2차 정량화

양자장 이론
파인만 도표
역사
배경 장 이론 전자기학 약한 힘 강한 힘 양자역학 특수상대성 일반상대성 게이지 이론
대칭 양자역학의 대칭 C대칭 P-대칭 T-대칭 공간 번역 대칭 시간 변환 대칭 회전 대칭 로렌츠 대칭 푸앵카레 대칭 게이지 대칭 명시적 대칭 깨짐 자연대칭파단 양-밀스 이론 노에더 전하 위상 전하
도구들 변칙 교차 유효장 이론 기대값 파데예프-포포프 유령 파인만 도표 격자 게이지 이론 LSZ 환원식 파티션 함수 전파자 수량화 정규화 리노말화 진공 상태 윅의 정리 와이트먼 공리
방정식 디라크 방정식 클라인-고든 방정식 프로카 방정식 휠러-드위트 방정식 바그만-위그너 방정식
표준 모델 양자전기역학 전기와크 상호작용 양자 색역학 힉스 메커니즘
불완전 이론 위상 양자장 이론 끈 이론 초대칭 테크니컬러 만물론 양자 중력
과학자들 앤더슨 안셀름 아티야 바그만 베치 벤더 베테 비요르켄 블뤼어 보골류보프 브라우트 캘런 콜먼 콘스 드위트 디락 다이슨 잉글러트 파데예프 페르미 파인만 피에르즈 포크 프리츠슈 프롤리히 털로 덮인 글래쇼 글림 겔판트 겔만 골드스톤 그리보프 징그럽다 굽타 구랄니크 하그 하이젠베르크 힉스 하겐 't 후프트' 일리오풀로스 이바넨코 재피 조나라시니오 조던 조스트 켈렌 카슬러 켄달 키블 콘체비치 양고기 란다우 리 리 레만 리파토프 낮음 뤼데르 마이아니 메이저나나 미그달 밀스 뮐러 나이마르크 남부 네베우 니시지마 오메 오펜하이머 오스터왈더 파리시 파울리 폴리티저 폴리아코프 포메란추크 포포프 프로카 루엘 살람 슈바르츠 슈윙거 시걸 세이베르크 스카이르메 스토라 슈테켈베르크 수다르산 시만지크 서링 토모나가 튜틴 벨트만 병동 와인버그 바이스코프 갠젤 웨스 웨테리히 바일 윅 와이트먼 위그너 윌체크 윌슨 비튼 양 유카와 자몰로드치코프 자몰로드치코프 짐머만 진 저스틴 주미노
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직업수 표현이라고도 하는 2차 계량화는 양자 다체계를 기술하고 분석하는 데 사용되는 형식주의다. 양자장 이론에서, 그것은 정량화라고 알려져 있는데, 이 정량화라고 하는데, 정량화라고 하는데, 정량화에서는 그 장(일반적으로 물질의 파동함수)이 물리량(위치, 모멘텀 등)을 계량화에서 연산자로 생각하는 방식과 비슷한 방식으로 생각된다. 이 방법의 핵심 사상은 1927년 폴 디락(Paul Dirac)에 의해 도입되었으며,^[1] 가장 두드러지게는 후에 블라디미르 포크(Fock)와 파스쿠알 요르단이 개발하였다.^[2][3]

이 접근법에서 양자 다체 상태는 Fock 상태 기준으로 나타나며, 각 단일 입자 상태를 일정 수의 동일한 입자로 채움으로써 구성된다. 제2차 정량화 형식주의는 생성과 소멸 연산자를 도입하여 포크 상태를 구성하고 처리함으로써 양자 다체 이론 연구에 유용한 도구를 제공한다.

양자 다체 상태

제2차 양자화 형식주의의 출발점은 양자역학에서 입자가 분간할 수 없다는 개념이다. 각 입자가 서로 다른 위치 벡터 r ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle {}_{}}$ i$${\$displaystyle \mathbf {r} _{i}$}s가 서로 다른 다체 상태에 해당하는 고전역학과는 달리, 양자역학에서는 입자가 동일하다.ng 두 개의 입자, 즉 $r{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ r ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\$는 다른 다체 양자 상태를 유발하지 않는다. 이는 양자 다체파 함수가 두 입자의 교환 하에 불변성(상계수까지)이어야 함을 의미한다. 입자의 통계에 따르면 다체파 함수는 입자 교환 하에서 대칭 또는 대칭이 될 수 있다.

${\displaystyle \Psi _{\rm {B}}(\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots )=+\Psi _{\rm {B}}(\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots )}$ if the particles are bosons,

${\displaystyle \Psi _{\rm {F}}(\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots )=-\Psi _{\rm {F}}(\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots )}$ if the particles are fermions.

