 수 없으므로 시퀀스 자체에는 시퀀스로서 축적 지점이 없다$.$

분리관련

T₀

X는 T이지만₀(각 x에 대해 {x, p}이(가) 더 높은 분리 공리는 만족하지 않는다(비어 있지 않은 모든 오픈 세트는 p를 포함해야 하기 때문이다).

규칙적이지 않음

비어 있지 않은 모든 오픈 세트는 p를 포함하기 때문에 p를 포함하지 않는 폐쇄형 세트(예: X \ {p})는 {p}에서 이웃으로 분리할 수 없으므로 X는 정규적이지 않다.완전한 규칙성은 규칙성을 의미하기 때문에 X는 완전히 규칙적이지 않다.

보통이 아님

비어 있지 않은 모든 오픈 세트는 p를 포함하기 때문에 비어 있지 않은 닫힌 세트는 이웃 간에 분리될 수 없으므로 X는 정상적이지 않다.예외: 시에르피에스키 토폴로지는 비종교 분리 세트가 없기 때문에 정상이고 심지어 완전히 정상이다.

분리성

{p}은(는) 밀도가 높으므로 X는 분리 가능한 공간이다.그러나 X를 계산할 수 없는 경우 X \ {p}은(는) 분리할 수 없다.분리 가능한 공간의 하위 공간이 분리되지 않는 예다.

계산 가능성(첫 번째가 아니라 두 번째)

X를 계산할 수 없는 경우 X는 먼저 카운트할 수 있지만 두 번째 카운트할 수는 없다.

비교 가능(비슷하지 않은 동일 세트의 동종 위상)

, q∈ p≠ q{p\neq q\displaystyle}과 X{\displaystyle p,q\in X}.}고 q){S⊆ X∣q∈ S}{\displaystyle t_{q}=\{S\subseteq X\mid q\in S\}tp){S⊆ X∣ p∈ S}{\displaystyle t_{p}=\{S\subseteq X\mid p\in S\}자}. X에서 q는 distinguis와 함께 있다고 tq되는 특별한 점 위상 p자.h엣지 포인트그 다음 (X,t_p)와 (X,t_q)는 같은 세트의 동형상 비교가 안 되는 위상이다.

비어 있지 않은 부분 집합 자체 밀도 없음

S는 X의 비어 있지 않은 부분집합이 되게 하라. 만약 S가 p를 포함한다면, p는 (X의 고립된 지점이기 때문에) S에서 격리된다.S가 p를 포함하지 않으면 S의 x는 S에서 격리된다.

첫 번째 범주가 아님

p를 포함한 모든 세트는 X로 밀도가 높다.따라서 X는 어디에도 없는 밀집된 하위 집합의 조합이 아니다.

서브 스페이스

특정 점을 포함하지 않는 특정 점 위상이 주어진 집합의 모든 하위 공간에는 이산 위상이 있다.

참고 항목

• 알렉산드로프 위상
• 제외된 점 위상
• 유한 위상 공간
• 위상 목록
• 원포인트 컴팩트화
• 겹치는 간격 위상

참조

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446