평면 테너리 링

$수학$에서는 비빈 집합 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$과(와) 3${\displaystyle {}^{}}$→ $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle \{\backslash {displaystyle\mathrm{}}^{}}$ R}로 구성된$$ 대수 구조$({\displaystyle R,}$ ${\displaystyle T}$) ${\displaystyle$($R,T)}$을(를) 테너리 시스템이라고$$할 수$있다$.평면 테너리 링(PTR) 또는 테너리 필드는 마샬 홀이^[1] 좌표를 이용하여 투사 평면을 구성하기 위해 사용하는 특별한 형태의 테너리 시스템이다.평면 테너리 링은 전통적인 의미에서 링이 아니지만, 어떤 분야든 평면 테너리 링을 제공하며, $여기$서 T ${\displaystyle$ ${\displaystyle T}$$}$은(${\displaystyle }$a${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b,}$ c${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle b}$+ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle T(a,b,c)=ab+c}$로 정의된다$.$따라서 평면형 3차 링은 3차 연산이 덧셈과 곱셈을 모두 대신하는 필드의 일반화라고 생각할 수 있다.사실상, 컴퓨터 아키텍처에서, 이 3차 연산은 예를 들어, 다중 계산 연산(MAC)으로 알려져 있다.

용어에는 큰 차이가 있다.여기서 정의한 평면 테너리 고리 또는 3기 필드는 문헌에서 다른 이름으로 불려 왔으며, "평면 테너리 고리"라는 용어는 여기서 정의한 시스템의 변형을 의미할 수 있다."단말 고리"라는 용어는 흔히 평면단말 고리를 의미하지만, 단순히 단말단계를 의미하기도 한다.

정의

평면형 테너리 링은 구조${\displaystyle (R}$ ,${\displaystyle T}$ ) ${\displaystyle(R,T)}$이며, $여기$서 R ${\displaystyle$R}은$$ 0과 1이라고 하는 두 가지 이상의 구별되는 요소를 포함하는 $집합$이며,${\displaystyle }$T : ${\displaystyle {R\mathrm{}}^{}}$3 → ${\displaystyle R}$ : $[\$ R$\}}\$에 대한 매핑은 다음과$$ 같은 5개의 공리를 만족하는 것이다.

1. ${\displaystyle T}$( ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle 0}$, b${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle T}$( 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathrm{a}}$, ${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$= b${\displaystyle }$, b ${\displaystyle \forall \mathrm{}}$ ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle$T$(a,0,b)=T (0,a,b)=b,\quad$\ $forall a,b\in R$
2. ${\displaystyle \mathrm{T}}$( 1,${\displaystyle a}$, 0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle T}$( a${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= a ,${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle$ T $(1,a,0)=T(a,1,0)=a,\quad \forall a\in$ R$\};$
3. ${\displaystyle \forall a,b,c,d\in R,a\neq c}$, there is a unique ${\displaystyle x\in R}$ such that : ${\displaystyle T(x,a,b)=T(x,c,d)\,}$;
4. ${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle a}$, b${\displaystyle }$, ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle$\$forall$ a$,b,c\$${\displaystyle \mathrm{in}}$$$R$\},$ $T{\displaystyle }$(,${\displaystyle b}$, x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= c ${\$ T$(a,b,x)=c$ and 같은 ${\displaystyle \mathrm{고유}}$한 x ${\displaystyle \in }$ R ${\}$이 있다.
5. ${\displaystyle \forall a,b,c,d\in R,a\neq c}$, the equations ${\displaystyle T(a,x,y)=b,T(c,x,y)=d\,}$ have a unique solution ${\displaystyle (x,y)\in R^{2}}$.

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이(가) 유한할 때, 세 번째 공리와 다섯 번째 공리는 네 번째 공리가 있을 때 등가한다.^[2]

$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$이(가) 처음 두 공리를 여전히$$ 만족하도록 R ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ R$^{2}}$의 다른 쌍(0', 1')을 찾을 수 없다$$.