이 교환대칭 특성은 다체파 기능에 제약을 가한다. 다체 시스템에서 입자가 추가되거나 제거될 때마다 파동 함수는 대칭 구속조건을 만족시키기 위해 적절히 대칭되거나 대칭되지 않아야 한다. 첫 번째 정량화 형식주의에서, 이 제약조건은 파동함수를 단일 입자 상태의 영속성(보손의 경우) 또는 결정성(페르미온의 경우)의 선형 결합으로 표현함으로써 보장된다. 제2차 계량화 형식주의에서는 대칭화 문제가 생성·멸종 사업자에 의해 자동적으로 처리되어 그 표기법이 훨씬 간단해질 수 있다.

초정량 다체파 함수

$($ ${\displaystyle r\mathbf{}}$) ${\displaystyle \psi _{\$$alpha }(\mathbf$${r})$로 라벨이$$ 지정된 전체 단일 입자파 함수 집합을 고려하십시오($$양자 숫자의 결합된 색인일 수 있음$).$ 다음의 파동함수

${\displaystyle \Psi [\mathbf {r} _{i}]=\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{i}}(\mathbf {r} _{i})\equiv \psi _{\alpha _{1}}\otimes \psi _{\alpha _{2}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{N}}}$

ith 입자가 단일 입자 상태 ${\displaystyle {\alpha i}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha _{i}\rangele}}$을 차지하는 N-입자 상태를 나타낸다$.$ 속칭 표기법에서는 wave 함수의 위치 인수가 생략될 수 있으며 ith 단일 입자 함수가 ith 입자의 상태를 기술한다고 가정한다. 파동함수 ${\displaystyle \Psi }$은 대칭 또는 대칭성이 없었으므로 일반적으로 동일한 입자에 대한 다체파 함수로서 자격이 없다. 단, 대칭제어의$$ 경우 $연산자{\displaystyle \mathcal{}}$ S$${\$displaystyle${\$mathcal {S},$ 대칭제어의 경우$$ $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 대칭(대칭) 형태로 가져올 수 있다.

보손의 경우 다체파 함수는 대칭이어야 한다.

${\displaystyle \Psi _{\rm {B}}[\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}{\mathcal {S}}\Psi [\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{\pi (i)}}(\mathbf {r} _{i})={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}\psi _{\alpha _{\pi (1)}}\otimes \psi _{\alpha _{\pi (2)}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{\pi (N)}};}$

페르미온의 경우, 다체파 기능은 방염화되어야 한다.

${\displaystyle \Psi _{\rm {F}}[\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}{\mathcal {A}}\Psi [\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi }\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{\pi (i)}}(\mathbf {r} _{i})={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi }\psi _{\alpha _{\pi (1)}}\otimes \psi _{\alpha _{\pi (2)}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{\pi (N)}}.}$

Here ${\displaystyle \pi }$ is an element in the N-body permutation group (or symmetric group) ${\displaystyle S_{N}}$, which performs a permutation among the state labels ${\displaystyle \alpha _{i}}$, and ${\displaystyle (-1)^{\pi }}$ denotes the corresponding permutation sign. ${\displaystyle \mathcal{N}}$ ${\$은 파형 함수를 정규화하는 정규화 연산자다. (적합한 수치 정규화 인자를 대칭된 도(n) 텐서(tensor)에 적용하는 것은 측정 시스템이다. 그 값은 다음 섹션을 참조한다.)

If one arranges the single-particle wave functions in a matrix ${\displaystyle U}$, such that the row-i column-j matrix element is ${\displaystyle U_{ij}=\psi _{\alpha _{j}}(\mathbf {r} _{i})\equiv \langle \mathbf {r} _{i} \alpha _{j}\rangle }$, then the boson many-body wave function can be simply written as a permanent ${\displaystyle \Psi _{\rm {B}}={\mathcal {N}}\operatorname {perm} U}$, and the fermion many-body wave function as a determinant ${\displaystyle \Psi _{\rm {F}}={\mathcal {N}}\operatorname {det} U}$ (also known as the Slater determ무성의한

2차 수량화 Fock 상태

최초 정량화된 파형 함수는 구별할 수 없는 입자에 대해 최초 정량화의 언어가 중복되기 때문에 물리적으로 실현 가능한 다체 상태를 기술하기 위한 복잡한 대칭 절차를 포함한다. 첫 번째 정량화 언어에서 다체 상태는 "어느 입자가 어느 상태인가?"와 같은 일련의 질문에 대답함으로써 설명된다. 하지만 이것들은 물리적인 질문이 아니다. 왜냐하면 입자들은 동일하고, 어떤 입자가 어떤 입자인지 애초에 알 수 없기 때문이다. 겉보기에 다른 상태 $\psi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $ψ$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ _${1}\otimes \psi _{2$}}$$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 1 ${\$1}은 실제로$$ 동일한 양자 다체 상태의 중복 이름이다$$. 따라서 첫 번째 정량화 설명에서 이러한 중복성을 제거하기 위해 대칭화(또는 반대칭화)가 도입되어야 한다.

