최적배분

최적 배분은 수학적 최적화에 기반한 배분에 대한 접근법이다.

배분의 문제에는 $h$ {\ $displaystyle h}$ 로 표기되는 할당자원이 있다 $h$ 예를 들어, 대의원의원의 의석수를 나타내는 정수일 수 있다.리소스는 일부 $n$ $n$ 에이전트 $n$ 간에 할당되어야 한다.예를 들어, 이것들은 연방정부나 정당이 될 수 있다.에이전트들은 서로 다른 $t_{1},\ldots ,t_{n}$ 을 가지며, 합계가 1인 분수 $t_{1},\ldots ,t_{n}$ t $t_{1},\ldots ,t_{n}$ , $t_{1},\ldots ,t_{n}$ … $t_{1},\ldots ,t_{n}$ , $t_{1},\ldots ,t_{n}$ $t_{1},\ldots ,t_{n}$ ${\$ 로 표시된다.예를 들어, t는_i party i가 획득한 표의 일부일 수 있다. $\sum _{i=1}^{n}a_{i}=h$ 는 $a_{1},\ldots ,a_{n}$ - $\sum _{i=1}^{n}a_{i}=h$ 벡터 $a_{1},\ldots ,a_{n}$ $a_{1},\ldots ,a_{n}$ , …, $a_{1},\ldots ,a_{n}$ n ${\$ $\sum _{i=1}^{n}a_{i}=h$ $\sum _{i=1}^{n}a_{i}=h$ = $\sum _{i=1}^{n}a_{i}=h$ a $\sum _{i=1}^{n}a_{i}=h$ = h ${\displaysty \sum$ \ $sum _{i=$ 1} $a_{i$ }=h $\sum _{i=1}^{n}a_{i}=h$

에이전트 i의 이상적인 몫은 $q_{i}:=t_{i}\cdot h$ i $q_{i}:=t_{i}\cdot h$ t $q_{i}:=t_{i}\cdot h$ $q_{i}:=t_{i}\cdot h$ $q_{i}==t_{i}\cdot h$ 로 정의되는 그의 할당량이다 $q_{i}:=t_{i}\cdot h$ 각 에이전트에게 할당량을 줄 수 있다면 할당은 최대 공정하다.그러나 할당량은 정수가 아니며 할당량은 정수가 되어야 하기 때문에 정확한 공정성은 보통 달성할 수 없다.이러한 어려움에 대처하기 위한 다양한 접근법이 있다(낙태의 수학 참조).최적화 기반 접근방식은 eacn의 경우, 이 경우에 대해 "가능한 한 공정한" 할당을 달성하는 것을 목표로 한다. $a_{i}=q_{i}$ = q $a_{i}=q_{i}$ $a_{i}=q_{i}$ {\ $displaystyle a_{i}=q_{i}}},$ 즉 각 에이전트의 할당이 자신의 권한에 정확히 비례하는 경우 할당은 "공정"이다.이 경우, 우리는 할당량의 "초과"가 0이라고 말한다.이 평등을 반드시 어겨야 한다면 '총체적 불공평'의 척도를 정의하고, 이를 최소화하기 위해 노력할 수 있다.

불공정한 수준의 합계를 최소화한다.

가장 자연스러운 척도는 공리주의 규칙에서와 같이 개별 대리인에 대한 불공정한 수준의 합이다.^[1]^{: 102–104}

One can minimize the sum of differences $\sum _{i=1}^{n} a_{i}-q_{i}$ , or the sum of squares $\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-q_{i})^{2}$ . Both minimization problems are solved by Hamilton's method.
$\sum _{i=1}^{n}q_{i}(a_{i}/q_{i}-1)^{2}$ 에 포함된 요소의 가중치를 모집단별로, 또는 할당량에 따라 균등하게 할 수 있으며, ∑ i = $\sum _{i=1}^{n}q_{i}(a_{i}/q_{i}-1)^{2}$ ( $\sum _{i=1}^{n}q_{i}(a_{i}/q_{i}-1)^{2}$ / $\sum _{i=1}^{n}q_{i}(a_{i}/q_{i}-1)^{2}$ i $\sum _{i=1}^{n}q_{i}(a_{i}/q_{i}-1)^{2}$ - $\sum _{i=1}^{n}q_{i}(a_{i}/q_{i}-1)^{2}$ ) $\sum _{i=1}^{n}q_{i}(a_{i}/q_{i}-1)^{2}$ ${\$ 이것은 웹스터의 방법으로 이어진다.
One can minimize the sum of differences of ratios $\sum _{i=1}^{n} q_{i}/a_{i}-1$ , or the sum of squares $\sum _{i=1}^{n}(q_{i}/a_{i}-1)^{2}$ .이러한 목표는 두 가지 다른 방법을 산출한다.
할당으로 합에 포함된 요소의 가중치를 매길 수 있으며, ∑ $\sum _{i=1}^{n}a_{i}(q_{i}/a_{i}-1)^{2}$ = $\sum _{i=1}^{n}a_{i}(q_{i}/a_{i}-1)^{2}$ a $\sum _{i=1}^{n}a_{i}(q_{i}/a_{i}-1)^{2}$ ( $\sum _{i=1}^{n}a_{i}(q_{i}/a_{i}-1)^{2}$ / $\sum _{i=1}^{n}a_{i}(q_{i}/a_{i}-1)^{2}$ - $\sum _{i=1}^{n}a_{i}(q_{i}/a_{i}-1)^{2}$ ) $\sum _{i=1}^{n}a_{i}(q_{i}/a_{i}-1)^{2}$ ${\$ 이것은 힐의 방법으로 이어진다.

