궤도 모델링

궤도 모델링은 중력으로 인해 또 다른 거대한 몸을 중심으로 궤도를 돌면서 거대한 신체의 움직임을 시뮬레이션하는 수학적 모델을 만드는 과정이다.3차 신체로부터의 중력, 공기 저항, 태양 압력 또는 추진 시스템의 추력과 같은 다른 힘은 일반적으로 2차 효과로 모델링된다.궤도를 직접 모델링하는 것은 작은 동요를 매우 큰 궤도로 모델링해야 하기 때문에 기계 정밀도의 한계를 밀어낼 수 있다.이 때문에 더 나은 정확도를 얻기 위해 궤도를 모형화하는 섭동 방법이 종종 사용된다.

배경

궤도 운동과 궤도의 수학적 모델링에 대한 연구는 비록 고대에는 그 원인이 미스터리로 남아있었지만, 하늘에서 행성의 움직임을 예측하려는 첫 번째 시도로 시작되었다.뉴턴은 당시 자신의 운동 법칙과 중력의 법칙을 공식화하여,^[1] 그들의 계산의 복잡한 어려움을 인식하면서 동요의 첫 번째 분석에 적용했다.^[1]그 이후로 많은 위대한 수학자들이 관련된 다양한 문제에 관심을 기울였다; 18세기와 19세기 내내 바다에서의 항해를 위한 달과 행성의 정확한 위치에 대한 수요가 있었다.

궤도의 복잡한 움직임은 분해될 수 있다.다른 신체의 중력 효과에서만 몸이 따르는 가상의 운동은 전형적으로 원뿔 단면이며, 기하학적 방법으로 쉽게 모델링할 수 있다.이것을 두 신체 문제, 즉 동요하지 않는 케플러의 궤도라고 한다.케플러 궤도와 실제 신체의 움직임 사이의 차이는 동요에 의해 발생한다.이러한 동요는 1차체와 2차체 사이의 중력 효과 이외의 힘에 의해 발생하며 정확한 궤도 시뮬레이션을 만들 수 있도록 모델링되어야 한다.대부분의 궤도 모델링 접근방식은 두 가지 신체 문제를 모델링한 다음 이러한 동요하는 힘의 모델을 추가하고 시간이 지남에 따라 이러한 모델을 시뮬레이션한다.동요하는 힘에는 일차, 태양풍, 항력, 자기장, 추진력 외에 다른 신체로부터의 중력이 포함될 수 있다.

단순한 2체질 및 3체질 문제에 대한 분석적 해결책(향후 어느 때라도 위치와 움직임을 예측하는 수학적 표현)이 존재하며, 특정 특수한 경우를 제외하고는 n체질 문제에 대해서는 발견되지 않았다.심지어 두 신체 문제라도 한 몸의 형태가 불규칙하면 해결할 수 없게 된다.^[2]

대부분의 관심 문제에 대한 분석적 해결책을 찾기가 어렵기 때문에, 컴퓨터 모델링과 시뮬레이션은 일반적으로 궤도 운동을 분석하는 데 사용된다.우주선의 궤도와 궤적을 시뮬레이션하기 위해 매우 다양한 소프트웨어를 이용할 수 있다.

케플러 궤도 모형

가장 단순한 형태에서 궤도 모델은 둘 다 구면 점 질량처럼 작용하고 다른 힘이 몸에 작용하지 않는다고 가정함으로써 만들어질 수 있다.이 경우 모델은 케플러 궤도로 단순화된다.

케플러 궤도는 원뿔 단면을 따른다.중심체와 궤도를 선회하는 몸체 사이의 거리를 주는 궤도의 수학적 모델은 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle r(\nu )={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos(\nu )}}}$

위치:

${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$이(가) 거리임

${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$은(는) 반주축으로, 궤도의 크기를 정의한다.

${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e}$은(는) 궤도 형태를 정의하는 편심이다.

${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu$}은(는) 참 변칙으로, 궤도를 선회하는 물체의 현재 위치와 그 물체의 궤도에 있는 위치 사이의 각도(Periapsis라고 함)가 중심체에 가장 가깝다(Periapsis라고 함).

또는 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle r(\nu )={\frac {p}{1+e\cos(\nu )}}$

여기서 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$을(를) 곡선의 반선형 직장으로 부른다.이 방정식의 형태는 반주축이 무한인 포물선 궤적을 다룰 때 특히 유용하다.

대체 접근법은 아이작 뉴턴의 만유인력의 법칙을 사용한다.

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}:}$

여기서:

${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$은(는) 두 점 질량 사이의 중력 크기입니다.

${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$은(는) 중력 상수임

${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}는$$ 첫 번째 점 질량의 질량이다.

${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}은$$ 두 번째 점 질량의 질량이다.

