다항식 아이덴티티 링

수학의 한 분야인 링 이론에서 링 R은 일부 N > 0에 대해 N 변수₁ X, X₂, ..., X의_N 정수 링 위에 자유대수인 Z⟨X₁, X₂, X의_N 원소 P ≠ 0이 있다면 다항식 아이덴티티 링이다.

${\displaystyle P(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{N}=0}$

R에서 가져온 모든 N-tuple r₁, r₂, ..., r_N.

엄밀히 말하면 이곳의 X는_i "비규정 다항식"이며, 따라서 "다항식 정체성"은 여기서 "비규정 다항식"이라고 부르는 것을 의미하기 때문에 약간의 언어 남용이다.약칭 PI 링은 일반적이다.보다 일반적으로, 어떤 링 S에 대한 자유 대수학을 사용할 수 있으며, PI-알지브라 개념을 제공한다.

다항식 P의 정도가 통상적인 방법으로 정의되는 경우, 그 최고도 조건 중 하나 이상이 1과 같은 계수를 갖는 경우 다항식 P를 모닉이라고 한다.

모든 정류 링은 다항식 ID XY - YX = 0을 만족하는 PI 링이다.따라서 PI 링은 일반적으로 정류 링의 긴밀한 일반화로 간주된다.링의 특성 p가 0과 다를 경우 다항식 ID pX = 0을 만족한다.그러한 예를 배제하기 위해 PI 링이 단일 다항식 아이덴티티를 만족해야 한다는 것이 정의되기도 한다.^[1]

예

• 예를 들어, R이 정류 링인 경우 PI-링: 이것은 다음 중 하나와 동일하다.

${\displaystyle P(X_{1},X_{2})=X_{1}X_{2}-X_{2}X_{1}X_{1}=0~}$

• 2×2 행렬의 2×2 행렬은 홀의 정체성을 만족시킨다.

${\displaystyle (xy-yx)^{2}z=z(xy-yx)^{2}}$

이 정체는 M에 의해 사용되었다.홀 (1943년) 그러나 일찍이 바그너 (1937년)에 의해 발견되었다.

• 주요 역할은 길이가 N인 표준 아이덴티티 s에_N 의해 이론에서 수행되며, 이는 정류 링에 대해 주어진 예(N = 2)를 일반화한다.결정인자에 대한 라이프니즈 공식에서 유래한다.

${\displaystyle \det(A)=\sum \in S_{N}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{N}a_{i,\sigma (i)}}}}}$

순열 σ에 의해 주어진 순서에 따라 X의_i 곱에 따라 각 제품을 교환함으로써.즉, 각 N! 순서가 합산되며, 계수는 서명에 따라 1 또는 -1이다.

${\displaystyle s_{N}(X_{1},\ldots,X_{N})=\sum_{\sigma \in S_{N}\operatorname {sgn}(\sigma )X_{\sigma(1)\dotsm X_{\\sigma(N)=0~}}}}}.$

모든 교환 링 위의 m × m 매트릭스 링은 표준 아이덴티티를 만족한다: 아미투르-레비츠키 정리에는 s를_2m 만족한다고 명시되어 있다.이 정체성의 정도는 매트릭스 링이 2m 미만의 단항 다항식을 만족시킬 수 없기 때문에 최적이다.

• 특성 0의 필드 k가 주어진 경우, 기준 e₁, e, e₂₃, ...을 가진 카운트할 수 있는 무한 차원 벡터 공간에 대한 외부 대수 R을 취한다.그리고 R은 이 기초의 요소들에 의해 생성된다.

e_ij = - e e_j e_i.

이 링은 N에 대해 s를_N 만족시키지 못하므로 어떤 매트릭스 링에도 삽입할 수 없다.사실 s_N(e₁,e₂,e...,e_N) = N!e₁₂...e...e_N ≠ 0.반면에 [x, y], z] := xyz - yxz - zxz - zxy + zyx = 0을 만족하므로 PI-링이다.이것은_i e's의 단조로운 것에 대해 확인하기에 충분하다.이제, 짝수 정도의 단수화가 모든 요소와 통한다.따라서 x 또는 y가 짝수[x, y] := xy - yx = 0의 단수인 경우둘 다 홀수 도일 경우 [x, y] = xy - yx = 2xy는 짝수 도이므로 z, 즉 [x, y, z] = 0으로 통근한다.