두 번째 정량화 언어에서는 '각 입자가 어떤 상태인가'를 묻는 대신 '각 주마다 몇 개의 입자가 있느냐'고 묻는다. 이 설명은 입자의 라벨링을 지칭하지 않기 때문에 중복된 정보를 포함하지 않으며, 따라서 양자 다체 상태에 대한 정확하고 단순한 설명으로 이어진다. 이 접근법에서 다체 상태는 직업 번호 기준으로 표시되며, 기본 상태는 직업 번호 집합에 의해 라벨이 표시되며, 표시된다.

${\displaystyle [n_{\regnment }]\rangele \equiv n_{1},n_{2},\cdots,n_{\regnment },\cdots \rangle ,}$

α ${\$ ${\displaystyle \alpha }$ 상태 α ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \rangele}($또는 ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$에 $입자$가 ${\displaystyle {있다는}_{}}$ 것을 의미한다. The occupation numbers sum to the total number of particles, i.e. ${\displaystyle \sum _{\alpha }n_{\alpha }=N}$. For fermions, the occupation number ${\displaystyle n_{\alpha }}$ can only be 0 or 1, due to the Pauli exclusion principle; while for bosons it can be any non-negative integer

${\displaystyle n_{\data.}={\displaysty{case}0,1&{\text{fermion,}}\\\0,1,2,3,...&{\text}{dataons.}}}\end{case}}$

점령 번호 상태${\displaystyle }$[${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle [n_{\alpha }}]\rangele }}$도 Fock 상태로 알려져$$ 있다. 모든 Fock 상태는 다체 Hilbert 공간, 즉 Fock 공간의 완전한 기초를 형성한다. 일반적인 양자 다체 상태는 Fock 상태의 선형 결합으로 표현할 수 있다.

Fock 공간은 보다 효율적인 언어를 제공하는 것 외에도 다양한 수의 입자를 허용한다는 점에 유의하십시오. 힐버트 공간으로서, 1차원 영입자 공간 Ⅱ를 포함하여 앞 절에서 설명한 n입자 보소닉 또는 페르미온 텐서 공간의 합계에 이형이다.

The Fock state with all occupation numbers equal to zero is called the vacuum state, denoted ${\displaystyle 0\rangle \equiv \cdots ,0_{\alpha },\cdots \rangle }$. The Fock state with only one non-zero occupation number is a single-mode Fock state, denoted ${$$\displaystyle n_{\alpha }\rangele \equiv \cdots ,0,n_{\alpha },0,\cdots \rangele$ $\}.$ 첫 번째 정량화된 파형 함수의 관점에서 진공 상태는 단위 텐서 제품이며 ${\displaystyle 0\mathrm{}}$ ${\displaystyle ⟩}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0\1}$로 나타낼 수 있다$.$ The single-particle state is reduced to its wave function ${\displaystyle 1_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }}$. Other single-mode many-body (boson) states are just the tensor product of the wave function of that mode, such as ${\displaystyle 2_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }$$\otimes \psi _{\alpha }}$ and ${\displaystyle n_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }^{\otimes n}}$. For multi-mode Fock states (meaning more than one single-particle state ${\displaystyle \alpha \rangle }$ is involved), the corresponding first-quantized wave function will require proper symmetrization according to the particle statistics, e.g. ${\displaystyle 1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$ for a boson state, and ${\displaystyle 1_{1},1_{2}\ra$$ngle =(\$$displaystyle$$\{1}\property_{1}/{\sqrt$${$2}}: 페르미온 상태에 대한 경우$$ 단순성을 위해 ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ 1$$$$$${\$displaystyle$$\$$optimes$$$$} 기호$가${\displaystyle }$생략됨$).$ 일반적으로 정상화는${\displaystyle \sqrt{\frac{\underset{}{}{}_{}}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{{\alpha }_{}}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{!}{}}}$ ${\$인 것으로 확인된다.$\{$$N!}}},$ 여기서 N은 총 입자 수입니다. 페르미온의 경우 이 식은 ${\displaystyle \frac{\sqrt{1N}}{}}$!${\$${\$은(는) 0이거나 1일 수 있다$$. 그래서 Fock 상태에 해당하는 첫 번째 정량파 함수는