${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$은(는) 두 점 질량 사이의 거리임

1차체의 질량이 2차체의 질량보다 훨씬 크다는 추가적인 가정을 하고 뉴턴의 2차 운동 법칙을 대체하면 다음과 같은 미분 방정식이 발생한다.

${\ddotyle {\ddot{r}}}}}}={\frac {gm_{1}{1}{r^{2}}\mathbf {\r}}}}}$

이 미분 방정식을 풀면 궤도에 대한 케플러의 움직임이 일어난다.실제로 케플러안 궤도는 일반적으로 1차 근사치, 특수 사례 또는 회전 궤도의 기본 모델에만 유용하다.

궤도 시뮬레이션 방법

궤도 모델은 일반적으로 특별한 섭동 방법을 사용하여 시공간에서 전파된다.이것은 먼저 궤도를 케플러안 궤도로 모형화함으로써 수행된다.그리고 나서 궤도에 영향을 미치는 다양한 섭동을 설명하기 위해 모델에 섭동이 추가된다.^[1]특별한 동요는 천체역학의 어떤 문제에도 적용될 수 있는데, 그것은 비틀거리는 힘이 작은 경우에 한정되지 않기 때문이다.^[2]특수 섭동법은 가장 정확한 기계 생성 행성 후각체의 기초가 된다.^[1]예를 들어 제트 추진 연구소 개발 후기(Ephemeris)를 참조한다.

코웰의 방법

Cowell의 방법은 아마도 특별한 섭동 방법 중 가장 간단한 것일 것이다;^[3] 수학적으로, 상호$$$$상호작용하는 $n{\displaystyle }$ {\$displaystyle n}$의 경우, 다른 몸체 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$로부터 체 i ${\\\displaystyle i}$에 대한 뉴턴의 힘은 간단히 요약된다$$.

${\displaystyle \mathbf{\dot{r} _{i}=\sum_{\underset {j\neq i}{j}{gm_{j}(\mathbf {r} _{i}) \over r_{ij}^{3}}}}}}$

어디에

${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{r}}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{¨}}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 $차체{\displaystyle }$ i ${\displaystyle i}$의 가속 벡터다.

${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$은(는) 중력 상수임

${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$은(는) 차체 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$의 질량이다.

${\displaystyle {\mathbf{r}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 및 r ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 개체 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$ $및{\displaystyle }$ j$$ ${\displaystyj}$의 위치 벡터다.

${\displaystyle r_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$${$$ij}}$ 객체 i {\$displaystyle{\displaystyle }$ i$}$에서$객체$ j ${\$ j}까지의$거리$

모든 벡터를 시스템의 쌍중심으로 참조한다.$이{\displaystyle }$ 방정식은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$\},$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $y$$\},$ z ${\displaystyle$ z$}$의 구성요소로 분해되며, 이러한$$ 구성요소는 숫자적으로 통합되어 시뮬레이션이 시간 경과에 따라 새로운 속도 및 위치 벡터를 형성한다.코웰의 방법의 장점은 응용과 프로그래밍의 용이성이다.단점은 섭동이 크기가 커지면(물체가 다른 물체에 가까이 접근하는 것처럼) 방법의 오류도 커진다.^[4]또 다른 단점은 태양과 같이 중심체가 지배적인 시스템에서는 중심체와 동요하는 신체의 힘의 차이가 크기 때문에 산술에서 유의미한 숫자를 많이 가지고 다닐 필요가 있다는 것이다.^[5]

엥케의 방법

엥케의 방법은 오스카하는 궤도를 기준으로 시작하며, 시간의 함수로서 참조로부터의 변동을 해결하기 위해 숫자로 통합한다.^[6]그것의 장점은 섭동은 일반적으로 크기가 작기 때문에 통합은 더 큰 단계로 진행될 수 있으며(결과적으로 오류가 적음), 방법은 코웰의 방법보다 극단적인 섭동의 영향을 훨씬 덜 받는다는 것이다.그것의 단점은 복잡성이다; 그것은 때때로 오스카 궤도를 업데이트하지 않고 거기서부터 계속되지 않으면 무한정 사용될 수 없다, 그것은 바로 잡음이라고 알려진 과정이다.^[4][7]

$\rho {\displaystyle }$ ${\$을(를) 오스카 궤도의 반지름$$ 벡터가 되게$$ 하고, $r{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ 및 Δ r ${\$ 오스카 궤도의 변화$$,

${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle r\mathbf{}}$= ${\displaystyle r\mathbf{}}$ -${\displaystyle \rho \mathit{}}$, ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} -{\mathbol {\rho},},$ $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle r\mathbf{}}$ ${\$의 운동 방정식은 단순하다$$.