이진 연산

덧셈

${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle b}$= ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (,}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle b}$) ${\displaystyle a\oplus b=T(a,1,b)}$을 정의하십시오$.$^[3] 구조$({\displaystyle R,}$ ${\displaystyle \oplus }$ )${\displaystyle(R,\oplus )}$은 ID 요소가 0인 루프입니다.

곱하기

${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle b}$= ${\displaystyle T}$( ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle \mathrm{b},}$ 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle a\otimes b=T(a,b,0)}$을(를) 정의하십시오$.$세트 $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \setminus }${ ${\displaystyle 0\}}$ ${\$은(는) 이 곱셈에서 닫힌다.구조$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle \otimes }$) ${\displaystyle (R_{0},\otimes )}$도 루프인데$$, ID 요소는 1이다.

선형 PTR

A planar ternary ring ${\displaystyle (R,T)}$ is said to be linear if ${\displaystyle T(a,b,c)=(a\otimes b)\oplus c,\quad \forall a,b,c\in R}$. For example, the planar ternary ring associated to a quasifield is (by construction) linear.^{[citation needed]}

투영 평면과의 연결

평면 테너리 링$({\displaystyle R}$, ${\displaystyle T}$) ${\디스플레이$ 스타일$(R,T)}$을$($를) 지정하면 다음과 같이 P 지점 세트와 L 라인 세트 L로 투사 평면을 구성할 수 있다(^[4][5]참고: $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\디스플레이$ 스타일 $\infit }$은(는) $R{\displaystyle }$ ${\displaysty R}$에 없는 추가 기호임).$$

내버려두다

• ${\displaystyle P}$=${\displaystyle }${${\displaystyle }$( ${\displaystyle a}$ ,${\displaystyle b}$) a${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \cup }$ { ${\displaystyle \mathrm{\in }}$ {${\displaystyle }${${\displaystyle }${ { { { ${\displaystyle \{}${ { {$$} {\$displaysty$ P$=\{(a,b) a,b\in R\}\cup$\cup $\{\in$ R\}\$cup$\cup $\},$ 그리고$$\cup \cup \}, ,, ,, and, and, and, and, and, and, and, and, and, and, and, and.
• ${\displaystyle L}$=${\displaystyle }${${\displaystyle a,}$ b ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \cup \cup }$ { ${\displaystyle \{}$ { { { ${\displaystyle \{\mathrm{}\{}$ {\$displaystyle$ L$=\[a,$b]$a,b\in$ R\}\$cup \{\in a\}\cup$ \{\$in \cup \cup$ $\backslash \}\}\}\}\}.$

그런 다음,${\displaystyle \mathrm{}a}$ a${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \in }$ R ${\displaystyle \all a,b,c,d\in R$ 발생 관계 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$을 다음과$$ 같이 정의하십시오.

$I\Long 왼쪽 화살표 T(a,c,d)=b}의 표시 스타일(a,b), [c,d]\in I\Long 왼쪽 오른쪽 화살표 T(a,c,d)=b}$

${\displaystyle ((a,b),[c]\in I\Long 왼쪽 오른쪽 화살표 a=c}$

$(a,b),[\cHB]\notin I}$

$I\Long 왼쪽 오른쪽 화살표 a=c}에서 [c,d]\\d$

${\displaystyle(a),[c]\notin I}$

$(a),[\큰 ]\in I}$

$(\displaystyle)(\pretty ),[c,d]]\notin I}$

$(\displaystyle)([\pretty ]), [a]\in I}$

$(\displaystyle)([\flotty ]), [\flotty ]\in I}$

모든 투영 평면은 적절한 평면 테너리 링에서 시작하여 이러한 방식으로 구성될 수 있다.그러나 두 개의 비이형 평면 링은 이형 투영 평면을 건설할 수 있다.

반대로, 투영 평면 π을 동일한 선에 세 개도 없는 o, e, u, v를 선택함으로써 π에 좌표를 도입할 수 있으므로, 이러한 특수 지점은 o = (0,0), e = (1,1), v = ($$, {\$displaystyle \infty$ $\}),$ u = (0) 등의 좌표를 부여할 수 있다.^[6]이제 점(x,y)이 (0,b)와 결합하는 선에 있는 경우에만 좌표 기호$({\displaystyle \mathrm{}}$ ( ${\displaystyle \infort$ $\}$ 제외)에서 정의된다(y = t(x,a,b)투영 평면을 정의하는 공리는 이것이 평면적인 3차 고리를 제공한다는 것을 보여주기 위해 사용된다.

