밀도 행렬

에 대한 일련의 기사의 일부
양자역학
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial t}{\psi(t)\rangele ={\hat {H} \psi(t)\rangele }}$ 슈뢰딩거 방정식
소개 용어집 역사
배경 고전역학 구양자론 브라-켓 표기법 해밀턴어 간섭
기초 상보성 탈착성 얽힘 에너지 레벨 측정 비균등성 양자수 주 중첩 대칭 튜닝링 불확실성 파동함수 무너지다
실험 벨의 부등식 다비슨-제르머 더블 슬릿 엘리추르 바이드만 프랑크-헤르츠 레게트-가그 부등식 마하-젠더 포퍼 양자 지우개 지연선택 슈뢰딩거의 고양이 스턴-제라흐 휠러의 지연 선택
공식화 개요 하이젠베르크 상호작용 매트릭스 위상공간 슈뢰딩거 누적 이력(경로 적분)
방정식 디락 클라인-고든 파울리 뤼드베르크 슈뢰딩거
해석 개요 베이시안 일관된 이력 코펜하겐 드 브로글리-봄 앙상블 숨겨진 변수 국부적 다세계 객관적 붕괴 양자 논리 관계성 트랜잭션
고급 주제 상대론적 양자역학 양자장 이론 양자정보과학 양자 컴퓨팅 양자 혼돈 밀도 행렬 산란 이론 양자통계역학 양자기계학습
과학자들 아하로노프 벨 베테 블랙켓 블로흐 봄 보어 태어난 보스 드 브로글리 콤프턴 디락 다비송 데비예 에렌페스트 아인슈타인 에버렛 포크 페르미 파인만 글라우버 구츠윌러 하이젠베르크 힐베르트 조던 크레이머스 파울리 양고기 란다우 라우에 모즐리 밀리칸 오네스 플랑크 라비 라만 뤼드베르크 슈뢰딩거 시몬스 소머펠트 폰 노이만 바일 빈 위그너 지만 질링거
v t

양자역학에서 밀도 행렬은 물리적 시스템의 양자 상태를 설명하는 행렬이다. Born 규칙을 사용하여 이 시스템에 대해 수행된 측정 결과의 확률을 계산할 수 있다. 그것은 보다 일반적인 상태 벡터 또는 파동 기능의 일반화다. 그것들이 순수한 상태만을 나타낼 수 있는 반면, 밀도 행렬은 혼합 상태를 나타낼 수도 있다. 혼합된 상태는 두 가지 다른 상황에서 양자역학에서 발생한다: 첫째는 시스템의 준비가 완전히 알려져 있지 않을 때, 둘째는 가능한 준비의 통계적 앙상블을 다루어야 할 때, 둘째는 다른 것과 얽혀 있는 물리적 시스템을 묘사하고 싶을 때, 그것의 상태는 순수한 상태로 묘사될 수 없기 때문이다.

따라서 밀도 행렬은 양자 통계 역학, 개방형 양자 시스템, 양자 정합성 및 양자 정보와 같이 혼합 상태를 다루는 양자 역학 영역에서 중요한 도구다.

정의와 동기 부여

밀도 행렬은 밀도 연산자라고 불리는 선형 연산자를 나타낸 것이다. 밀도 행렬은 밀도 연산자로부터 기초 공간의 기초 선택을 통해 얻는다. 실제로 밀도 매트릭스와 밀도 연산자라는 용어는 종종 서로 바꾸어 사용된다.

연산자 언어에서 시스템의 밀도 연산자는 시스템의 힐버트 공간에 작용하는 추적 1의 양의 반확정성, 에르미트어 연산자다.^[1][2][3] ${\displaystyle {이러한}_{}}$ 정의는 앙상블이라고 알려진$$p ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle \psi _{j}\rangele}}$ 순수 상태 prepared ${\displaystyle j{}_{}}$ ${\$가 준비되는$$ 상황을 고려함으로써 동기 부여가 가능하다. 프로젝터 ${\displaystyle {\pi m}_{}}$ ${\$을(를) 사용할$$ 때 투영 $측정{\displaystyle }$결과 m {\$displaystyle$ m}을$($를) 얻을 확률은 다음과$$^{[4]: 99} 같다.

${\displaystyle p(m)=\sum _{j}p_{j}\langle \psi _{j} \Pi _{m} \psi _{j}\rangle =\operatorname {tr} \left[\Pi _{m}\left(\sum _{j}p_{j} \psi _{j}\rangle \langle \psi _{j} \right)\right],}$

밀도 측정기를 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle \rho }$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ j ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle j{}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ ⟨ { {${\displaystyle {}_{}}{\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle \rho$=\$sum \{j}p_{j} \$psi_{$j}$ \$psi _{j$}\nangle $\langle \langle$ \$angle_{j}}},$ },

이 앙상블의 상태를 편리하게 나타냄 이 연산자는 양성 반확률자, 에르미트어, 미량 1이 있는 것을 쉽게 확인할 수 있다. Conversely, it follows from the spectral theorem that every operator with these properties can be written as ${\displaystyle \textstyle \sum _{j}p_{j} \psi _{j}\rangle \langle \psi _{j} }$ for some states ${\displaystyle \psi _{j}\rangle }$ and coefficients ${\di$음이 아닌 splaystyle p_${j}}$에 최대 1까지 더하는 $splaystyle p_${^{[5][4]: 102} j}. 그러나 슈뢰딩거-에 의해 보여지듯이 이 표현은 독특하지 않을 것이다.HJW 정리.

