오펜하임 추측

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디오판타인 근사치에서 오펜하임 추측은 여러 변수에서 실제 2차 형태에 의한 수표현상에 관한 것이다.1929년 알렉산더 오펜하임에 의해 공식화되었고 이후 추측된 재산은 해롤드 데이븐포트와 오펜하임에 의해 더욱 강화되었다.이 문제에 대한 초기 연구는 n개의 변수를 크게 가져갔고, 하디-리틀우드 원법을 적용했다.마굴리스의 결정적인 저작은 긍정으로 추측을 해결하면서, 에고다이즘 이론에서 비롯되는 방법과 반실현 리 그룹의 이산 하위그룹에 대한 연구를 이용했다.

간단한 설명

마이어의 정리는 n 변수의 무한 적분 2차 형태 Q를 n 변수의 n ≥ 5, 비임계적으로 0을 나타낸다. 즉, Q(x) = 0과 같은 정수 성분을 가진 비제로 벡터 x가 존재한다.오펜하임 추측은 합리적인 형태의 배수가 아닌 Q형식에 대해 이 문장의 아날로그로 볼 수 있다.이 경우 정수 벡터에 대한 Q의 값 집합은 실선의 조밀한 부분집합이라고 명시한다.

역사

오펜하임과 해롤드 데이븐포트에 의해 몇 가지 버전의 추측이 공식화되었다.

• Q는 n개의 변수에 있는 실제 비degenate 비한정 2차적 형태가 되도록 한다.n ≥ 3과 Q가 합리적인 계수를 갖는 형태의 배수가 아니라고 가정하자.그 후 어떤 any > 0에 대해서도 Q(x) < ε과 같은 정수 성분을 가진 0이 아닌 벡터 x가 존재한다.

1929년 오펜하임에 의해 추측된 n 5 5; 더 강한 버전은 1946년 데이븐포트 때문이다.

• Q와 n은 이전과 같은 의미를 갖도록 하자.그 후 어떤 ε > 0에 대해서도 0 < Q(x, x) > <와 같은 정수 성분을 가진 0이 아닌 벡터 x가 존재한다.

이는 1953년 오펜하임에 의해 추측되었고 버치, 데이븐포트, 리드아웃에 의해 최소 21개, 데이븐포트, 헤이븐브론에 의해 5개 변수에서 대각선 형태에 대해 증명되었다.다른 부분적인 결과는 오펜하임 (4개의 변수에 있는 형태에 대해서는, 그러나 그 형태가 Z에 대한 0을 나타낸다는 강한 제한 하에서), 왓슨, 이와니크, 베이커-슐릭케웨이에 기인한다.초기 작업 분석 수 이론 및 2차 형태 감소 이론.

이 추측은 1987년 마르굴리스에 의해 에고다이즘 이론의 방법을 사용하여 완전한 일반성으로 증명되었다.R에서³ 격자의 균일한 공간에 대한 직교 그룹의 특정 비전능 하위 그룹의 작용 기하학은 이 접근방법에 결정적인 역할을 한다.사례 n = 3을 확립하는 것으로 충분하다.동질적인 집단 행동에 대한 진술에서 오펜하임 추측을 도출하려는 생각은 대개 M. S. 라후나단에게 기인하는데, 1970년대에 그는 n = 3에 대한 추측이 격자 공간의 다음과 같은 속성과 동일하다고 관찰했다.

• SL(3, R)/SL(3, Z)에서 SO(2, 1)의 비교적 소형 궤도는 소형이다.

그러나 마르굴리스는 나중에 비록 다른 언어로 되어 있기는 하지만 이러한 동등성이 이미 1955년 Cassels와 H. P. F. Swinnerton-Dyer의 논문에서 발생했다고 말했다.

마르굴리스의 돌파 직후, 그 증거는 다니와 마르굴리스에 의해 단순화되고 일반화되었다.오펜하임 추측의 정성적 버전은 후에 에스킨-마르굴리스-모제스에 의해 증명되었다.보렐과 프라사드는 몇 가지 S-아산학 유사점을 확립했다.동질적 공간에 대한 비전능적 및 준전능적 흐름의 특성에 대한 연구는 디오판타인 근사설에서 추가 질문에 대한 적용과 함께 연구의 활성 영역으로 남아 있다.

참고 항목

• 라트너의 정리

참조

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• Davenport, Harold (2005) [1963]. T. D. Browning (ed.). Analytic methods for Diophantine equations and Diophantine inequalities. Cambridge Mathematical Library. With a preface by R. C. Vaughan, D. R. Heath-Brown and D. E. Freeman (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-60583-0. MR 2152164. Zbl 1125.11018.
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• Oppenheim, Alexander (1929). "The minima of indefinite quaternary quadratic forms". Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 15 (9): 724–727. Bibcode:1929PNAS...15..724O. doi:10.1073/pnas.15.9.724. PMC 522544. PMID 16577226.