포아송 유형 랜덤 측도

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포아송 유형 랜덤 측정치는 부분 공간(예: 솎아내기)에 제한하여 닫힌 세 개의 랜덤 계수 측정치 제품군입니다.이 분포는 표준 비음수 멱급수 분포 제품군에서 유일하게 이 속성을 가지며 포아송 분포, 음이항 분포 및 이항 ^[1]분포를 포함합니다.PT 계열 분포는 Katz 계열 분포,^[2] Panjer 또는 (a,b,0) 등급 분포로도^[3] 알려져 있으며 Conway-Maxwell-Poisson ^[4]분포를 통해 검색할 수 있습니다.

돌을 던지다

K{K\displaystyle}가 되non-negative고 정수 값 확률 변수 KN≥ 0∈)N>0∪{0}{\displaystyle K\in \mathbb{N}_{\geq 0}=\mathbb{N}_{>0}\cup \{0\}})법 κ{\displaystyle \kappa}과, c∈(0, ∞){\displaystyle c\in(0,\infty)}과 그것이 존재할 때 분산 δ 말 2&자.gt;0{\displaystyle \delta ^{2}>0}. 가까운 공간(E, E){\displaystyle(E,{\mathcal{E}})}에 ν{\displaystyle \nu} 확률적인 조치이다. X){X나는}{\displaystyle \mathbf{X}=\{X_{나는}\자}}(E, E){\displaystyle(E,에 가치(돌)확률 변수 iid의 컬렉션자.{\m$athcal {E}}$에는 $법률{\displaystyle }$ $"\displaystyle\nu$ 가 있습니다.

(${\displaystyle E,}$ $)$에${\displaystyle }$대한 무작위 계수 $척도{\displaystyle }$N({$displaystyle$ N$$$})$${displaystyle(E,$ {\mathcal {E}})은 돌 던지기 구조($STC)$를 통한 결정론적 확률${\displaystyle }$척도 쌍( $))$에 따라 $달라집니다$.

$\displaystyle \displaystyle N_{\obe }(A)=N(\obe,A)=\sum _{i=1}^{K(\obe)}\mathbb {I}_{A}(X_{i}(\obe)\displaystyle \ope \mega \in \Omega, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,$

$여기$서$$K(\$displaystyle$ K$)$에는 $법칙$이 $있습니다.\$$displaystyle$ $\kappa$i$$ $iiid{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$1,$X$、 \ $dotsb }$에는 $법칙$이 있습니다$.$$(\displaystyle$ $\nu$은 혼합$$ 이항^[6] 프로세스입니다$.$

$E{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$+ $=$ {${\displaystyle f}$ : ${\displaystyle E{}_{}}$R + $}$ { $displaystyle${\$mathcal {E}}_${+}=\{$f:$E$\mapsto \mathbb {R} _{+}\}$은(는) $양$의$$E {\$displaystyle \mathcal {E}}$ 측정 가능한$$ 함수의 집합입니다.N$(\style$ N$)$의 확률 법칙은 Laplace 함수에 인코딩되어 있습니다.

$(\displaystyle \mathbb {E} e^{-Nf}=\mathbb {E} (\mathbb {E} e^{-f(X)})^{K}=\psi(\nu e^{-f}\mathbb {E})\cal {\cal}\cal {E} )$

$여기$서 ${\displaystyle (}$ ($$ ) { $displaystyle \psi$( \ $cdot )$는$$K { $displaystyle$ K$\}$의 생성 함수입니다.평균과 분산은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \mathbb {E} Nf=c\nu f}$

그리고.

$\displaystyle \mathbb {V}{text{ar}Nf=c\nu f^{2}+(\display ^{2}-c)(\nu f)^{2}}$

$임의$의 f${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle †{}_{}}$+ {\$displaystyle$ f$,g\in${\$mathcal {E}}_{+}$의 공분산은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \mathbb {C} {text{ov}}(Nf,Ng)=c\nu(fg)+(\display ^{2}-c)\nu f\nu g}$

$(\displaystyle$ K$)$가 포아송, 음이항 또는 이항이면 포아송 유형(PT)이라고 합니다.$컬렉션{\displaystyle }$ N${\displaystyle (A),}$ ${\displaystyle \dots ,}$ $)$ {$displaystyle$ N$(A),$ \$ldots, N(B)}$의 $공동{\displaystyle }$ 분포는 i${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle †}$(\$displaystyle$ i$,\ldots), j\in$ \$mathbb {N}$ $및{\displaystyle }$ i +$= kdisplay style icdots$ +$kcdots$