${\displaystyle [n_{\alpha }]\rangle _{\rm {B}=\좌측({\frac {\prod _{\alpha }n_{\alpha }!}){N!}}\오른쪽)^{1/2}{{\mathcal{S}\bigotimes \limits _{\alpha }\psi _{\otimes n_{\\alpha }}}}}}}}}$

보손이나

${\displaystyle [n_{\alpha }]\rangele _{\rm {F}={\frac {1}{\sqrt{N!}}}{\mathcal{A}}\빅토타임 \limits _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}}}}}}}}$

페르미온을 위해 페르미온의 경우 $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$= ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n_{\alpha }=0,$1}만 있으므로$$ 위의 텐서 제품은 사실상 모든 점유된 단일 입자 상태에 걸쳐 하나의 제품일 뿐이다.

생성 및 소멸 연산자

생성과 소멸 연산자는 다체계의 입자를 추가하거나 제거하기 위해 도입된다. 이들 연산자는 제2차 계량화 형식주의의 핵심에 놓여 제1차 계량화와 제2차 계량국 사이의 격차를 해소한다. 생성(절제) 연산자를 첫 번째 정량화된 다체파 함수에 적용하면 입자 통계에 따라 대칭 방식으로 파형 함수의 단일 입자 상태가 삽입(삭제)된다. 한편, 2차 수량화 된 Fock 상태는 모두 생성 연산자를 진공 상태에 반복적으로 적용함으로써 건설할 수 있다.

생성 및 소멸 연산자(보손의 경우)는 원래 상승 및 하강 연산자로 양자 고조파 오실레이터의 맥락에서 구성되며, 이는 양자장 이론에서 필드 연산자로 일반화된다.^[4] 그것들은 모든 다체 연산자(다체계의 해밀턴어, 모든 물리적 관측 가능성의 해밀턴어 포함)가 그것들의 관점에서 표현될 수 있다는 점에서 양자 다체 이론의 기본이다.

삽입 및 삭제 작업

입자의 생성과 소멸은 첫 번째 정량화된 파형 함수에서 대칭 또는 반대칭 방식으로 단일 입자 상태를 삽입 및 삭제함으로써 구현된다. Let ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ be a single-particle state, let 1 be the tensor identity (it is the generator of the zero-particle space ℂ and satisfies ${\displaystyle \psi _{\alpha }\equiv 1\otimes \psi _{\alpha }\equiv \psi _{\alpha }\otimes 1}$ in the tensor algebra over the fundamental Hilbert space)와 $\psi {\displaystyle \mathrm{}}$ =${\displaystyle {\alpha {}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}{\alpha {}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\alpha \mathrm{}}_{}}_{}}$ 2 ${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle \psi _{\alpha _{1$}\$1}\otimes \cdots$ }을$($를) 일반적인$$ 텐서 제품 상태로 한다. 삽입 $\otimes {\displaystyle {}_{}}$± ${\$ $}$과(와) 삭제 $\oslash {\displaystyle {}_{}}$± ${\$ \$oslash _${\pm $}$ 연산자는$$ 다음과 같은 재귀 방정식으로 정의된 선형 연산자다.

${\displaystyle \psi _{\alpha }\otimes _{\pm }1=\psi _{\alpha },\quad \psi _{\alpha }\otimes _{\pm }(\psi _{\beta }\otimes \Psi )=\psi _{\alpha }\otimes \psi _{\beta }\otimes \Psi \pm \psi _{\beta }\otimes (\psi _{\alpha }\otimes _{\pm }\Psi );}$

${\displaystyle \psi _{\alpha }\oslash _{\pm }1=0,\quad \psi _{\alpha }\oslash _{\pm }(\psi _{\beta }\otimes \Psi )=\delta _{\alpha \beta }\Psi \pm \psi _{\beta }\otimes (\psi _{\alpha }\oslash _{\pm }\Psi ).}$

여기서 $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$$beta$$$}}}}}은 크론커 델타 기호로$$, $\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle \beta }${\$displaystyle \alpha =},$그 외의 경우에는 0을 부여한다. 삽입 또는 삭제 연산자의$$ 첨자${\displaystyle }$± ${\displaystyle \pm }$은(는) 대칭화(보손의 경우) 또는 대칭화(페르미온의 경우)의 구현 여부를 나타낸다.

