균형 방정식

확률론에서, 균형 방정식은 상태 또는 ^[1]상태 집합에서 마르코프 사슬과 관련된 확률 플럭스를 설명하는 방정식이다.

글로벌 밸런스

글로벌 밸런스 방정식(풀 밸런스^[2] 방정식이라고도 함)은 마르코프 사슬의 평형 분포(또는 정지 분포)를 특징짓는 일련의 방정식이다.

상태 $공간{\displaystyle \mathcal{}}$S(\$displaystyle\mathcal {S$$}),$ $상태$ i(\${\displaystyle {\mathrm{displaystyle<img\; alt="i"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:0.802ex;\; height:2.176ex;">}}_{}}$)에서 j$(\$$displaystyle$$\{$$ij$})로의 전이율 및 평형 분포$(\displaystyle \pi$})를 갖는 연속 시간 마르코프 체인의 경우 글로벌 균형 방정식은 다음과^[3] 같다.

$\displaystyle \pi _{i}=\sum _{j\in S}\pi _{j}q_{ji}}$

또는 동등하게

$\displaystyle \pi _{i}\setminus \{i\}q_{ij}=\sum _{j\in S\setminus \{i\}\pi _{j}q_{ji}.}$

$모든{\displaystyle }$ i${\displaystyle s}$S \ $displaystyle$i \ $in$ S$$。${\displaystyle {여기}_{}}$서 ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$j \ $displaystyle$\ $pi _ { i$} $_$ j j j j$$state $state{\displaystyle }$ from from from from from from from from from from$$（ $displaystyle$$$i$$$$） 。왼쪽은 상태 i에서 $상태{\displaystyle }$ i 이외의 상태로의 총 흐름을 나타냅니다.e 모든 $상태{\displaystyle }$ j${\displaystyle i}$i \ $displaystyle$$$j \ $neq$i$$state$$ $。$으로 대부분의 큐잉 ^[4]모델에 대해 이 방정식 시스템을 푸는 것은 계산상 어렵습니다.

상세잔액

전이율 $행렬{\displaystyle }$ Q$(\displaystyle$ Q$)$가 있는 연속 시간 마르코프 체인(CTMC)의 경우, $(\$})가 모든 $상태{\displaystyle }$ 쌍$$i(\$displaystyle$i)와 j$(\displaystyle$ j$)$에 대해 발견될 경우

$\displaystyle \pi _{i}q_{ij}=\pi _{j}q_{ji}}$

j {$displaystyle$ j$\}$를 합하면 글로벌 밸런스 방정식이 충족되고 ^[5]${\$ { $displaystyle$ \pi$$}는 프로세스의 고정 분포입니다.그러한 해법을 찾을 수 있다면, 결과 방정식은 일반적으로 지구 균형 ^[4]방정식을 직접 푸는 것보다 훨씬 쉽습니다.

CTMC는 모든 $상태{\displaystyle }$ 쌍$({displaystyle$ i$}$ $및$ j${displaystyle$j$\})$에 대해 상세 밸런스 조건이 충족되는 경우에만 되돌릴 수 있습니다.

$전이행렬{\displaystyle }$P(\$displaystyle$ P$)$와 평형분포$\delta {\displaystyle }$(\$displaystyle \pi)$를 갖는 이산형 타임 마르코프 체인(DTMC)은 모든 $쌍{\displaystyle }$i(\$displaystyle$ i$)$와 j$(\displaystyle$ j$)$^[6]에 대해 상세 밸런스라고 한다.

$\displaystyle \pi _{ij}=\pi _{j}p_{ji}.}$

CTMC의 경우와 같이 해법을 찾을 수 있는 경우, 일반적으로 계산은 글로벌 밸런스 방정식을 직접 푸는 것보다 훨씬 빠릅니다.

로컬 밸런스

경우에 따라서는 글로벌 밸런스 방정식의 양쪽 항이 취소됩니다.그런 다음 전역 균형 방정식을 분할하여 국소 균형 방정식 세트(부분 ^[2]균형 방정식, 독립^[7] 균형 방정식 또는 개별^{[8] [1]}균형 방정식이라고도 함)를 제공할 수 있습니다.이 균형 방정식은 피터 ^[8][9]휘틀에 의해 처음 고려되었다.결과 방정식은 상세 균형 방정식과 전역 균형 방정식 사이에 있습니다.로컬 밸런스 방정식에 대한 어떤 $(\displaystyle \pi)$도 항상 글로벌 밸런스 방정식의 해법(해당 로컬 밸런스 방정식을 합산하여 글로벌 밸런스 방정식을 복구할 수 있음)이지만, 그 반대가 항상 ^[2]참인 것은 아닙니다.종종 국소 균형 방정식을 구성하는 것은 특정 ^[1]항에 대한 전역 균형 방정식의 외부 합계를 제거하는 것과 같습니다.

1980년대에는 국지적 균형이 제품 형태의 균형 분포의 ^[10][11]필수 조건이라고 생각되었지만, 겔렌베의 G-네트워크 모델은 그렇지 ^[12]않음을 보여주었다.

메모들