오웬의 T기능

수학에서 통계학자 도널드 브루스 오웬의 이름을 딴 오웬의 T(h, a)함수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle T(h,a)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{a}{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}h^{2}(1+x^{2})}}{1+x^{2}}}dx\quad \left(-\infty <h,a<+\infty \right).}$

이 기능은 1956년 오웬에 의해 처음 도입되었다.^[1]

적용들

함수 T(h, a)는 X와 Y가 독립적인 표준 정규 랜덤 변수인 사건 확률(X > h 및 0 < Y < aX)을 제공한다.

이 함수는 이변량 정규 분포 확률을^[2][3] 계산하고, 여기서 다변량 정규 분포 확률을 계산하는 데 사용할 수 있다.^[4]가우스 함수와 관련된 다양한 통합에서도 자주 등장한다.

이 기능의 정확한 계산을 위한 컴퓨터 알고리즘을 사용할 수 있다;^[5] 1970년대부터 쿼드라이어가 사용되어 왔다.^[6]

특성.

${\displaystyle T(h,0)=0}$

${\displaystyle T(0,a)={\frac {1}{2\pi }}\arctan(a)}$

$[\displaystyle T(-h,a)=T(h,a)}$

$[\displaystyle T(h,-a)=-T(h,a)}$

$T(h,a)+T\left(ah,{\frac {1}{a}}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\left(\Phi (h)+\Phi (ah)\right)-\Phi (h)\Phi (ah)&{\text{if}}\quad a\geq 0\\{\frac {1}{2}}\left(\Phi (h)+\Phi (ah)\right)-\Phi (h)\Phi (ah)-{\frac {1}{2}}&{\text{if}}\quad a<0\end{cases}}}$

${\displaystyle T(h,1)={\frac {1}{2}}\Phi(h)\왼쪽(1-\Phi(h)\오른쪽)}$

${\dapplaystyle \int T(0,x)\\mathrm {d}x=xT(0,x)-{\frac {1}{4\pi }}\ln \좌측(1+x^){2}\오른쪽)++C}$

여기서 φ(x)는 표준 정규 누적분포함수다.

${\displaystyle \Phi(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}\int_{-\\inflt }{x}\exp \left(-{\frac{t^{2}}\right)\,\\mathrm {d}t}t}t} t}$

문헌에서 더 많은 성질을 발견할 수 있다.^[7]

참조

• Owen, D. (1980). "A table of normal integrals". Communications in Statistics: Simulation and Computation. B9 (4): 389–419. doi:10.1080/03610918008812164.

소프트웨어

• 오웬의 T 기능(사용자 웹 사이트) - LGPL 라이센스 LGPL에 따라 출시된 C++, FORTRAN77, FORTRAN90 및 MATLAB 라이브러리 제공
• 오웬의 T-기능은 버전 8부터 매스매티카에서 오웬T로 구현된다.

외부 링크

• Why You Care to care about the Whom(Wolfram 블로그 게시물)