$\displaystyle \mathbb {P}(N(A)=i,\ldots,N(B)=j)=\mathbb {P}(N(A)=i,\ldots,N(B)=j K=k),\mathbb {P}(K=k)=frac {k!{i!\cdots j!}},\nu (A)^{i}\cdots \nu (B)^{j},\mathbb {P} (K=k)}$

다음 결과는 랜덤 $측도{\displaystyle }$ N ${\displaystyle =}$ (${\displaystyle \kappa }$ ,${\displaystyle \nu }$) ( \ $displaystyle$ N = ( \ $kappa$, \ $nu$) )의 구성을 ${\displaystyle X\mathbf{}}$$$( \ $displaystyle$\ $mathbf { X$ , ${\displaystyle Y_{}}$$}$ ) ${\displaystyle =}${ ( ${\displaystyle X_{}}$i , ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle \}}$( \ $displaystyle$\ $mathbf${ $X$)로 확장하는 경우까지 확장합니다.$Y_$${i}\}$ $여기$서 $Yi는$$Xi$의 $랜덤{\displaystyle {}_{}}$ 변환입니다$.$$Yi$는$Xi$의 속성$($$마크$$)$을 나타냅니다.Yi는 Xi의 $조건법칙($마크$)$을 나타냅니다$.Yi$의 $조건법칙$은 $Xi$의 일부 천이를 따른다고 가정합니다.el은 P${\displaystyle }$( ${\displaystyle Yb}$ B ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle =x}$ ) ${\displaystyle =Q}$ (${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle B}$ $){$ $displaystyle \mathbb {P}(Y\in$ B $X=x$)=$Q(x,B$에 $따른다{\displaystyle \mathbb{}}$.

정리:마킹된 STC

랜덤 $측도{\displaystyle }$ N ${\displaystyle =}$ (${\displaystyle }$${\displaystyle assume\mathcal{}}$ ,${\displaystyle \nu }$ )$${ $displaystyle$ N = ( \ $kappa$, \ $nu$) } 및$$ ( E , ${\displaystyle E}$) { $displaystyle$( E , $\$$cal${ E )$$$\}{\displaystyle }$에서 (${\displaystyle F}$ )$${ $displaystyle$($F$, { \ $cal$ { F $\}$ )로의 이행 $확률{\displaystyle }$ 커널$$Q$$( )를 고려합니다.${\displaystyle \mathbf{Y}}$ ${\displaystyle =}$ { ${\displaystyle Y_{}}$ i $}$ { $displaystyle$\$mathbf { Y$ } = \ { $Y$_ { $i$} \ }는$$ Y${\displaystyle {}_{}{i}_{}}$ ~${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle X_{}}$i , ${\displaystyle )}$ $)\$ $sim$ Q ( X _ { $i ,$ \ $cdot$ $)$와 $조건부로 독립적$입니다.$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ (${\displaystyle \kappa }$ ,${\displaystyle \nu }$ ×${\displaystyle Q}$ )$${ $displaystyle$ M = ( \$kappa$, \$nu \times$ Q$$) } ${\displaystyle \mathrm{e<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; M=(\backslash kappa\; ,\backslash nu\; \backslash times\; Q)\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/103cdfa1d51ece0a34fd1742420de28b5d80ac75"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:15.634ex;\; height:2.843ex;">}}$、 ${\displaystyle E\mathcal{}}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \mathcal{F}}$ )$（$ \ $displaystyle ( E$ \$times$ F , { \$cal { E$ \$otimes$ F )${\displaystyle }$}$。$$여기$서 ${\displaystyle \mu }$nu \ ${\displaystyle \mathrm{times}}$ \ $display style$ = \ times \ times = \$$muyle 。er $f{\displaystyle e\mathcal{}}$ (${\displaystyle E{}_{+}}$ F )$$+ ${\displaystyle$ f$\in {\cal$ {$E}$ \$otimes${cal {$F$$}}_{+}}$에 대해 ${\displaystyle E{}^{}}$- ${\displaystyle M^{}}$ f ${\displaystyle {}^{}}$( ( ${\displaystyle {}^{}}$e -${\displaystyle {}^{}{g}^{}}$) { $displaystyle$\$mathbbb {$E } e^{-$Mf} =$ \$psi$ ( e - $nu$ ${\displaystyle \})}$가 있습니다.$여기$서,${\mathcal {E}}_{+}$은${\displaystyle {}^{}}$e -${\displaystyle g^{}}$ (${\displaystyle x^{}}$ ) ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$F ${\displaystyle Q}$( ${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}^{}}$ )${\displaystyle e^{}}$- f${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle x^{}}$, ${\displaystyle y^{}}$) .$${ $display$e^ { - g ( $x$) = \$int$ _ { $F }$Q ( x , $dy$ ) $e^$ { - $f$( x , $y$) $。$$}$

다음 결과는 즉각적인 결과이다.