보손 생성 및 소멸 연산자

보손 생성(resp. explayment) 연산자는 보통 $b{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$resp. ${\displaystyle {b\alpha }_{}}$ ${\$로 표시된다.$$ The creation operator ${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }}$ adds a boson to the single-particle state ${\displaystyle \alpha \rangle }$, and the annihilation operator ${\displaystyle b_{\alpha }}$ removes a boson from the single-particle state ${\displaystyle \alpha \rangle }$. The c리탈루션 및 섬멸 연산자는 서로에 대한 에르미트식 결합작용이지만, 둘 다 에르미트식 연산자는 아니다(${\displaystyle {b\alpha }_{}}$ α ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}}$α ${\displaystyle {\alpha }_{}^{}}$α α α α { ${\$

정의

보손 생성(분해) 연산자는 선형 연산자로, N-입자 1차 정량 파형 함수 $\psi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \PSI}$에 대한 동작은 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle b_{\alpha }^{\doger }\psi ={\frac {1}{\sqrt{N+1}}\psi _{\alpha }\otimes {+}\psi ,}$

${\displaystyle b_{\alpha }\psi = {1}{\frac {1}{\sqrt{N}}\psi _{\alpha }\oslash _{+}\psi ,}$

where ${\displaystyle \psi _{\alpha }\otimes _{+}}$ inserts the single-particle state ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ in ${\displaystyle N+1}$ possible insertion positions symmetrically, and ${\displaystyle \psi _{\alpha }\oslash _{+}}$ deletes the single-particle state ${\displaystyle {\psi }_{}}$${\displaystyle {}_{}}$$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$의 α ${\$displaystyle $\psi _{\alpha }$ 가능한$$ 삭제 위치가 대칭으로 될 수 있다.

Fock 상태에서의 조치

단일 모드 진공 상태 ${\displaystyle 0{\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$α =${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0_{\alpha }}\rangele =1}$을$($를) $시작$으로 생성 연산자 b ${\displaystyle {\alpha }_{}^{}}$ α$\$ {\$displaystyle$b_{\$alpha$}^{\$dager$}}}}}}}}}}}을(를) 반복적으로$$ 적용하면 찾을 수 있다.

${\displaystyle b_{\message }^{\message }{\message }\reangele =\notimes _{+1=\message }{\message }= 1_{\message }\rangele ,}}$

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger } n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }+1}}}\psi _{\alpha }\otimes _{+}\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}={\sqrt {n_{\alpha }+1}}\psi _{\alpha }^{\otimes (n_{\alpha }+1)}={\sqrt {n_{\alpha }+1}} n_{\alpha }+1\rangle .}$

생성 운영자는 보손 점령 번호를 1씩 올린다. 따라서 모든 점령번호 상태는 보손생성사업자가 진공상태에서 시공할 수 있다.

${\displaystyle n_{\message }\rangele ={\frac {1}{\sqrt{n_{\message }}}}(b_{\message }^{\message }}}}^{n_{\messel }}}}}}}}}}$

반면 전멸 연산자 $b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$은(는) 보손 점령 번호를 1만큼 내린다$$.

${\displaystyle b_{\alpha } n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }}}}\psi _{\alpha }\oslash _{+}\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}={\sqrt {n_{\alpha }}}\psi _{\alpha }^{\otimes (n_{\alpha }-1)}={\sqrt {n_{\alpha }}} n_{\alpha }-1\rangle .}$

또한$$ 진공 상태 $b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle 0{}_{}{\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$α = 0 ${\displaystyle b_{\alpha$}$0_{\alpha }}\rangele =0}$을(를) 압축한다. 위의 공식을 이용하여, 라는 것을 알 수 있다.

${\displaystyle b_{\pair }^{\b_{\pair }n_{\pair }n_{\pair }\rangele =}n_{\pair }n_{\pair }\rangele ,}$

$n{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$= ${\displaystyle {}_{\alpha }^{}}$ α ${\displaystyle {\alpha }_{}}${\$displaystyle${\$hat{n}_{\$n1$}{\pa$ }=$b_{\$pa }^{\$pa }b_${\pa$$}}}}}}}}는 보손 번호 연산자를 정의한다는$$ 뜻이다.

위의 결과는 어떤 Fock 상태에서도 일반화될 수 있다.

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger } \cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle ={\sqrt {n_{\alpha }+1}} \cdots ,n_{\beta },n_{\alpha }+1,n_{\gamma },\cdots \rangle .}$

${\displaystyle b_{\put } \cdots ,n_{\put },n_{\put },\cdots \range ={\sqrt{n_{\put }}} \cdots,n_{\put },{\cdrangregle.}}}$

이 두 방정식은 2차분화 형식주의에서 보손 생성 및 전멸 연산자의 정의 속성으로 간주할 수 있다. 기초적인 1차 정량파 함수의 복잡한 대칭화는 생성 및 소멸 연산자가 자동으로 처리하므로(1차 정량파 함수에 작용하는 경우) 2차 정량화 수준에서 복잡성이 드러나지 않고 2차 정량화 공식이 단순하고 깔끔하다.