(1)

${\ddotyle {\dot{\mathbf{r}}}}}}=\mathbf {\dot}-{\\mathsymbol {\ddot{\rho}}}.}$

(2)

$¨{\$r$$$}}$ 및 $displaystyle$$\mathbf {r},$$and${\$ddot{\rho$}}}}}은$($는) $r{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$$displaystyle \mathbol{\\rho}$의 운동 방정식일$$ 뿐이다$.$

${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{r}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{¨}}}$= ${\displaystyle {\text{per}}_{}\frac{{}^{}}{}\mathbf{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$r {\$ddot$} $=\mathbf {a} _{\text{per}-{\mu \over$ r$^{3}}\mathbf {r}}$

(3)

${\displaystyle \stackrel{}{\mathit{\rho }}-}$ = - ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ μ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}\mathit{}}$ ${\$의 궤도에 변동이 없는 경우$$,

(4)

where ${\displaystyle \mu =G(M+m)}$ is the gravitational parameter with ${\displaystyle M}$ and ${\displaystyle m}$ the masses of the central body and the perturbed body, ${\displaystyle \mathbf {a} _{\text{per}}}$ is the perturbing acceleration, and ${\displaystyle r}$ and ${\d$$isplaystyle \rho }$은(는) r ${\$과(와) ${\$의 크기 입니다$.$

(3)과 (4)에서 (2)로 대체한다.

${\datastyle {\dot{r}}}}}}=\mathbf {a} _{\text{per}+\mu \left{\rho}}}} \over \rho^{3}-{\mathbf {r} \over r^{3}}\right})}$

(5)

which, in theory, could be integrated twice to find ${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$. Since the osculating orbit is easily calculated by two-body methods, ${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$ and ${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$ are accounted for and ${\displaystyle \mathbf {r} }$ can be solved. 실제로 괄호 안의 수량 $\rho {\displaystyle \frac{\mathit{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{3\mathrm{}}^{}}{}}$ 3 -${\displaystyle \frac{{}^{}}{}\frac{{r\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\$}} $\over \rho^{3$}} $\over$ \$mathbf{r} \$over $r^{$3$\}\}\}\}\}\}$은 거의 동일한 벡터의 차이며, 추가적인 조작이 필요하다.^[8][9]

스펄링-버 디트법

1991년 Victor R.본드와 마이클 F.프라에타는 두 몸이 뒤틀린 문제를 해결하기 위해 효율적이고 매우 정확한 방법을 만들었다.^[10]이 방법은 한스 스펄링이 도출한 선형화·정규화 미분방정식과 C.A가 개발한 이 방정식에 기초한 섭동 이론을 사용한다.1864년의 버더트.1973년 본드와 한센은 2체 에너지 대신 변연체계의 총 에너지를 파라미터로 사용하고 원소 수를 13개로 줄임으로써 버데트의 미분 방정식 세트를 개선했다.1989년 본드와 고틀립은 제이콥의 적분을 내장했는데, 이것은 뉴턴 방정식의 위치뿐만 아니라 시간에 따라 전위함수가 명백하게 좌우될 때 상수다.제이콥 상수는 움직임의 미분 방정식의 개혁에서 총 에너지를 대체하는 요소로 사용되었다.이 과정에서 각운동량의 구성요소에 비례하는 또 다른 요소가 도입된다.이로써 원소의 총수는 14개로 되돌아갔다.1991년 본드와 프레이타(Bond and Fraietta)는 라플라스 벡터를 다른 벡터 적분 및 일부 원소의 미분 방정식에 나타난 작은 세속적 용어들을 제거한 또 다른 스칼라 적분으로 대체함으로써 추가 개정을 하였다.^[11]

Sperling-Burdet 방법은 다음과 같이 5단계 프로세스로 실행된다.^[11]

1단계: 초기화

초기 위치인 $r{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 초기 속도 v ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$$_{0}$ 및 초기 시간 t ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 다음과 같은 변수가 초기화된다.

${\displaystyle s=0}$

${\displaystyle r_{0}=(\mathbf {r}) _{0}\cdot \mathbf {r}^{1/2}}$

${\displaystyle a=r_{0}}$

${\displaystyle b=\mathbf {r} _{0}\cdot \mathbf {v} _{0}}$

${\displaystyle \tau =t_{0}}$

${\displaystyle {\bmbol {\reason }=\mathbf {r} _{0}}$

${\displaystyle {\bmbol {\reason }}=a\mathbf {v} _{0}}}$

V$$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 및${\displaystyle }$[ ${\displaystyle \partial \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{V}{}}$ ${\displaystyle \frac{\partial }{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \frac{r\mathbf{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{]}{}{}_{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$로 정의된 동요를 평가한다.