결과: 제한된 STC

$수량{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {NA}_{}}$ ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {}_{}}$ , ${\displaystyle a_{}}$A$$) { $displaystyle N$_ { A } = ($N$ \ $mathbb { I$ }$_$ { $A$} , \ $nu$_ { $A$} )는 측정 가능한 부분 공간$E$A , ${\displaystyle E_{}}$、 E 、 { $CAP$} ) ${$ displaystyle ( E \ $mathbbbbb$ { A } )에 대한 잘 정의된 랜덤 측도입니다.$A}=\{A\cap B:$$B\in$ {$Mathcal {E}\}$ 및$$ ${\displaystyle A_{}B)}$ ${\displaystyle =\mathrm{math}}$ (${\displaystyle A}$ ) /$$ ${\displaystyle (}$ A ) { $displaystyle$ $\nu _ {A}$ (B) = \$nu ($ A \ $cap$ B ) / \$nu$( A$$)$$。$더욱해서{\displaystyle }$ f ${\displaystyle \in {}_{}}$+ { $displaystyle f} fcal$ { $A$${\displaystyle }$} }$I} _{A}+b)}$ $여기$서 b ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle （}$ $）$ { $displaystyle$ b=$1$- \$nu$($A$)$$} 。

$주{\displaystyle }$ ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle {}^{}}$e - ${\displaystyle f^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{\mathbb{}}_{}}$ +${\displaystyle 1}$ -${\displaystyle a}$ ) $=$ A ( ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$A -${\displaystyle {}^{}{f}^{}}$ $){$ $displaystyle \psi$( \$nu$ e$^{-f}\mathbb {I}$_{$A}+1-a$)=\$psi$ _${A}(\nu _A}e^{-f})$는 여기서${\displaystyle {}^{}}\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$를 ${\displaystyle {}_{}}$합니다.

뼈 수집

랜덤 측정의 확률 법칙은 라플라스 함수와 생성 함수에 의해 결정됩니다.

정의:뼈.

${\displaystyle K_{}}$ A ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ A$${\$displaystyle K_{A$} $= N$ \$mathbb {I} _{A}$ be$$ A \ $displaystyle$ A \ $subset$ E$.$ $a{\displaystyle }$ a a a $a$ K$$${\displaystyle \}}$의 $카운트{\displaystyle }$ 변수로 $합니다{\displaystyle {}_{}}$. 이때${\displaystyle }${${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle A}$ :${\displaystyle A}$ \ displaystyle E \ displaystyle \ $display }$\ display } \ display } \ $math$ n$A\subset$ E$\}$ 및$$ $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}_{}}$E(\$displaystyle K=N\mathbb {I}_{$E$$$})$는 $파라미터$의 $displaystyle$h_${a$}(\theta$)$에 따라 동일한 법칙 패밀리를 공유합니다$.$ $KDisplay style$$\$theta라고 불립니다$$.pgf의 골격조건은 $\psi {\displaystyle {}_{}\theta }$ （ ${\displaystyle t}$+${\displaystyle 1}$ -${\displaystyle a}$ ） $=$ ${\displaystyle {\psi }_{}}$ h${\displaystyle {{}_{}{a}_{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$t${\displaystyle }$) ( ${\displaystyle t}$ $){$ $displaystyle \psi$ _${\theta$}($at+1-a$)=\$psi$_{$h_{a}(\$theta$)}(t$로 나타낸다.

골분포와 조건의 개념을 갖추어 포아송형(PT) 랜덤 카운트 측정의 존재와 고유성에 대한 주요 결과는 다음과 같다.

