통합의 분할

수학에서 위상학적 공간 X의 통합 파티션은 X에서 단위 간격[0,1]까지 연속적인 함수의 R을 설정하여 모든 점에 $x\in X$ $x\in X$ $x\in X$ X ${\displaystyle$ x $\in X$

r의 함수의 유한한 수를 제외한 모든 것이 0인 x의 인접성이 있다.
x에서 모든 함수 값의 합은 1이다. 즉, ${\textstyle \sum _{\rho \in R}\rho (x)=1}$ ${\textstyle \sum _{\rho \in R}\rho (x)=1}$ ${\textstyle \sum _{\rho \in R}\rho (x)=1}$ ${\textstyle \sum _{\rho \in R}\rho (x)=1}$ ( ${\textstyle \sum _{\rho \in R}\rho (x)=1}$ ) ${\textstyle \sum _{\rho \in R}\rho (x)=1}$ = ${\textstyle \sum _{\rho \in R}\rho (x)=1}$ 1 {\ $textstyle \sum \{\rho$ \in R}\ $rho$ ( $x)=$ 1 ${\textstyle \sum _{\rho \in R}\rho (x)=1}$

네 가지 기능을 가진 원의 통합 분할. 원은 그래프를 그리기 위해 선 세그먼트(하단 실선)에 굴려져 있다. 위쪽의 점선은 파티션의 함수의 합이다.

통합의 칸막이는 종종 지역 건축물을 전체 공간으로 확장할 수 있게 해주기 때문에 유용하다. 그것들은 또한 데이터의 보간, 신호 처리, 스플라인 함수 이론에서도 중요하다.

존재

통합의 파티션의 존재는 두 가지 뚜렷한 형태를 가정한다.

공간의 오픈 커버 {U_i}_i∈I이(가) 있는 경우, 동일한 세트 I에 대해 인덱스된 파티션 {}}_i∈I이(가_i) 존재하여_i ⊆uU를_i 확장한다. 이러한 파티션은 오픈 커버 {U_i}_i에 종속된다고 한다.
공간이 로컬에서 컴팩트한 경우, 공간의 오픈 커버 {U_i}_i∈I이(가) 주어진 경우, 각각의 ρ가_j 콤팩트하게 지원되고 일부 i∈I의 경우 각 j∈J, suppend_j ⊆U를_i 지원하도록 구별되는 인덱스 세트 J에 대해 색인화된 파티션 {ρ_j}_j∈J이(가) 존재한다.

따라서 오픈 커버에 의해 지지대를 인덱싱하거나 컴팩트 지지대를 선택한다. 공간이 좁으면 두 요구 사항을 모두 충족하는 파티션이 존재한다.

유한 오픈 커버는 공간이 국소적으로 좁고 하우스도르프인 경우 항상 그에 종속된 연속적인 통합 분할을 가진다.^[1] 공간의 파라콤팩트성은 어떤 열린 커버에 종속된 통합의 칸막이의 존재를 보증하기 위해 필요한 조건이다. 공간이 속하는 범주에 따라 충분한 조건도 될 수 있다.^[2] 이 구조는 연속적이고 매끄러운 다지관에는 존재하지만 분석 다지관에는 존재하지 않는 몰링어(범프 기능)를 사용한다. 따라서 분석 다지관의 개방형 커버의 경우, 그 개방형 커버에 종속되는 통합의 분석적 파티션은 일반적으로 존재하지 않는다. 분석적 연속성을 참조하십시오.

If R and T are partitions of unity for spaces X and Y, respectively, then the set of all pairs $\{\rho \otimes \tau :\ \rho \in R,\ \tau \in T\}$ is a partition of unity for the cartesian product space X×Y. 함수의 텐서 제품은 ( $(\rho \otimes \tau )(x,y)=\rho (x)\tau (y)$ $(\rho \otimes \tau )(x,y)=\rho (x)\tau (y)$ ) $(\rho \otimes \tau )(x,y)=\rho (x)\tau (y)$ ( $(\rho \otimes \tau )(x,y)=\rho (x)\tau (y)$ , $(\rho \otimes \tau )(x,y)=\rho (x)\tau (y)$ ) = $(\rho \otimes \tau )(x,y)=\rho (x)\tau (y)$ ( x ) $(\rho \otimes \tau )(x,y)=\rho (x)\tau (y)$ ( ) $(\rho \otimes \tau )(x,y)=\rho (x)\tau (y)$ { ( y ) $(\rho \otimes \tau )(x,y)=\rho (x)\tau (y)$ { ( ) ${\rho \otimes \tau )(x,y)=\rho (x)\tau (y)}$ 로 작용한다 $(\rho \otimes \tau )(x,y)=\rho (x)\tau (y)$

예

We can construct a partition of unity on $S^{1}$ by looking at a chart on the complement of a point $p\in S^{1}$ sending $S^{1}-\{p\}$ to $\mathbb {R}$ with center $q\in S^{1}$ . Now, let $\Phi$ $\Phi$ 은(는) 다음에 의해 정의된 $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ ${\$ 의 범프 함수임 $\Phi$