$P{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$$_{0}$로 정의된 다른 가속으로 인한 동요를 평가한다.

${\displaystyle \alpha _{J}={\frac {2\mu }{0}-\mathbf {v} _{0}\cdot \mathbf {v} _{0}-2V_{0}}}}}$

$\displaystyle \gamma =\mu -\alpha _{J}a}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\delta }}=-(\mathbf {v} _{0}\cdot \mathbf {v} _{0})\mathbf {r} _{0}+(\mathbf {r} _{0}\cdot \mathbf {v} _{0})\mathbf {v} _{0}+{\frac {\mu }{r_{0}}}\mathbf {r} _{0}-\alpha _{J}\mathbf {r} _{0}}$

${\displaystyle \chostma =0}$

2단계: 요소를 좌표로 변환

${\displaystyle \mathbf{r} ={\mathsymbol {\message }}+{\sc_{1}+{\sc^{2}c_{2}}: }$

${\displaystyle \mathbf {r'} ={\mathsymbol {\c_{0}+{\messagesymbol {\mathbf}{1}{\disc_{1}}}}}}}}}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{3}=\alpha _{J}({\boldsymbol {\alpha }}-\mathbf {r})+{\boldsymbol {\delta }}}}$

$\displaystyle \gamma =\mu -\alpha _{J}a}$

${\displaystyle r=a+bsc_{1}+\nfs s^{2}c_{2}}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {r'} /r}$

${\displaystyle r'=bc_{0}+\cHB sc_{1}}$

${\displaystyle t=\tau +as+bs^{2}c_{2}+\c^{3}c_{3}}}}$

여기서 c ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{c\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 Stampffff 기능이다.

3단계: 원소에 대한 미분 방정식 평가

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {P} -{\partial {V} \partial {\mathbf {r}}}}$

${\displaystyle \mathbf {Q} =r^{2}\mathbf {F} +2\mathbf {r}(-V+\sigma )}$

${\displaystyle \alpha '_{J}=2(-\mathbf {r'} +r{\boldsymbol {\omega}}\times \mathbf {r}\cdot \mathbf {P}}}}}$

${\displaystyle \mu {\boldsymbol {\epsilon }}'=2(\mathbf {r'} \cdot \mathbf {F} )\mathbf {r} -(\mathbf {r} \cdot \mathbf {F} )\mathbf {r'} -(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r'} )\mathbf {F} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}'=-\mathbf {Q} sc_{1}-\mu {\boldsymbol {\epsilon }}'s^{2}c_{2}-\alpha '_{J}{\big [}{\boldsymbol {\alpha }}s^{2}c_{2}+2{\boldsymbol {\beta }}s^{3}{\bar {c}}_{3}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\delta }}s^{4}c_{2}^{2}{\big ]}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}'=\mathbf {Q} c_{0}+\mu {\boldsymbol {\epsilon }}'sc_{1}+\alpha '_{J}{\big [}{\boldsymbol {\alpha }}sc_{1}+{\boldsymbol {\beta }}s^{2}{\bar {c}}_{2}-{\boldsymbol {\delta }}s^{3}(2{\bar {c}}_{3}-c_{1}c_{2}){\big ]}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\delta }}'=\mathbf {Q} \alpha _{J}sc_{1}-\mu {\boldsymbol {\epsilon }}'c_{0}+\alpha '_{J}{\big [}-{\boldsymbol {\alpha }}c_{0}+2\alpha _{J}{\boldsymbol {\beta }}s^{3}{\bar {c}}_{3}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\delta }}\alpha _{J}s^{4}c_{2}^{2}{\big ]}}$

${\displaystyle \sigma '=r{\\boldsymbol {\omega }\cdot \mathbf {r} \time \mathbf {F}}}$

${\displaystyle a'=-{\frac {1}{r}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {Q} sc_{1}-\alpha _{J}'{\big [}as^{2}c_{2}+2bs^{3}{\bar {c}}_{3}+{\frac {1}{2}}\gamma s^{4}c_{2}^{2}{\big ]}}$

${\displaystyle b'={\frac {1}{r}\mathbf {r} \cdot \mathbf {Q}c_{0}+\alpha _{J}}{\big [}asc_{1}+b^{2]}}{\bar {{c}_{2}-\cs s^{3}{3}-{1}c_{2}}{\big ]}}}}}$

${\displaystyle \gamma '=-{\frac {1}{r}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {Q} \alpha _{J}sc_{1}+\alpha _{J}'{\big [}-ac_{0}+2b\alpha _{J}s^{3}{\bar {c}}_{3}+{\frac {1}{2}}\gamma \alpha _{J}s^{4}c_{2}^{2}{\big ]}}$

${\displaystyle \tau '={\frac {1}{r}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {Q} s^{2}c_{2}+\alpha _{J}'{\big [}as^{3}c_{3}+{\frac {1}{2}}bs^{4}c_{2}^{2}-2\gamma s^{5}(c_{5}-4{\bar {c}}_{5}){\big ]}}$

4단계: 통합

여기서 미분 방정식은 ${\displaystyle \mathrm{\Delta s}}$ ${\displaystyle \Delta s}$ 기간에 걸쳐 통합되어$$ $s{\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{\Delta s}}$ ${\displaystyle s+\Delta s}$에서 요소 값을 얻는다.

