포아송 랜덤 측정

Let $(E,{\mathcal {A}},\mu )$ be some measure space with $\sigma$ -finite measure $\mu$ . The Poisson random measure with intensity measure $\mu$ is a family of random variables ${\displaystyle \{N_{A}\}_{A$ $\in {\mathcal{A}}}$ 확률 공간 $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathrm {P} )$ , $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathrm {P} )$ , $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathrm {P} )$ ) $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathrm {P} )$ {\ $displaystyle(\Oomega$ ,{\ $mathcal{F},\mathrm$ { $P})$ 에서 정의한 $\{N_{A}\}_{A\in {\mathcal {A}}}$ 다음과 같은 $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathrm {P} )$ \in {\mathcal $}$

i) $\forall A\in {\mathcal {A}},\quad N_{A}$ $\forall A\in {\mathcal {A}},\quad N_{A}$ $\forall A\in {\mathcal {A}},\quad N_{A}$ $\forall A\in {\mathcal {A}},\quad N_{A}$ ${\$ \ $forall A\in {\mathcal {A},\quad N_{A}}$ 은 $\forall A\in {\mathcal {A}},\quad N_{A}$ (는) 비율 $\mu (A)$ ) ${\displaystyle \mu(A$ 의 포아송 랜덤 변수다.

ii) $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}$ , $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}$ $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}$ , $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}$ … $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}$ , $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}$ $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}$ $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}$ A {\ $displaystyle A_{$ 1}, $A_{2},\ldots,A_{n}\$ in {\ $mathcal$ { $A}}$ 을(를) 설정하면 $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}$ i에서 나오는 해당 랜덤 변수가 상호 독립적이다.

iii) $\forall \omega \in \Omega \;N_{\bullet }(\omega )$ Ω $\forall \omega \in \Omega \;N_{\bullet }(\omega )$ $\forall \omega \in \Omega \;N_{\bullet }(\omega )$ $\forall \omega \in \Omega \;N_{\bullet }(\omega )$ $\forall \omega \in \Omega \;N_{\bullet }(\omega )$ ) ${\displaystyle$ \ $forall \omega \in$ \Oomega \in \ $Oomega \;N_{\bullet }(\mathcal$ { $A})은(E$ ${\mathcal})$ 에 대한 측정값이다 $\forall \omega \in \Omega \;N_{{\bullet }}(\omega )$ $.$

존재

$\mu \equiv 0$ μ $\mu \equiv 0$ μ ≡ 0 $\mu \equiv 0$ 이(가) 조건 i)–iii)을 만족하면 $N\equiv 0$ $N\equiv 0$ $N\equiv 0$ $N\equiv 0$ $N\equiv 0$ 이(가) 된다.Otherwise, in the case of finite measure $\mu$ , given $Z$ , a Poisson random variable with rate $\mu (E)$ , and $X_{1},X_{2},\ldots$ , mutually independent random variables with distribution ${\displaystyle$ ${\frac {\mu }{\mu (E)}}}$ , define $N_{\cdot }(\omega )=\sum \limits _{i=1}^{Z(\omega )}\delta _{X_{i}(\omega )}(\cdot )$ where $\delta _{c}(A)$ is a degenerate measure located in $c$ .그러면 $N$ $N$ ${\displaystyle$ N $}$ 이(가) 포아송 랜덤 측정값이 된다. $\mu$ ${\displaystyle \$ $mu$ $}$ 이 $\mu$ (가) 유한하지 않은 경우, $\mu$ ${\$ $displaystyle$ $E}$ 의 $E$ $\mu$ 일부에 위에 구성된 $N$ 에서 N $N$ 을(를 $)$ 얻을 수 있다 $N$ .