밀도 연산자의 정의에 대한 또 다른 동기는 얽힌 상태에 대한 국부적 측정을 고려하는 데서 비롯된다. ${\displaystyle \PSI \rangele}$을(를) 복합$$ ${\displaystyle {힐버트}_{\mathrm{}}}$ 공간 H $\$ H 2 {\$displaystyle$ {\$mathcal$ {$H}{1}}\otimes {\mathcal {H}{2$ Hilbert ${\displaystyle {공간}_{\mathrm{}}}$ H 1${\$}에서$$ 프로젝터 ${\displaystyle {\pi m}_{}}$ ${\$을(를) 측정할 때$$ 측정 $결과{\displaystyle }$ m {\$displaystystyle m}$을(를$)$ 얻을 확률은 다음과$$^{[4]: 107} 같다.

${\displaystyle p(m)=\langle \Psi \Pi \{m}\operatorname {tr} \left[\Pi _{m}\left(\operatorname {tr} _{2} \langle \langle \Psi \right)], \right}, \right},}$

여기서 ${\displaystyle {\mathrm{tr}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}은 Hilbert 공간 ${\displaystyle H_{\mathrm{}}}$ 2 ${\$ 이로 인해 운영자가 부분 추적을 하게$$ 된다$.$

${\displaystyle \rho =\operatorname {tr} _{2} \PSI \랑글 \langle \Psi }$

이러한 국소 측정의 확률을 계산할 수 있는 편리한 도구 서브시스템 1에서$$ ${\displaystyle \psi \mathrm{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \PSI \rangele }$의 감소된 밀도 매트릭스로 알려져 있다. 이 연산자가 밀도 연산자의 모든 속성을 가지고 있는지 쉽게 확인할 수 있다. 반대로 슈뢰딩거-HJW 정리는 일부 상태 ${\displaystyle operators\mathrm{}}$ ${\displaystyle {tr\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle state}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle ⟨}$ \ \ \ \ \$\ \$$displaystyle$ \$operatorname$ {$tr} _${2}$\PSI$\angle $\$$langle$ $\$$Psi }$로 모든 밀도 연산자를 쓸 수 있음을 암시한다$.$

순수 및 혼성 상태

순수 양자 상태는 다른 양자 상태의 확률적 혼합물, 즉 볼록한 조합으로 쓸 수 없는 상태를 말한다.^[3] 밀도 연산자의 언어에는 여러 가지 동일한 순수 상태의 특성이 있다.^{[6]: 73} 밀도 연산자는 다음과 같은 경우에만 순수 상태를 나타낸다.

• 상태 벡터 ${\displaystyle \psi }$ψ $\$ {\$displaystyle$\ \ $\rangele}$의 외부 제품, 즉, 그 자체로$$ 쓸 수 있다.

$\displaystyle \rho = \cHBLE \langle \langle .}$

• 그것은 특히 1등급을 나타내는 투영법이다.
• 그것은 idempotent, 즉,

${\displaystyle \rho }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$

• 순결성, 즉,

${\displaystyle \mathrm{tr}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \operatorname {tr}(\rho ^{2$}=$1$

양자 상태의 확률론적 혼합과 그 중첩의 차이를 강조하는 것이 중요하다. 물리적 시스템이 동일한 확률로 상태 ${\displaystyle state{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \psi _{1}\rangele }$ 또는$$ ${\displaystyle \psi {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \psi \{2}\rangele$ $\}$ 중 하나로 준비되면 혼합 상태로 설명될 수 있다.

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{1}:{2}}: {\pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},}$

여기서 ${\displaystyle \psi {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \psi_{1}\rangele }$ 및 ${\displaystyle \psi {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$\ \$_{2}\rangele }$은(는) 직교 및 치수 2인 것으로 가정하여$$ 단순화한다. 반면 확률 진폭이 같은 이들 두 상태의 양자 중첩은 밀도 행렬이 있는$$ 순수 상태${\displaystyle \psi }$=${\displaystyle }$( ( ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle \psi {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$, ${\displaystyle \psi \range =(\psi _{1}\rangele$+ $\psi \{2}/{\sqrt{2}}}}}}}}$이 된다.