5단계: 진전

$s{\displaystyle }$= ${\displaystyle s}$ +${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s=s+\Delta s}$를 설정하고 시뮬레이션$$ 중지 조건이 충족될 때까지 2단계로 돌아가십시오.

동요하는 힘의 모형

비틀거리는 힘은 완벽한 케플러의 궤도에서 궤도를 흔들리게 한다.이러한 각각의 힘에 대한 모델은 궤도 시뮬레이션 중에 만들어지고 실행되어 궤도에 미치는 영향을 결정할 수 있다.

비구면중력

지구는 완벽한 구체도 아니고 질량도 지구 내에 고르게 분포되어 있지 않다.이로 인해 지구 주위의 궤도, 특히 낮은 지구 궤도에 대한 점-대중력 모델이 부정확하게 된다.지구 표면 주위의 중력 전위 변화를 설명하기 위해 지구의 중력장은 다음과 같은 방정식을 통해 표현되는 구형 고조파로^[12] 모델링된다.

${\displaystyle {\mathbf {f}}=-{\frac {}{R^{2}}\\mathbf {\hat {\r}+\sum _{n=2}^{n}}\sum _{m=0}^{n,m}}}$

어디에

${\displaystyle \mu }$ ${\$은 G의 산물, 보편적 중력 상수, 원체의 질량으로 정의되는 중력 매개변수다.

${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{r}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{^}}}$ ${\$은(는) 1차 본체와 2차 본체 사이의 거리를 정의하는 단위 벡터로서$$, $R{\displaystyle }$ ${\$은 거리의 크기(크기)이다$$.

${\displaystyle f_{}}$, ${\displaystyle m_{}}$ ${\$은(는) 도 n과 순서 m의 구형$$ 고조파인 f ${\$에 대한 기여를$$ 나타내며,^[12] 이 기여도는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} _{n,m}&={\frac {\mu R_{O}^{2}}{R^{n+m+1}}}\left({\frac {C_{n,m}{\mathcal {C}}_{m}+S_{n,m}{\mathcal {S}}_{m}}{R}}(A_{n,m+1}\mathbf {\hat {e}} _{3}-\left(s_{\lambda }A_{n,m+1}+(n+m+1)A_{n,m}\오른쪽)\mathbf {\hat {r}\오른쪽)\\[10pt]&{}\quad {}+mA_{n,m}((C_{n,m}{\mathcal {C}}_{m-1}+S_{n,m}{\mathcal {S}}_{m-1})\mathbf {\hat {e}} _{1}+(S_{n,m}{\mathcal {C}}_{m-1}-C_{n,m}{\mathcal {S}}_{m-1})\mathbf {\hat {e}} _{2}))\end{aligned}}}$

여기서:

${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle O_{}}$ ${\$는 원체의 평균 적도 반지름이다.

${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$은 1차 본체의 중심에서 2차 본체의 중심까지의 위치 벡터의 크기다$$.

${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$, ${\displaystyle m_{}}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle {Sn,}_{}}$ m ${\$는 도 n과 순서 m의 중력 계수다$$.이것들은 일반적으로 중력 측정을 통해 발견된다.

단위 벡터 $e{\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{^}}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}$,${\displaystyle {}_{}{\stackrel{}{\mathbf{}}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{^}}}_{}}$ ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}}$,${\displaystyle {}_{}{e}_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{^}}}_{}}$ 3 ${\$는 1차체에 고정된 좌표계를 정의한다$$.지구의 경우 $e{\displaystyle {\widehat{\mathbf{}}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}$ ${\$1}는 지구의$$ 기하학적 중심과 그리니치 자오선을 교차하는 선에 평행한 적도 평면에 놓여 ${\displaystyle {있으며}_{\mathrm{}}}$, e${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{^}}}_{}}$ 3$$$${\$displaystyle \mathbf${\$hat{e} _{3}}}}},$ $e{\displaystyle {\stackrel{\mathbf{}}{\mathbf{}}}_{}{2}_{\mathrm{}}}$ = e${\displaystyle {}_{}}$×××}${\$

