입자 번호 연산자

양자역학에서, 총 입자 수가 보존되지 않을 수 있는 시스템의 경우, 숫자 연산자는 입자 수를 세는 관측 가능한 것이다.

숫자 연산자는 포크 스페이스에 작용한다. 내버려두다

${\displaystyle \psi \rangele _{\nu }= \phi _{1},\phi _{2},\cdots,\phi _{n}\rangele _{\nu }}}}}$

포크 공간의 기초 힐버트 공간의 기초적인 공간으로부터 도출된$$ 단일 입자 상태 ${\displaystyle {\varphi }_{}}$ i ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \phi _{i}\rangele }$로 구성된 포크 상태. 해당하는 생성 및 소멸 연산자 ${\displaystyle {†}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$) ${\displaystyle$ a$^{\daugger }(\phi _{i})$와${\displaystyle }$a ( ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)$${\$displaystyle a(\phi$_{$i}\})$를 고려할 때, 다음에$$ 따라 숫자 연산자를 정의한다.

${\displaystyle {\hat{N_{i}}\\\stackrel {\mathrm {def}{}}}}}\^{\dager }(\phi _{i}a(\phi _{i})}}}$

그리고 우리는

${\displaystyle {\hat{N_{i}}\PSI \rangele _{\nu }=N_{i} \PSI \rangele _{\nu }}}}}$

여기서 $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은(는) 상태 ${\displaystyle {\varphi }_{}}$ i$display$ {\displaystyle $\pi$ _${i}\rangele$}에 있는 입자 수입니다$.$ 위의 동등성은 다음과 같은 점에 유의하여 증명할 수 있다.

${\displaystyle{\begin{행렬}(\phi_{나는})\phi _{1},\phi _{2},\cdots _{i-1},\phi _{나는},\phi _{i+1},\cdots _{n}\rangle _{\nu}& ,\phi, =&,{\sqrt{N_{나는}}}\phi _{1},\phi _{2},\cdots _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi ,\phi _{n}\rangle _ᆸ\\a^ᆹ(\phi_{나는})_{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle ,\phi _{1},\phi _{2},\cdots \phi ,\phi._{\nu}&=&#{\sqrt{N_{i}} \phi _{1},\phi _\cdots _{2},\phi-1},\phi _{i+1},\phodots _{nu}\rangele _{\nu}\end{matrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}?$

그때

${\displaystyle{\begin{행렬}{\hat{N_{나는}}}\Psi\rangle _ᆭ=a^ᆮ(\phi_{나는})a(\phi_{나는}),\phi _{i-1},\phi _{나는},\phi _{i+1},\cdots _{n}\rangle _{\nu}& ,\phi, =&,{\sqrt{N_{나는}}};=&,{\sqrt _{1},\phi _{2},\cdots a^ᆷ(\phi_{나는})\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu}\\& \phi. {N_{나는}}}{\sqrt{N_{i}}} \phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\&=&N_{i} \Psi \rangle _{\nu }\\\end{matrix}}}$

참고 항목

• 조화 발진기
• 양자 조화 진동자
• 2차 정량화
• 양자장 이론
• 열역학
• 페르미온 번호 연산자
• (-1)^F

참조

• Bruus, Henrik; Flensberg, Karsten (2004). Many-body Quantum Theory in Condensed Matter Physics: An Introduction. Oxford University Press. ISBN 0-19-856633-6.
• Fradkin의 두 번째 정량화 노트