양수 연산자(힐버트 공간)

In mathematics (specifically linear algebra, operator theory, and functional analysis) as well as physics, a linear operator ${\displaystyle A}$ acting on an inner product space is called positive-semidefinite (or non-negative) if, for every ${\displaystyle x\in \mathop {\text{Dom}} (A)}$, ${\d$$isplaystyle \langle Ax,x\rangle \in \mathbb {R} }$ and ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle \geq 0}$, where ${\displaystyle \mathop {\text{Dom}} (A)}$ is the domain of ${\displaystyle A}$. Positive-semidefinite operators are denoted as ${\displaystyle A\geq 0}$.The operator is said to be positive-definite, and written ${\displaystyle A>0}$, if ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle >0,}$ for all ${\displaystyle x\in \mathop {\mathrm {Dom} } (A)\setminus \{0\}}$.

물리학(특히 양자역학)에서 그러한 연산자는 밀도 행렬 형식주의를 통해 양자 상태를 나타낸다.

카우치-슈바르츠 불평등

$A{\displaystyle 0}$ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle A\geq$ 0$,}$인 경우

$\displaystyle \left \langle Ax,y\langle \rigle \right ^{2}\leq \langle Ax,x\langle \langle \langle Ay,y\langle .}$

실제로 > ${\displaystyle \varepsilon >0.}$내부에 Cauchy-Schwarz 불평등 적용

${\displaystyle (x,y)_{\barepsilon }{\stackrel {\text{def}}}\langle (A+\varepsilon \cdot \mathbf {1} )x,y\rangle }$

$\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon \downarrow 0}$이(가) 클레임을 증명하듯이$$.

It follows that ${\displaystyle \mathop {\text{Im}} A\perp \mathop {\text{Ker}} A.}$ If ${\displaystyle A}$ is defined everywhere, and ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle =0,}$ then ${\displaystyle Ax=0.$$}$

H에서_C A가 0이면 A는 대칭이다.

일반성을 상실하지 않고, 내부 제품 ${\displaystyle ⟨,}${,${\displaystyle }$\,$$\$displaystyle \langle \cdot \cdot$ \angle$}$을(를) 첫 번째 인수에 반선형이 되게$$ 하고, 두 번째 인수에 선형이 되게 한다.(만약 그 역이 사실이라면, ${\displaystyle \mathrm{우리}}$는 ⟨${\displaystyle x}$, y${\displaystyle \stackrel{}{}}$op ${\displaystyle \mathrm{op}{}_{}\stackrel{}{}}$= ${\displaystyle \stackrel{}{\text{def}}}$ y${\displaystyle }$, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ⟩}$ {\$displaystyle \langle$ x$,y\rangle _{\text{op}}{\stackrel{def}}}}{\langle y$,x$\rangele}$를 대신하여$$ 작업한다.x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \text{Dom}a}$A ,$${\$displaystyle$ x$,y\in \mathop${\$text{Dom} A,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle Ax,y\rangle ={}&\langle A(x+y),x+y\rangle -\langle A(x-y),x-y\rangle \\[1mm]&{}-i\langle A(x+iy),x+iy\rangle +i\langle A(x-iy),x-iy\rangle \end{aligned}}}$

and the fact that ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle =\langle x,Ax\rangle ,}$ for positive operators, show that ${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,}$ so ${\displaystyle A}$ is symmetric.

복합적인 경우와 대조적으로 실제 힐버트 $공간{\displaystyle {}_{}}$ H ${\displaystyle {R\mathbb{}}_{}}$ ${\$에 대한 양성-세미드파인 연산자는 대칭이 아닐 수 있다$$.counterexample로 $A{\displaystyle }$: ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$을 정의하여 $급성{\displaystyle }$ 각도${\displaystyle -}$ ( -${\displaystyle \pi \mathrm{}}$ /${\displaystyle \pi }$ / 2${\displaystyle }$)${\displaystyle }$.$${\$displaysty \varphi \$$in (-pi /2,\pi2$ )$}$ Then ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle =\ Ax\ \ x\ \cos \varphi >0,}$ but ${\displaystyle A^{*}=A^{-1}\neq A,}$ so ${\displaystyle A}$ is not symmetric.

A가 0이고 Dom A가 H인_C 경우 A는 자체 적응하고 경계한다.

The symmetry of ${\displaystyle A}$ implies that ${\displaystyle \mathop {\text{Dom}} A\subseteq \mathop {\text{Dom}} A^{*}}$ and ${\displaystyle A=A^{*} _{\mathop {\text{Dom}} (A)}.}$ For ${\displaystyle A}$ to be self-adjoint, it is necessary that ${\displaystyle \text{Dom}}$${\displaystyle \mathop {\text{Dom}} A=\mathop {\text{Dom}} A^{*}.}$ In our case, the equality of domains holds because ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=\mathop {\text{Dom}} A\subseteq \mathop {\text{Dom}} A^{*},}$ so ${\displaystyle A}$ is indeed self-adjoint.$A$가 지금$경계$되고 있다는 사실은 헬링거-에서 따온 것이다.토우플리츠 정리.

이 속성은 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$. ${\displaystyle H_{\mathb {R}}}$에서 유지되지 않음

H에_C 있는 자가 승인 연산자 순서

자가 적응 연산자의 자연적인 순서는 양성 연산자의 정의에서 비롯된다.다음과 같은 경우$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B\geq A}$을(를) 정의하십시오.

1. ${\displaystyle A}${\$displaystyle A}$ 및 $B$ ${\displaystyle B}$은(는) 자가 적합함$$
2. $B-A\geq 0}$

모노톤 수렴 정리와 유사한 결과가 힐버트 공간에서 증가하고, 경계되고, 스스로 적응하는 단조로운 운영자들에게 있음을 알 수 있다.^[1]

물리학에 적용: 양자 상태

The definition of a quantum system includes a complex separable Hilbert space ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }}$ and a set ${\displaystyle {\cal {S}}}$ of positive trace-class operators ${\displaystyle \rho }$ on ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }}$ for which ${\displaystyle \m$$athop {\text{Trace} \rho$=1$.} 집합$ $S$ ${\$cal{$S}}은($는) 상태 집합이다.$매{\displaystyle \rho \mathcal{}}$ S$${\$displaystyle \rho \in${\$cal {S}}$은(는) 상태 또는 밀도 연산자라고 불린다$$.$\psi {\displaystyle }$$$${\displaystyle \in }$ H ${\displaystyle C_{}}$, ${\displaystyle \$$psi \$$in H_{\mathb {C}}}$의 경우, 여기서$$ $where{\displaystyle }$${\displaystyle \psi 1}$ ${\displaystyle =}$1, {\$displaystyle \psi \$1,} ${\displaystyle {연산자}_{}}$ P $\$ {\$displaystystyle$ $P_{\\\\$psi$$}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}의$$ 범위에 투영향을$$ 순수 상태라고 한다$$.(각 순수 상태는 단위 벡터 $\psi {\displaystyle {}_{}{H\mathbb{}}_{}}$ C$$, {\$displaystyle \psi \in$H_{\$mathb${C$}}}})$로 식별할 수 있으므로, 일부$$ 소스는 순수 상태를 ${\displaystyle {H\mathbb{}}_{}}$ $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {)}_{}}$로부터 단위 요소로 정의한다${\displaystyle .}$ ${\displaysty H_{\mathb {C}.}}.}.$ 순수하지 않은 상태를$$ 혼합이라고 한다.

참조

• Conway, John (1990), Functional Analysis: An Introduction, Springer Verlag, ISBN 0-387-97245-5