${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$, ${\displaystyle m_{}}$ ${\$을(를) 도 n과 순서 m의 파생 범례 다항식이라고 한다.이러한 문제는 다음과 같은 재발 관계를 통해 해결된다.${\displaystyle A_{n,m}(u)={\frac {1}{n-m}(2n-1$$A_{n-1,m}(u)-(n+m-1)$$A_{n-2,m}(u)}$

${\displaystyle s_{}}$ ${\$은(는) 2차 ${\displaystyle {본체}_{}}$의 지리적 위도의 사인으로서, $r{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{^}}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}_{}{\stackrel{}{\mathbf{^}}}_{}}$ 3 ${\$ \$mathbf$ {\} $_{3}$이다$.$

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{m},{\mathcal {S}}_{m}}$ are defined with the following recurrence relation and initial conditions:${\displaystyle {\mathcal{C}}_m={\mathcal{C}}_1{\mathcal{C}}_{m-1}-{\mathcal{S}}_1{\mathcal{S}}_{m-1},{\mathcal{S}}_m={\mathcal{S}}_1{\mathcal{C}}_{m-1}+{\mathcal{C}}_1{\mathcal{S}}_{m-1},{\mathcal{S}}_0=0,{\mathcal{S}}_1=\mathbf{R}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{m}={\mathcal {C}}_{1}{\mathcal {C}}_{m-1}-{\mathcal {S}}_{1}{\mathcal {S}}_{m-1},{\mathcal {S}}_{m}={\mathcal {S}}_{1}{\mathcal {C}}_{m-1}+{\mathcal {C}}_{1}{\mathcal {S}}_{m-1},{\mathcal {S}}_{0}=0,{\mathcal {S}}_{1}=\mathbf {R} \cdot \mathbf$${\hat{e} _{2},{\mathcal {C}_{0}=1,{\mathcal {C}_{1}=\mathbf {R} \cdot \mathbf {\e} _{1}} \cdot \mathbf {\mathbf {e} _{1}} _{1}:{1}}}}}}}}}}}}}}}}}$

When modeling perturbations of an orbit around a primary body only the sum of the ${\displaystyle {\mathbf {f} }_{n,m}}$ terms need to be included in the perturbation since the point-mass gravity model is accounted for in the ${\displaystyle -{\frac {\mu }{R^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$ term

제3신체 섭동

제3의 신체의 중력은 궤도에 동요를 일으킬 수 있다.예를 들어, 태양과 달은 지구 주위의 궤도에 동요를 일으킨다.^[13]이러한 힘은 직접 중력 N-body 시뮬레이션을 통해 중력이 1차체를 위해 모델링되는 것과 같은 방식으로 모델링된다.일반적으로, 구면 점-질량 중력 모델만 이러한 제3의 신체에서 효과를 모델링하는 데 사용된다.^[14]제3신체 섭동의 일부 특별한 경우에는 대략적인 분석적 해결책이 있다.예를 들어, 상승 노드의 올바른 상승에 대한 섭동과 원형 지구 궤도에 대한 근원의 주장은 다음과 같다.^[13]

${\dothyle {\dot {\Oomega}_{\mathrm {MOUN}}}=-0.00338(\cos(i)/n}$

${\dot {\dot {\omega }_{\mathrm {MOUN}}}=-0.00169(4-5\sin ^{2}(i)/n}$

여기서:

$\{\${\$dot {\Oomega}}}}$은(는) 매일 도 단위로 상승 노드의 우측 상승에 대한 변경이다$$.

${\displaystyle \stackrel{}{\Omega }}$ $˙{\${\$dot {\omega$}}}은$$(는) 매일 perigee의 인수에 대한 변화다.

${\displaystyle i}${\$displaystyle$ i$}$는 궤도 경사다.

${\displaystyle n}$ $[\displaystyle n}$은(는) 하루 궤도 회전 수입니다.

태양 복사열

태양 복사 압력은 궤도에 동요를 일으킨다.그것이 지구 궤도에 있는 우주선에 전달하는 가속도의 크기는 아래 방정식을 사용하여 모델링한다.^[13]

${\displaystyle a_{R}\약 -4.5\time 10^{-6}(1+r)A/m}$

여기서:

${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$ ${\$는 가속도의 크기(초 제곱 당 미터)이다.

$[\displaystyle A}$은(는) 미터 제곱 단위로 태양에 노출되는 단면 영역이다$$.

$[\displaystyle m]$은 킬로그램 단위의 우주선 질량이다.