특성.

• PI 링의 서브링 또는 동형상 이미지는 PI 링이다.
• PI 링의 유한 직접 생산물은 PI 링이다.
• 동일한 아이덴티티를 만족시키는 PI링의 직접 제품은 PI링이다.
• PI 링이 만족하는 정체성은 항상 다중선이라고 가정할 수 있다.
• 만약 링이 그것의 중심에 있는 모듈로서 n 요소에 의해 정밀하게 생성된다면, 그것은 n보다 더 큰 도 이상의 모든 교번 다항식을 만족한다.특히 N > n에 대해 s를_N 만족하므로 PI 링이다.
• R과 S가 PI-링이라면, $정수{\displaystyle }$ R${\displaystyle {}_{z\mathbb{}}}$ Z ${\displaystyle S_{}}${\$displaystyle R\otimes _{\mathb {Z} }S$에 대한 텐서 제품도 PI-링이다.
• R이 PI-링이라면 R에 계수가 있는 n × n 행렬의 링도 마찬가지다.

정류 링의 일반화로서의 PI 링

비확정 고리 중에서 PI 링은 쾨테 추측을 만족시킨다.아핀 PI-알게브라는 한 분야를 넘나들며 쿠로쉬의 추측, 널스텔렌사츠, 그리고 원시적 이상에 대한 천부적 속성을 만족시킨다.

R이 PI-링이고 K가 K보다 R이 통합되어 있는 중심부의 서브링이라면, R과 K의 주요 이상에 대한 상승 및 하강 특성이 만족된다.Also the lying over property (If p is a prime ideal of K then there is a prime ideal P of R such that ${\displaystyle p}$ is minimal over ${\displaystyle P\cap K}$) and the incomparability property (If P and Q are prime ideals of R and ${\displaystyle P\subset Q}$ then ${\displaystyle P\cap K\subs$$et Q\cap K}$)은(는) 만족한다.

PI 링이 만족하는 ID 집합

만약 F := ZxX₁, X₂, ..., X_N⟩가 N 변수에서 자유 대수이고 R이 N 변수에서 다항식 P를 만족하는 PI-링이라면, P는 어떤 동항형성의 커널에 있다.

${\displaystyle }$τ ${\displaystyle \tau }$: F${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \rightarrow }$ $R$.

F의 이상 I는 F의 모든 내형성 F에 $대해$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle I}$) ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f(I)\subset$ I$}$이라고 한다.

PI-링, R을 고려할 때, 만족하는 모든 다항식 정체성의 집합은 이상적이지만 T-이상이다.반대로 내가 F의 T-ideal이라면 F/I는 I의 모든 정체성을 만족시키는 PI-링이다.PI 링이 단일 다항식 정체성을 만족시키기 위해 필요한 경우 나는 단일 다항식을 포함하고 있는 것으로 가정한다.

참고 항목

• 포스너의 정리
• 중심 다항식

참조

• Latyshev, V.N. (2001) [1994], "PI-algebra", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Formanek, E. (2001) [1994], "Amitsur–Levitzki theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• 링 이론의 다항식 정체성, Louis Halle Rowen, Academic Press, 1980, ISBN 978-0-12-599850-5
• 다항식 ID 링, Vesselin S.Drensky, Edward Formanek, Birkhauser, 2004, ISBN 978-3-7643-7126-5
• 다항식 정체성과 점증법, A. 지암브루노, 미하일 자이스프, AMS서점, 2005, ISBN 978-0-8218-3829-7
• 다항식 정체성의 계산 측면, 알렉세이 카넬-벨로프, 루이 할레 로웬, A K Peters Ltd, 2005, ISBN 978-1-56881-163-5

추가 읽기

• Formanek, Edward (1991). The polynomial identities and invariants of n×n matrices. Regional Conference Series in Mathematics. Vol. 78. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0730-7. Zbl 0714.16001.
• Kanel-Belov, Alexei; Rowen, Louis Halle (2005). Computational aspects of polynomial identities. Research Notes in Mathematics. Vol. 9. Wellesley, MA: A K Peters. ISBN 1-56881-163-2. Zbl 1076.16018.

외부 링크

• PlanetMath의 다항식 ID 대수.
• PlanetMath의 표준 ID.
• PlanetMath에서 T-ideal.