운영자 ID

다음 운영자 ID는 Fock 상태에서 보손 생성 및 소멸 운영자의 동작에서 나타난다.

${\displaystyle [b_{\message }^{\b_{\message }^{\b_{\message }}=[b_{\message }}]=[b_{\message }{\message }^{\message }}}}]=\now}}}}}}}}}}$

이러한 감화 관계는 보손 생성 및 소멸 연산자의 대수적 정의로 간주할 수 있다. 입자 교환 하에서 보손 다체파 함수가 대칭이라는 사실 또한 보손 연산자의 정류로 나타난다.

양자 고조파 오실레이터의 상승 및 하강 연산자도 동일한 세트의 정류 관계를 만족시키므로, 보손은 오실레이터의 에너지 퀀타(폰)로 해석될 수 있음을 암시한다. 고조파 오실레이터(또는 고조파 진동 모드 모음)의 위치 및 운동 연산자는 포논 생성 및 소멸 연산자의 에르미트 조합에 의해 주어진다.

${\displaystyle x_{\mathrm {i}=(b_{\mathrm {i})+b_{\b_{\b}/{\sqrt {2}},\b_{\b_{\reason }=(b_}-b_{\reason }^{\sqrt {2}, {i}),}}}}}$

${\displaystyle \mathrm{위치}}$ 연산자와 운동량 연산자 사이의 표준 정류 관계를 재현한다( (${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle \hbar =1$

${\displaystyle [x_{\reason }},p_{\\reason }=\mathrm {i} \reason_{\reason }},\reason [x_{\reason }]=[p_{\reason }]=0.}$

이 사상은 물질 영역의 각 모드를 양자 변동의 대상인 발진기로 간주하는 양자장 이론에서 일반화되어 있으며, 보손은 그 분야의 배설물(또는 에너지 퀀타)으로 취급된다.

페르미온 생성 및 소멸 연산자

페르미온 생성(절취) 연산자는 보통 ${\displaystyle {c\alpha }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$로 표시된다.$$ The creation operator ${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }}$ adds a fermion to the single-particle state ${\displaystyle \alpha \rangle }$, and the annihilation operator ${\displaystyle c_{\alpha }}$ removes a fermion from the single-particle state ${\displaystyle \alpha \rangle }$.

정의

페르미온 생성(절제) 연산자는 선형 연산자로, N-입자 1차 정량파 함수 $\psi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Psi }$에 대한 작용은 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle c_{\alpha }^{\doger }\PSI ={\frac {1}{\sqrt{N+1}}}\psi _{\alpha }\otimes {-}\Psi ,}$

${\displaystyle c_{\alpha }\psi ={\frac {1}{\\sqrt{N}}\psi _{\alpha }\oslash _{-}\psi ,}$

where ${\displaystyle \psi _{\alpha }\otimes _{-}}$ inserts the single-particle state ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ in ${\displaystyle N+1}$ possible insertion positions anti-symmetrically, and ${\displaystyle \psi _{\alpha }\oslash _{-}}$ deletes the single-particle state $$${\displaystyle {}_{}}$$N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$의 ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$ 가능한$$ 삭제 위치 대칭적임.

특히 두 개 이상의 페르미온 상태에 대한 생성 및 소멸 연산자의 결과를 보는 것이 유익하며, 이는 교환의 효과를 입증하기 때문이다. 아래 예에서 몇 가지 예시를 제시한다. 2-페르미온 상태의 생성 및 소멸 연산자에 대한 완전한 대수학은 양자 광학에서 찾을 수 있다.

Fock 상태에서의 조치

단일 모드 진공 상태 ${\displaystyle 0{\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$α =${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0_{\alpha }}\rangele =1}$부터 시작하여$$페르미온 생성 연산자 ${\displaystyle {c\alpha }_{}^{}}$ α α α ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ $\}\}\},$

${\displaystyle c_{\message }^{\buff}{\buff}\rangele =\notimes _{\nothes _{-}1=\notimes _{\buffer }= 1_{\buffer }$

${\displaystyle c_{\filename }^{\buffer }{\buffer }\rangele ={\frac {1}{\sqrt{2}}}\buffer _{\notimes _{-}\reason _{\bufferfla }=0.}$

단일 입자 상태 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \alpha \rangele}$이(가) 비어 있으면 생성 연산자가 페르미온으로 상태를 채운다. 그러나 국가가 이미 페르미온에 점령되어 있는 경우에는 창조 사업자의 추가 적용으로 두 개의 동일한 페르미온이 동시에 같은 주를 점유할 수 없다는 Pauli 배제 원칙을 증명하여 국가를 수축시킬 것이다. 그럼에도 불구하고 페르미온은 페르미온 소멸 연산자 ${\displaystyle {c\alpha }_{}}$ ${\$에 의해 점유 상태에서 제거할 수 있다$.$

${\displaystyle c_{\property }\rangele =\properties _{\put }\oslash _{\put _{\put }=0_{\put }\rangele ,}}$

${\displaystyle c_{\put }0_{\put }\rangele =0.}$

진공 상태는 전멸 연산자의 작용에 의해 가라앉는다.