\Phi(x)={\begin{case}\ex \left({1}{x^{2}-1}\right)&x\in(-1,1)\0&{\texture}\end{case}}}}

then, both this function and

1-\Phi

can be extended uniquely onto

S^{1}

by setting

\Phi (p)=0

. Then, the set

\{(S^{1}-\{p\},\Phi ),(S^{1}-\{q\},1-\Phi )\}

forms a parti

S^{1}

S^{1}

{\

에 대한 통합의 티온

S^{1}

변형 정의

때로는 덜 제한적인 정의를 사용한다: 특정 지점에서 모든 함수 값의 합은 공간의 각 점에 대해 1이 아니라 양수여야 한다. However, given such a set of functions $\{\psi _{i}\}_{i=1}^{\infty }$ one can obtain a partition of unity in the strict sense by dividing by the sum; the partition becomes $\{\sigma ^{-1}\psi _{i}\}_{i=1}^{\infty }$ where ${\textstyle \sigma (x):=\sum _{i=1}^{\infty }\psi _{i}(x)}$ ${\textstyle \sigma (x):$ $=\sum _{i=1}^{\infully }\inful _{i}(x$ 이것은 각 지점에서 한정된 수의 항만 0이 아니기 때문에 잘 정의된다. 더욱이 일부 저자들은 지원이 국부적으로 한정되어야 한다는 요건을 떨어뜨려 모든 x ${\displaystyle x$ ^[3]에 대해 ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\psi _{i}(x)<\infty }$ i ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\psi _{i}(x)<\infty }$ = ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\psi _{i}(x)<\infty }$ ∞ \ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\psi _{i}(x)<\infty }$ ( ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\psi _{i}(x)<\infty }$ ) ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\psi _{i}(x)<\infty }$ < ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\psi _{i}(x)<\infty }$ ${\textstyle \sum \{i=1}^{\infty }\psi _{i}(x)만$ 요구하기도 한다.

적용들

통합의 파티션은 다지관을 통해 정의된 기능의 통합(볼륨 형태에 대한)을 정의하기 위해 사용할 수 있다. 하나는 먼저 다지관의 단일 좌표 패치에 지지대가 포함되는 함수의 적분을 정의하고, 그 다음에는 통합의 분할을 사용하여 임의 함수의 적분을 정의하며, 마지막으로 정의가 선택된 통합의 분할과 독립적이라는 것을 보여준다.

통일의 칸막이는 임의의 다지관에 리만 메트릭스의 존재를 보여주는 데 사용될 수 있다.

가장 가파른 내리막 방법은 통합의 점근법을 구성하기 위해 통합의 구획을 사용한다.

Linkwitz-Riley 필터는 입력 신호를 고주파 또는 저주파 구성 요소만 포함하는 두 개의 출력 신호로 분리하기 위한 단일성의 파티션의 실제 구현 사례다.

고정도 m의 번스타인 다항식은 m+1 선형 독립 다항식의 계열로서, 단위 간격 $, 1$ ]에 대한 통일성의 분할이다 $[0,1]$

단일성의 파티션은 경계된 도메인에서 소볼레프 함수에 대한 글로벌 매끄러운 근사치를 설정하기 위해 사용된다.^[4]

참고 항목

참조

^ Rudin, Walter (1987). Real and complex analysis (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. p. 40. ISBN 978-0-07-054234-1.
^ Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2007). Infinite dimensional analysis: a hitchhiker's guide (3rd ed.). Berlin: Springer. p. 716. ISBN 978-3-540-32696-0.
^ Strichartz, Robert S. (2003). A guide to distribution theory and Fourier transforms. Singapore: World Scientific Pub. Co. ISBN 981-238-421-9. OCLC 54446554.
^ Evans, Lawrence (2010-03-02), "Sobolev spaces", Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, vol. 19, American Mathematical Society, pp. 253–309, doi:10.1090/gsm/019/05, ISBN 9780821849743

Tu, Loring W. (2011), An introduction to manifolds, Universitext (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4419-7400-6, ISBN 978-1-4419-7399-3, 13장 참조

외부 링크

[Mathworld]에서 통합 분할에 대한 일반 정보
[Planet Math]에서 통합 분할 적용

[1] Rudin, Walter (1987). Real and complex analysis (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. p. 40. ISBN 978-0-07-054234-1.

[2] Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2007). Infinite dimensional analysis: a hitchhiker's guide (3rd ed.). Berlin: Springer. p. 716. ISBN 978-3-540-32696-0.

[3] Strichartz, Robert S. (2003). A guide to distribution theory and Fourier transforms. Singapore: World Scientific Pub. Co. ISBN 981-238-421-9. OCLC 54446554.

[4] Evans, Lawrence (2010-03-02), "Sobolev spaces", Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, vol. 19, American Mathematical Society, pp. 253–309, doi:10.1090/gsm/019/05, ISBN 9780821849743

[1]

[2]

[3]

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