피디프

스플라인(Splines)은 조각처럼 매끄러우므로 PDIFF에서는 매끄러우지만 전체적으로 매끄럽거나 조각처럼 선형이 아니며, 따라서 DIFF나 PL에서는 그렇지 않다.

기하학적 토폴로지에서 PDIFF는 조각과 조각으로 구분할 수 있는 경우 조각과 부드러운 다지관과 그 사이의 조각과 부드러운 지도의 범주가 된다.DIF(그들 사이의 부드러운 다지관과 부드러운 기능의 범주)와 PL(조각으로 이루어진 선형 다지관과 그 사이의 조각으로 이루어진 선형 지도 범주)을 적절히 포함하고 있으며, 이 두 가지 범주를 하나로 연관시킬 수 있도록 하기 위해 정의된다.또한 수학에서는 스플라인, 다각형 체인과 같은 조각적 기능이 일반적이며, PDIFF는 이를 논의하기 위한 범주를 제공한다.

동기

PDIFF는 DIFF와 PL을 연결하는 역할을 하며, PL에 해당한다.

PDIFF는 대부분 기술적 포인트로, 매끄러운 지도는 조각으로 선형이 아니며(선형이 아닌 경우), 조각으로 된 선형 지도는 매끄럽지 않다(전지구적으로 선형이 아닌 경우), 교차로는 선형 지도 또는 보다 정밀하게 부착된 지도(근거가 아니기 때문에)이다. 따라서 직접 연관될 수 없다. 이들은 어핀 지도 개념의 별도 일반화다.

단, 평활 다지관은 PL 다지관은 아니지만 표준 PL 구조물을 운반한다. 즉, 독특하게 삼각형이 가능한 구조로, 반대로 모든 PL 다지관이 평활 가능한 것은 아니다.특히 매끄러운 다지관이나 매끄러운 다지관 사이의 매끄러운 지도의 경우, 이는 다지관을 충분히 작은 조각으로 분할한 다음, 각 조각의 다지관이나 지도를 선형화함으로써 나타낼 수 있다. 예를 들어, 평면의 원은 삼각형으로 근사할 수 있지만 이 후자는 선형적으로 내장할 수 없기 때문에 2곤으로 근사할 수 없다.

그러나 Diff와 PL 사이의 이러한 관계는 선택이 필요하며, 더 큰 범주에 두 범주를 포함시키고, 그 다음 PL의 포함이 동등하다는 것을 보여줌으로써 보다 자연스럽게 보여지고 이해된다: 모든 부드러운 다지관과 모든 PL 다지관은 PDiff 다지관이다.따라서 Diff에서 PDiff로, PL에서 PDiff로 가는 것은 자연스러운 일이다. - 그것들은 단지 포함일 뿐이다.PL에서 PDiff까지의 지도는 동일하지는 않지만(모든 매끄러운 기능이 조각으로 선형화된 것은 아님) 동등하다. 즉, 조각을 선형화함으로써 뒤로 갈 수 있다.따라서 어떤 목적을 위해 반전되거나, 지도 ${\displaystyle \text{Diff}}$→ ${\displaystyle \text{PDiff}}$→ ${\displaystyle \text{PL}}$. {\$displaystyle {\text${Diff$}\to {\text$}\text{\text$}}$을(를) {\text}에 주는 이소모르프(Isomorphism)로 간주할 수 있다.$PDiff}}\to {\text{$$PL}}}.}$ 이들$$ 범주는 모두 위상학적 다지관의 범주인 TOP 내부에 위치하며, 그 사이에 연속적인 지도가 위치한다.

요컨대 PDiff는 조각(코너)을 허용하기 때문에 디프보다 일반적이며, 일반적으로 매끄러운 코너에서는 할 수 없기 때문에 PDiff보다 일반적이며, PL은 조각들을 선형화할 수 있기 때문에(더 정확히 말하면, 작은 조각으로 쪼개서 선형화해야 할 수도 있는데, PDiff에서는 이를 허용한다.)보다 일반적이다.

역사

모든 매끄러운 (사실, C¹) 다지관이 독특한 PL 구조를 가지고 있다는 것은 (화이트헤드 1940)에서 원래 증명되었다.상세한 설명 증거는 (Munkres 1966)에 제시되어 있다.그 결과는 기초적이고 다소 기술적이기 때문에, 일반적으로 (Thurston 1997)에 제시된 간단한 증명 개요에서와 같이 현대 문헌에서만 스케치된다.매우 간략한 개요는 (McMullen 1997)에 제시되어 있는 반면, 짧지만 상세한 증거는 (Lurie 2009)에 제시되어 있다.

참조