보손 케이스와 유사하게 페르미온 포크 상태는 페르미온 생성 연산자를 사용하여 진공 상태에서 생성될 수 있다.

${\displaystyle n_{\message }\rangele =(c_{\message }^{\message }}^{n_{\message }}}}}) 0_{\message }\rangele .}$

는 것을 쉽게 (열어서) 확인할 수 있다.

${\displaystyle c_{\property }^{\c_{\pair }n_{\pair }\rangele =n_{\pair }n_{\pair }\rangele ,}}$

$n{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}^{}}$ α ${\displaystyle {}_{}^{}{\alpha }_{}}$ ${\$이(가) 페르미온 번호 연산자를 정의한다는$$ 뜻이다.

위의 결과는 어떤 Fock 상태 페르미온으로 일반화될 수 있다.

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger } \cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle =(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}{\sqrt {1-n_{\alpha }}} \cdots ,n_{\beta },1-n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle .}$

${\displaystyle c_{\alpha } \cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle =(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}{\sqrt {n_{\alpha }}} \cdots ,n_{\beta },1-n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle .}$

직업 번호 $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$은(는) 페르미온의 경우 0 또는 1만 사용할 수 있다는$$ 점을 상기하십시오. 이 두 방정식은 제2차 정량화 형식주의에서 페르미온 생성 및 소멸 연산자의 정의 속성으로 간주할 수 있다. 는 페르미온 표시 구조∑ β<>α nβ{\displaystyle())^{\sum_{\beta<>\alpha}n_{\beta}}(− 1)}, 또한 Jordan-Wigner 문자열로 알려져 있습니다 그 단일 입자 상태(회전 구조)[해명 필요한]의 미리 정의된 순서가 존재하고 있을 것이고 그fermion게 직업을 계산하는 것을 요구한다 n.모든 것의 Umbers. 상태; 따라서 페르미온 생성 및 소멸 연산자는 어떤 의미에서는 국소적이지 않은 것으로 간주된다. 이러한 관찰은 페르미온들이 장기간의 얽힌 국부 쿼비트 시스템에서 비상한 입자라는 생각을 하게 한다.^[6]

운영자 ID

다음 운영자 ID는 Fock 상태의 페르미온 생성 및 소멸 운영자의 동작에서 나타난다.

${\displaystyle \{c_{\property }^{\c_{\property }^{\pair }\}=\c_{\pair }0,\pair \c_{\pair \c_{\paffair }^{\}={\paffaffaffaffaffair }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

이러한 반 커밋 관계는 페르미온 생성 및 소멸 연산자의 대수적 정의로 간주할 수 있다. 페르미온 다체파 함수가 입자 교환 하에서 반대칭이라는 사실 또한 페르미온 연산자의 반 커밋에 의해 발현된다.

생성 및 소멸 연산자는 서로에 대한 에르미트식 결합체지만, 둘 다 에르미트식 연산자(${\displaystyle {c\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}}$α α ${\displaystyle {\alpha }_{}^{}}$ α α${\displaystyle {}_{}^{}}$α α α { ${\$는 아니다.$$ 페르미온 생성과 전멸 연산자의 은둔자 조합

${\displaystyle \chi _{\alpha ,{\text{Re}}}=(c_{\alpha }+c_{\alpha }^{\dagger })/{\sqrt {2}},\quad \chi _{\alpha ,{\text{Im}}}=(c_{\alpha }-c_{\alpha }^{\dagger })/({\sqrt {2}}\mathrm {i} ),}$

Majorana Fermion 연산자로 불린다. 그것들은 "페르미온" 고조파 발진기의 위치 및 운동량 연산자의 페르미온 아날로그로 볼 수 있다. 그들은 반공 관계를 만족시킨다.

${\displaystyle \{\chi _{i},\chi _{j}\}=\display_{ij}}}$

여기서 $i{\displaystyle }$, ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i,j}$은(복잡한 페르미온 연산자의 Re 또는 Im 조합에서 유래된 것과 관계없이) 동일한 기준으로 모든 Majorana 페르미온 연산자에 라벨을$$ 부착한다($$$c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$ 반공관계는 Majorana Fermion 연산자들이 클리포드 대수학(Clifford 대수학)을 생성한다는 것을 나타내며, 이는 다체 힐버트 공간에서 체계적으로 Pauli 연산자로 표현될 수 있다.