가장 큰 불공평한 사람들을 최소화

평등주의 원칙에서처럼 가장 큰 불공정을 최소화할 수 있다.

$\max _{i=1}^{n}|q_{i}/a_{i}-1|$ i = $\max _{i=1}^{n}|q_{i}/a_{i}-1|$ $\max _{i=1}^{n}|q_{i}/a_{i}-1|$ i $\max _{i=1}^{n}|q_{i}/a_{i}-1|$ / $\max _{i=1}^{n}|q_{i}/a_{i}-1|$ - 1 $displaystyle \max _{i=1}^{n} q_{i}/a_{i}-1 }$ 을 $\max _{i=1}^{n}|q_{i}/a_{i}-1|$ 를) 최소화하고 렉시민 주문을 사용하여 차상위 불공정 등을 최소화할 수 있다.이것은 렉시민 배분법이라고 불리는 방법을 산출한다.비로, 코지, 스지클라이에 의해 처음 개발되었는데, 그는 그것을 계산하는 효율적인 알고리즘을 제시하였다.^[2]그 주요 목표는 베니스 위원회의 요구를 만족시키는 것인데, 대리점들 간의 동등한 품목 분배로부터의 최대 이탈은 가능한 한 작아야 한다는 것이다.쿼터룰과 모든 단성기준을 어긴다는 단점이 있다.^[3]
버트와 해리스(1963)는 $\max _{i,j=1}^{n}|q_{i}/a_{i}-q_{j}/a_{j}|$ $\max _{i,j=1}^{n}|q_{i}/a_{i}-q_{j}/a_{j}|$ , $\max _{i,j=1}^{n}|q_{i}/a_{i}-q_{j}/a_{j}|$ = $\max _{i,j=1}^{n}|q_{i}/a_{i}-q_{j}/a_{j}|$ $\max _{i,j=1}^{n}|q_{i}/a_{i}-q_{j}/a_{j}|$ i $\max _{i,j=1}^{n}|q_{i}/a_{i}-q_{j}/a_{j}|$ / $\max _{i,j=1}^{n}|q_{i}/a_{i}-q_{j}/a_{j}|$ - $\max _{i,j=1}^{n}|q_{i}/a_{i}-q_{j}/a_{j}|$ $\max _{i,j=1}^{n}|q_{i}/a_{i}-q_{j}/a_{j}|$ / $\max _{i,j=1}^{n}|q_{i}/a_{i}-q_{j}/a_{j}|$ $displaystyle \max _{i,j=1}^{n} q_{i}-q_{j}/{j}} }}$ 을(를) 최소화하자고 제안했다 $\max _{i,j=1}^{n}|q_{i}/a_{i}-q_{j}/a_{j}|$
$\max _{i=1}^{n}q_{i}/a_{i}$ $\max _{i=1}^{n}q_{i}/a_{i}$ = $\max _{i=1}^{n}q_{i}/a_{i}$ $\max _{i=1}^{n}q_{i}/a_{i}$ i $\max _{i=1}^{n}q_{i}/a_{i}$ / $\max _{i=1}^{n}q_{i}/a_{i}$ ${\$ 을(를) 최소화하면 $\max _{i=1}^{n}q_{i}/a_{i}$ 아담스의 방법이 이어진다.
$\max _{i=1}^{n}a_{i}/q_{i}$ $\max _{i=1}^{n}a_{i}/q_{i}$ = $\max _{i=1}^{n}a_{i}/q_{i}$ $\max _{i=1}^{n}a_{i}/q_{i}$ / $\max _{i=1}^{n}a_{i}/q_{i}$ i ${\$ i}}}}}}}을(를) 최소화하면 $\max _{i=1}^{n}a_{i}/q_{i}$ 제퍼슨의 방법이 이어진다.
또한 $\min _{i=1}^{n}(a_{i}-q_{i})$ i = $\min _{i=1}^{n}(a_{i}-q_{i})$ $\min _{i=1}^{n}(a_{i}-q_{i})$ $i -$ $\min _{i=1}^{n}(a_{i}-q_{i})$ i $){\displaystyle \min$ _ ${i=1}^{n}(a_{i}-q_$ ${i$ }-{ $i$ 또는 동등하게 $max$ i = $qi$ - $\max _{i=1}^{n}(q_{i}-a_{i})$ i $\max _{i=1}^{n}(q_{i}-a_{i})$ )을 $최소화할$ 수 $있다.$ 이 방법은 두 할당량을 모두 만족시킨다.
미니맥스 방법은 공정성 기준에 따라 선택한 우선순위로 일반화할 수 있다.^[4]