폴로이드-토로이드 분해

벡터 미적분학에서, 폴로이드-토로이드 분해는 헬름홀츠 분해의 제한된 형태입니다. 솔레노이드 벡터장의 구면 좌표 분석에 자주 사용되는데, 예를 들어 자기장과 비압축성 유체가 이에 해당됩니다.^[1]

정의.

발산이 0인 3차원 벡터장 F에 대하여

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =0,}$

이 F는 토로이드 장 T와 폴로이드 벡터 장 P의 합으로 표현될 수 있습니다.

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {T} +\mathbf {P}$

여기서 r은 구면 좌표(r, θ, φ)의 방사 벡터입니다. 토로이드 필드는 스칼라 필드인 ψ(r, θ, φ)에서 다음과 같은 컬로 얻어집니다.

${\displaystyle \mathbf {T} =\nbla \times(\mathbf {r} \Psi(\mathbf {r})}$

폴로이드 필드는 또 다른 스칼라 필드 φ(r, θ, φ)에서 두 번 반복되는 컬로 유도됩니다.

${\displaystyle \mathbf {P} =\nbla \times (\n번)bla \times(\mathbf {r} \Phi(\mathbf {r}))\,}$

이 분해는 토로이드 필드의 컬이 폴로이드이고, 폴로이드 필드의 컬이 찬드라세카르-켄달 함수로 알려진 토로이드라는 점에서 대칭입니다.^[4]

기하학.

토로이드 벡터장은 원점 주변의 구와 접선입니다.^[4]

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {T} = 0}$

폴로이드 장의 말림이 그 구체들에 접선인 반면에.

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot(\n)abla \times \mathbf {P}) = 0.}$^[5]

반지름 r의 모든 구에서 스칼라 필드 ψ와 φ의 평균이 사라지는 것이 필요한 경우 폴로이드-토로이드 분해는 독특합니다.

데카르트 분해

직각좌표에도 폴로이드-토로이드 분해가 존재하지만, 이 경우에는 평균장 흐름이 포함되어야 합니다. 예를 들어, 모든 솔레노이드 벡터 필드는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=\nabla \times g(x,y,z){\hat {\mathbf {z} }}+\nbla \times (\n번)abla \times h(x,y,z){\hat {\mathbf {z} }})+b_{x}(z){\hat {\mathbf {x} }}+b_{y}(z){\hat {\mathbf {y} }},}$

여기서 $x{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}^,}$ ${\displaystyle y\stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle ^,}$ ${\displaystyle z\stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\$ {\$mathbf$ {y$}},$ {\$hat {\mathbf {z}}$은 좌표 방향의 단위 벡터를 나타냅니다$$.^[6]

참고 항목

• 토로이드와 폴로이드
• 찬드라세카르-켄달 함수

메모들

참고문헌

• 유체역학 및 자기 안정성, 찬드라세카르, 수브라흐만얀; 물리학에 관한 국제 모노그래프 시리즈, 옥스포드: Clarendon, 1961, p. 622.
• 솔레노이드 필드를 폴로이드 필드, 토로이드 필드 및 평균 흐름으로 분해합니다. 나비에 있는 부스신스큐 방정식, 슈미트, B.J. 및 폰 월, W.에 대한 적용–주식 방정식 II – 이론과 수치적 방법, 291-305쪽; 수학 강의 노트, 스프링어 베를린/하이델베르크, Vol. 1530/1992.
• Lantz, S.R. 및 Fan, Y.의 태양 및 항성 대류 영역 모델링을 위한 탄성 자기유체역학 방정식; Astrophysical Journal Supplement Series, Volume 121, 1999년 3월 1일 247-264쪽.
• 이중 주기 벡터장의 평면 폴로이드-토로이드 분해: 파트 1. 분기가 있는 필드와 파트 2. 스톡 방정식. G. D. McBain. ANZIAM J. 47 (2005)
• Backus, George (1986), "Poloidal and toroidal fields in geomagnetic field modeling", Reviews of Geophysics, 24: 75–109, Bibcode:1986RvGeo..24...75B, doi:10.1029/RG024i001p00075.
• Backus, George; Parker, Robert; Constable, Catherine (1996), Foundations of Geomagnetism, Cambridge University Press, ISBN 0-521-41006-1.
• Jones, Chris, Dynamo Theory (PDF).