${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$은(는) 재료 특성에 따라 달라지는 반사 계수다.${\displaystyle r}$= 흡수의 경우$$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle r=0},$ ${\displaystyle \mathrm{규격반사}}$의$$경우 r$$${\displaystyle }$= 1 {\$displaystyle r=1},$ 확산반사의 경우$$ $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle 0.4}$ ${\displaystyle r\$ 약 $0.4}.$

지구 주위의 궤도에 대해, 태양 복사 압력은 800 km 고도를 넘는 드래그보다 더 강한 힘이 된다.^[13]

추진

우주선 추진에는 여러 가지 종류가 있다.로켓 엔진은 가장 널리 사용되는 엔진 중 하나이다.로켓 엔진의 힘은 다음과 같은 방정식으로 모델링된다.^[15]

${\daptyle F_{n}={\dot{m}\;v_{\text{e}}={\dot{m}\;v_{\text-act}}+A_{\text{e}(p_{\text{e}-p_{\text{amb})}}$

여기서:
${\displaystyle {\dot{m}}$	= 배기 가스 질량 흐름
${\displaystyle v_{\text{e}}$	= 유효 배기 속도
${\displaystyle v_{\text{e-act}}$	= 노즐 출구 평면에서의 실제 제트 속도
${\displaystyle A_{\text{e}}$	= 노즐 출구 평면의 흐름 영역(또는 분리된 흐름일 경우 제트기가 노즐을 떠나는 평면)
${\displaystyle p_{\text{e}}$	= 노즐 출구 평면의 정적 압력
${\displaystyle p_{\text{amb}}$	= 주변(또는 대기) 압력

또 다른 가능한 방법은 태양열 돛이다.태양열 돛은 원하는 추진력을 얻기 위해 방사선 압력을 이용한다.^[16]태양풍에 의한 섭동모델은 태양열 돛에서 나오는 추진력의 모델로 사용할 수 있다.

끌다

낮은 지구 궤도에서 위성에 작용하는 일차적인 비중력력은 대기 항력이다.^[13]드래그는 속도의 방향에 반대하여 작용하고 궤도에서 에너지를 제거한다.드래그로 인한 힘은 다음 방정식으로 모델링한다.

${\displaystyle F_{D}\,=\,{\\tfrac {1}{1}2}}\,\rho \,v^{2}\,C_{d}\,A,}$

어디에

${\displaystyle {\mathbf{F}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) 드래그의 힘이다.

${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {} \rho }$은(는) 유체의 밀도,^[17]

${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbf {} v}$은(는) 유체에 상대적인 물체의 속도,

${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\$은(는) 드래그 계수(대부분 위성의^[13] 경우 2~4의 치수 없는 파라미터)이다.

${\displaystyle A}$ {\$displaystyle \mathbf {}A}$이(가) 참조 영역이다$.$

고도가 120km 미만인 궤도는 일반적으로 너무 높은 항력을 가지고 있어서 궤도는 너무 빨리 붕괴되어 위성이 어떤 실제 임무를 완수하기에 충분한 수명을 준다.반면 600km 이상의 고도를 가진 궤도는 상대적으로 작은 항력을 가지고 있어 궤도가 충분히 느려져 유용 수명에 걸쳐 위성에 실질적인 영향을 미치지 않는다.^[13]공기의 밀도는 지구 궤도가 낮은 위성이 대부분 거주하는 열권에서 크게 달라질 수 있다.이러한 변화는 주로 태양 활동에 기인하며, 따라서 태양 활동은 우주선에 걸리는 드래그 힘에 크게 영향을 미치고 장기 궤도 시뮬레이션을 복잡하게 만들 수 있다.^[13]

자기장

자기장은 장기 노출 시설에서 보았던 것처럼 궤도 섭동의 원천으로서 중요한 역할을 할 수 있다.^[12]중력과 마찬가지로 지구의 자기장은 다음과 같이 구형 고조파를 통해 표현할 수 있다.^[12]

${\displaystyle {\mathbf {B}}}}=\sum _{n=1}^{n}{m=0}^{n}{\mathbf {B}{n,m}}}$

어디에

${\displaystyle \mathbf{B}}$ ${\$은(는) 지구 표면 위의 한 지점에 있는 자기장 벡터다$$.

${\displaystyle {\mathbf{B}}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$, ${\displaystyle m_{}}$ ${\$은(는) 도 n과 순서 m의 구형 $고조파$인 B ${\$에 대한 기여를 나타내며$$, 다음과 같이 정의된다.^[12]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} _{n,m}={}&{\frac {K_{n,m}a^{n+2}}{R^{n+m+1}}}\left[{\frac {g_{n,m}{\mathcal {C}}_{m}+h_{n,m}{\mathcal {S}}_{m}}{R}}((s_{\lambda }A_{n,m+1}+(n+m+1)A_{n,m}\mathb {\hat {r} )-A_{n,m+1}\mathbf {\e} _{3}\오른쪽]\\[10pt]&{}-mA_{n,m}((g_{n,m}{\mathcal {C}}_{m-1}+h_{n,m}{\mathcal {S}}_{m-1})\mathbf {\hat {e}} _{1}+(h_{n,m}{\mathcal {C}}_{m-1}-g_{n,m}{\mathcal {S}}_{m-1})\mathbf {\hat {e}} _{2}))\end{aligned}}}$

여기서:

${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$는 주체의 평균 적도 반지름이다.