정리: PT 랜덤 측정의 존재와 고유성

K${\displaystyle }$~ ${\displaystyle {text}_{}}$ $、$ \ $display style$ $K$$\ sim$ _ { \ $theta }$ text$$ pgf$$ { \ $display style$ \ $sim$ _ { \ $theta$$}$ ${\displaystyle \text{texttexttext<img alt="{displaystyle psi \_{theta }}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/0870a3350b344c41031b91a8a487244044b15b4f" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.516ex; height:2.509ex;">}}$ texttexttext $、{\displaystyle }$ { ${\displaystyle 0}$, $1$ ( K )$。$$$공간$$$$$({\displaystyle E}$ ,${\displaystyle E\mathcal{}}$) { $displaystyle$( E , { \ $mathcal${ $E$} ) } $}$ $style$$$ {\ { \ $displaystyle$\ $nu$$$$}$ {\ {\ {\ {\ $that{\displaystyle }$ that that that that {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\으로 ( ) > { { $displaystyle \nu$ (A) $=$a > 0 }의 $임의$의 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \subset }$E { \ $displaystyle$A \ $subset$ E$$}에$$ 대해 ${\displaystyle {매핑h}_{}}$: ${\displaystyle \mathrm{\theta }}$ ${\displaystyle \to }$ \ $displaystyle h_{a}$가 존재합니다.$\Theta \rightarrow \Theta }$ 제한$$ 랜덤 ${\displaystyle {\mathrm{측정값}}_{}}$이 N ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle =}$ ( ( ${\displaystyle {h{}_{}{a}_{}}_{}}$ ( ${\displaystyle {)}_{}}$) ,$$ A ) { $display N_{A$} = ( \$kappa$ _ { $h$_ {$a$} ( \ $theta$) , \ $nu$_ { $A$} )$$、 $즉{\displaystyle {}_{}}$,

$\displaystyle \mathbb {E} e^{-N_{A} f}=\psi _{h_{a}(\theta)}(\nu _{A}e^{-f})\quad {text{f}\cal {E}_{+}}\cal f\in$

$iff{\displaystyle }$ K$${$displaystyle$ K$}$는 포아송, 음이항 또는 이항(포아송 유형)입니다.

이 정리에 대한 증명은 일반화 가법 코시 방정식과 그 해법에 기초한다.정리에서는 모든 NNPS 분포 중 $제한{\displaystyle }$ NI $(\$ N$\mathbb {I}_$${A})$가 K$(\displaystyle$ K$)$와 동일한 분포 패밀리를 공유한다는 특성이 있는 것은 PT뿐이며, 즉 얇아진 상태에서 닫힙니다.PT 랜덤 측도는 포아송 랜덤 측도, 음이항 랜덤 측도 및 이항 랜덤 측도입니다.포아송은 이산 집합에서 독립성을 갖는 가법적인 반면 음의 이항은 양의 공분산을 가지며 이항은 음의 공분산을 갖습니다.이항 과정은 이항 랜덤 측정의 제한 사례이며, $여기$서 p ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \to }$ {$displaystyle$ p$\rightarrow$1, $n\rightarrow$ c$\}$이다.

분산형 자기유사성 응용 프로그램

$K(\displaystyle$ K$)$의 pgf$$(\$displaystyle \psi$ _${\theta$})의$$ "bone" 조건은 서브스페이스(pgf ${\displaystyle a_{}}$ A$$\$display \psi$ _${$$A$로 인코딩됨)에 대한 제한(얇음) 내의 모든 카운트가 "$display$ style \$psi$ _ta $}\$}\style \ta }과 동일한 분포 자기 유사 속성을 인코딩합니다.표준$$ 파라미터의 재스케일을 통해 K$(\displaystyle$ K$$$)$의 }을$($를) 지정합니다.이러한 아이디어는 이산 랜덤 ^[7]변수의 자기 분해성 및 안정성과 밀접하게 관련되어 있습니다.이항 솎아내기 기능은 시계열을 ^[8][9]세는 기본 모형입니다.포아송 랜덤 측정은 잘 알려진 분할 특성을 가지며, 첨가(완전 무작위) 랜덤 측정 클래스의 프로토타입이며, 레비 프로세스의 구조, 콜모고로프 방정식의 점프(마르코프 점프 프로세스), 브라운 ^[10]운동 이탈과 관련이 있다.따라서 PT 패밀리의 자기 유사성 특성은 여러 영역에 기초한다.PT 제품군 구성원은 "원본" 또는 프로토타입 랜덤 측정값으로, 이를 통해 많은 랜덤 측정값과 프로세스를 구성할 수 있습니다.

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