양자장 연산자

Defining ${\displaystyle a_{\nu }^{\dagger }}$ as a general annihilation(creation) operator for a single-particle state ${\displaystyle \nu }$ that could be either fermionic ${\displaystyle (c_{\nu }^{\dagger })}$ or bosonic ${\displaystyle (b_{\nu }^{\dagger })}$, the real space 연산자의 표현은 양자장 연산자 $\psi {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle r\mathbf{}}$) ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r})$와 $\psi {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle r\mathbf{}}$) ${\displaystyle \psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )$를 기준으로$$ 정의한다.

${\displaystyle \Psi(\mathbf {r} )=\sum _{\nu }\psi _{\nu }\{\mathbf {r}\ref(\mathbf {r}\right)a_{\nu }}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \PSI ^{\daughter }(\mathbf {r} )=\sum {\nu }\psi _{\nu ^{*}}\lft(\mathbf {r}\right)a_{\nu{}^{\da}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

이들은 계수가 ${\displaystyle \psi \mathbf{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$r$){\$이고 $\psi {\displaystyle {}_{}^{\nu }}$($){\${r} \$rig)$인 두 번째 정량 연산자다. 따라서 예를 들어, 모든 기대값은 일반적인 첫 번째 양자화 파동 기능이 될 것이다. Loosely speaking, ${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )}$ is the sum of all possible ways to add a particle to the system at position r through any of the basis states ${\displaystyle \psi _{\nu }\left(\mathbf {r} \right)}$, not necessarily plane waves, as below.

$\psi {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle r\mathbf{}}$) ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r})}$과 $\psi {\displaystyle {\mathrm{}}^{}{(}^{}}$ ${\displaystyle r\mathbf{}}$) ${\displaystyle \Psi^{\dager }}(\mathbf {r}$)은 우주의$$ 모든 지점에 정의된 두 번째 정량 연산자이므로 이들을 양자장 연산자라고 부른다. 그들은 다음과 같은 기본적인 통신사와 반 통신자 관계에 복종한다.

${\displaystyle \left[\Psi (\mathbf {r} _{1}),\Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} _{2})\right]=\delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}$ boson fields,

${\displaystyle \{\Psi (\mathbf {r} _{1}),\Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} _{2})\}=\delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}$ fermion fields.

동종 시스템의 경우 실제 공간과 모멘텀 표현 사이에서 변환하는 것이 바람직하므로 푸리에 기반한 양자장 연산자는 다음과 같은 결과를 산출한다.

${\displaystyle \Psi(\mathbf {r} )={1 \over {\sqrt {V}\sum _{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k}{k\cdot r}}} }a_{\mathbf {k}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \psi^{\daughter }(\mathbf {r})={1 \over {\sqrt {V}\sum _{\mathbf {k}e^{-i\mathbf {k}a_{\mathbf {k}{}^{}}}}}}}}}}}}{\dagger}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

명명법에 대한 주석

요르단이 도입한 '제2의 양자화'라는 용어는 역사적 이유로 지속되어 온 오성분이다.^[7] 양자장 이론의 기원에 있어서, 디락 방정식은 (스칼라장처럼) 정량화했을 때 페르미온 양자장(vs. 보손 양자장)을 산출하는 고전적인 스피너장이 아닌 상대론적 파동함수(구식 "디락 바다" 해석)를 기술했다고는 생각되지 않았다.

하나는 "다시"라는 용어가 암시하듯이 "다시"를 정량화하는 것이 아니다; 정량화하고 있는 장은 입자를 정량화한 결과로 생성된 슈뢰딩거 파동 함수가 아니라, 기본적으로 이전에 없었던 고전적 장(전자파장 또는 디락 스피너장 등)이며, 결합 오실레이터의 조립체다. 계량화된 하나는 이 어셈블리의 각 오실레이터를 정량화하여 시스템의 반전파 처리에서 완전한 양자기계 처리로 전환하는 것이다.

참고 항목

• 정량화
• 첫 양자화
• 기하 정량화
• 수량화(물리학)
• 슈뢰딩거 기능
• 스칼라장 이론

참조

추가 읽기

• 2차 정량화 카를로 마리아 베치, 스콜라페디아, 5:7902. 도이:10.4249/scholarpedia.7902

외부 링크

위키 다양성에 대한 두 번째 수량화

• E. 파바리니, E. 코흐, U. 슐워크의 많은 전자 주: 상관관계 물질에서의 긴급 현상, 줄리히 2013, ISBN 978-3-89336-884-6