${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$은 1차 본체의 중심에서 2차 본체의 중심까지의 위치 벡터의 크기다$$.

${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{r}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{^}}}$ ${\$}은(는) 2차 본체의 방향에 있는 단위 벡터로서$$, 원점은 1차 본체의 중심에 있다.

${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {n,}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\$ $h$ ${\displaystyle {n,}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\$는 도 n과 순서 m의 가우스 계수다$$.이것들은 일반적으로 자기장 측정을 통해 발견된다.

단위 벡터 $e{\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{^}}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}$,${\displaystyle {}_{}{\stackrel{}{\mathbf{}}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{^}}}_{}}$ ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}}$,${\displaystyle {}_{}{e}_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{^}}}_{}}$ 3 ${\$는 1차체에 고정된 좌표계를 정의한다$$.지구의 경우 $e{\displaystyle {\widehat{\mathbf{}}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}$ ${\$1}는 지구의$$ 기하학적 중심과 그리니치 자오선을 교차하는 선에 평행한 적도 평면에 놓여 ${\displaystyle {있으며}_{\mathrm{}}}$, e${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{^}}}_{}}$ 3$$$${\$displaystyle \mathbf${\$hat{e} _{3}}}}},$ $e{\displaystyle {\stackrel{\mathbf{}}{\mathbf{}}}_{}{2}_{\mathrm{}}}$ = e${\displaystyle {}_{}}$×××}${\$

${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$, ${\displaystyle m_{}}$ ${\$을(를) 도 n과 순서 m의 파생 범례 다항식이라고 한다.이러한 문제는 다음과 같은 재발 관계를 통해 해결된다.${\displaystyle A_{n,m}(u)={\frac {1}{n-m}(2n-1$$A_{n-1,m}(u)-(n+m-1)$$A_{n-2,m}(u)}$

${\displaystyle K_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$, m ${\$${\displaystyle \frac{m}{}}$$}$은(는) 다음과 같이 정의된다$$. m = 0,${\displaystyle }$[${\displaystyle n\frac{}{}}$+ m ${\displaystyle \frac{}{}{}^{\mathrm{}}}$.5 ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle m_{}}$ ${\$$.$5$}K_{n-1,m}}$ for ${\displaystyle n\geq (m+1)}$ and ${\displaystyle m=[1\ldots \infty ]}$ , and ${\displaystyle [(n+m)(n-m+1)]^{-0.5}K_{n,m-1}}$ for ${\displaystyle n\geq m}$ and ${\displaystyle m=[2\ldots \infty ]}$

${\displaystyle s_{}}$ ${\$은(는) 2차 ${\displaystyle {본체}_{}}$의 지리적 위도의 사인으로서, $r{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{^}}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}_{}{\stackrel{}{\mathbf{^}}}_{}}$ 3 ${\$ \$mathbf$ {\} $_{3}$이다$.$

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{m},{\mathcal {S}}_{m}}$ are defined with the following recurrence relation and initial conditions:${\displaystyle {\mathcal{C}}_m={\mathcal{C}}_1{\mathcal{C}}_{m-1}-{\mathcal{S}}_1{\mathcal{S}}_{m-1},{\mathcal{S}}_m={\mathcal{S}}_1{\mathcal{C}}_{m-1}+{\mathcal{C}}_1{\mathcal{S}}_{m-1},{\mathcal{S}}_0=0,{\mathcal{S}}_1=\mathbf{R}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{m}={\mathcal {C}}_{1}{\mathcal {C}}_{m-1}-{\mathcal {S}}_{1}{\mathcal {S}}_{m-1},{\mathcal {S}}_{m}={\mathcal {S}}_{1}{\mathcal {C}}_{m-1}+{\mathcal {C}}_{1}{\mathcal {S}}_{m-1},{\mathcal {S}}_{0}=0,{\mathcal {S}}_{1}=\mathbf {R} \cdot \mathbf$${\hat{e} _{2},{\mathcal {C}_{0}=1,{\mathcal {C}_{1}=\mathbf {R} \cdot \mathbf {\e} _{1}} \cdot \mathbf {\mathbf {e} _{1}} _{1}:{1}}}}}}}}}}}}}}}}}$

참고 항목

• n-body 문제
• 궤도공명
• 오스카 궤도
• 섭동(astronomy)
• 영향 영역(아스트로다이나믹스)
• 두 몸 문제

참고 및 참조

외부 링크

• [1] 지구의 중력 지도