PTR의 선형성은 연관된 투영 평면에 있는 기하학적 조건과 동일하다.^[7]

관련 대수 구조

추가적인 대수적 조건을 만족하는 PTR에는 다른 이름이 주어진다.이 이름들은 문헌에 일률적으로 적용되지 않는다.뎀보스키(1968, 페이지 129).

가법 루프가 연관성이 있는 선형 PTR을 데카르트 그룹이라고 한다.데카르트 그룹에서 매핑

${\displaystyle x}$⟶${\displaystyle }$- ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle a}$ +${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x\longrightarrow -x\otimes a+x\otimes b$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⟶}$ ${\displaystyle x}$ -${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \otimes }$ x$$ ${\displaystyle x}$ ⊗ x ⊗ x { x\$displaystysty x\b\otimes$ x$}$

${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\neq$ b$}$이(가) 있을 때마다 순열이어야 한다$.$ 데카르트 그룹이 추가되는 그룹이기 때문에, 우리는 가법 연산을 위해 간단한 "+"를 사용하는 것으로 되돌린다.

${\displaystyle \mathrm{퀘이필드}}$는 올바른 분배 법칙을 만족하는 데카르트 그룹이다: (${\displaystyle x}$+ y${\displaystyle }$) ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle z}$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle z}$+ y ${\displaystyle \otimes }$ z ${\displaystyle (x+y)\otimes z=x\otimes z+y\otimes z$ 어떤 퀘이필드에 더하는 것은 유사하다.

세미필드는 $또한{\displaystyle }$ x ${\displaystyle \otimes }$(${\displaystyle y}$+ z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= x ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle y}$+ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle z.}$ ${\displaystyle x\otimes (y+z)=x\otimes y+x\otimes z.$$}$

평면 근거리장(planar nearfield)은 승법 루프가 연관성이 있는 퀘이필드(따라서 그룹)이다.모든 근거리 들판이 평평한 근거리 들판은 아니다.

메모들

참조

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• Artzy, Rafael (2008) [1965], "Chapter 4 Axiomatic Plane Geometry", Linear Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-46627-9
• Benz, Walter; Ghalieh, Khuloud (1998), "Groupoids associated with the ternary ring of a projective plane", Journal of Geometry, 61 (1–2): 17–31, doi:10.1007/bf01237490, S2CID 123135402
• Dembowski, Peter (1968), Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275
• Grari, A. (2004), "A necessary and sufficient condition so that two planar ternary rings induce isomorphic projective planes", Arch. Math. (Basel), 83 (2): 183–192, doi:10.1007/s00013-003-4580-9, S2CID 122203312
• Hall, Jr., Marshall (1943), "Projective planes", Transactions of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 54 (2): 229–277, doi:10.2307/1990331, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990331, MR 0008892
• Hall, Jr., Marshall (1959), The Theory of Groups, New York: The MacMillan Company, MR 0103215
• Hughes, D.R. (1955), "Additive and multiplicative loops of planar ternary rings", Proceedings of the American Mathematical Society, 6 (6): 973–980, doi:10.1090/s0002-9939-1955-0073568-8, MR 0073568
• Hughes, Daniel R.; Piper, Fred C. (1973), Projective Planes, Graduate Texts in Mathematics (6), New York: Springer-Verlag, ISBN 0387900446, MR 0333959
• Martin, G.E. (1967), "Projective planes and isotopic ternary rings", The American Mathematical Monthly, 74 (10): 1185–1195, doi:10.2307/2315659, hdl:10338.dmlcz/101204, JSTOR 2315659, MR 0223972
• Pickert, Günter (1975), Projektive Ebenen, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3540072802
• Stevenson, Frederick (1972), Projective Planes, San Francisco: W.H. Freeman and Company, ISBN 071670443-9