${\displaystyle \langle \langle \langle \cH00{1}{1}:{2}}: {\\pmatrix}1&1\1&1\end{pmatrix}}}.}$

확률론적 혼합물과는 달리, 이 중첩은 양자 간섭을 나타낼 수 있다.^{[4]: 81}

기하학적으로 밀도 연산자 집합은 볼록 집합이며, 순수 상태는 그 집합의 극한점이다. 가장 간단한 경우는 쿼빗으로 알려진 2차원 힐버트 공간의 경우다. Qubit에 대한 임의 상태는 Pauli 행렬의 선형 조합으로 기록될 수 있으며, $이$는 2${\displaystyle }$× ${\displaystyle 2}${\$displaystyle 2\times 2}$개의 자체 승인$$ 행렬에 대한 기초를 제공한다.^{[7]: 126}

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽(I+r_{x}\sigma _{x}+r_{y}\sigma _{y}}}\sigma _{y}+r_{z}\sigma _{z}\오른쪽),}}$

여기서 실제 숫자$({\displaystyle r_{}}$x , ${\displaystyle r_{}}$y , ${\displaystyle r_{}}$z )$${\$displaystyle(r_{x},r_{y},r_{z})$는 단위 볼 내의 점의 좌표 및

${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

$r{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle x_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ r ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 2{}_{}^{}}$= 1 ${\displaystyle r_{x}^{2}+r_{y}^{2}+r_{z}^{2}=1}$이(가) 있는 점은 순수 상태를 나타내며$$, 혼합 상태는 내부 점으로 표현된다. 이것은 쿼비트 상태 공간의 Bloch 구체 그림으로 알려져 있다.

예: 빛 양극화

순수한 상태와 혼합된 상태의 예는 빛 양극화다. 개별 광자는 직교 양자 상태 ${\displaystyle R\mathrm{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \mathrm$ {$R} \rangele }$ 또는$$ ${\displaystyle L\mathrm{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \l} \rangele }$에 의해 설명되는 오른쪽 또는 왼쪽 원형의 양극화를 가진 것으로 설명할 수 있다. 이 광자는 두 가지 상태의 중첩 위치: ${\displaystyle \alpha \mathrm{}}$ R${\displaystyle ⟩}$+ ${\displaystyle \beta }$ $\d.$$\mathrm {R} \rangele +\beta \mathrm {L} \rangele }($${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$+ ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \alpha ^{2}+ \beta ^{2}=1})$은 선형, 원형 또는 타원형 양극화에 해당한다. Consider now a vertically polarized photon, described by the state ${\displaystyle \mathrm {V} \rangle =( \mathrm {R} \rangle + \mathrm {L} \rangle )/{\sqrt {2}}}$. If we pass it through a circular polarizer which allows either only ${\displaystyle \mathrm {R} \rangle }$ polarIged liged light 또는 L${\displaystyle l\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm$ {$L} \rangele }$ 극광자$$ 중 절반은 두 경우 모두에 흡수된다. This may make it seem like half of the photons are in state ${\displaystyle \mathrm {R} \rangle }$ and the other half in state ${\displaystyle \mathrm {L} \rangle }$, but this is not correct: if we pass ${\displaystyle ( \mathrm {R} \rangle + \mathrm {L} \rangle )/{\sqrt {2$$}}}}}$ 선형 편광기는 전혀$$ 흡수되지 않지만 상태 ${\displaystyle R\mathrm{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \mathrm$ {$R} \rangele }$ 또는$$ ${\displaystyle L\mathrm{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \mathrm {L} \rangele}}$ 중 하나를 통과하면 광자의 절반이$$ 흡수된다.

극성이 없는 빛(백열등 전구의 빛 등)은 ${\displaystyle \alpha \mathrm{}}$ R${\displaystyle ⟩}$ + ${\displaystyle \beta \mathrm{}}$ L ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \alpha \mathrm$ {$R} \rangele +\beta \mathrm {L} \rangele}($선형, 원형 또는 타원형 양극화) 형식의 어떤 상태로도 설명할 수 없다. 편광광과 달리 편광기의 방향성이 어떻든 50%의 강도로 손실되는 편광기를 통과하며, 어떤 웨이브 플레이트를 통과해도 편광을 만들 수 없다. 단, 비극광은 통계적 앙상블(예: 각 광자가 R${\displaystyle probability\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm$ {$R} \rangele }$ 양극화$$ 또는 ${\displaystyle 확률\mathrm{}}$ 1/2을 갖는 L${\displaystyle }${$${\$displaystyle \mathrmatrm {L$} $\rangele}$ 양극화를$$ 갖는 경우)으로 설명할 수 있다. 각 광자가 확률 1/2의$$ 수직 ${\displaystyle 양극화\mathrm{}}$ V${\displaystyle }${ ${\displaystyle \mathrm$ {$V} \rangele }$ 또는$$ 수평 ${\displaystyle 양극화\mathrm{}}$ H ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \mathrm {H} \rangele }$을(를) 갖는 경우에도 동일한 동작이 발생할 수 있다. 이 두 앙상블은 실험적으로 완전히 구별할 수 없기 때문에 동일한 혼합 상태로 간주된다. 이 비극광의 예에서 밀도 연산자는 동일하다^{[6]: 75} .

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}} \mathrm {R} \rangle \langle \mathrm {R} +{\frac {1}{2}} \mathrm {L} \rangle \langle \mathrm {L} ={\frac {1}{2}} \mathrm {H} \rangle \langle \mathrm {H} +{\frac {1}{2}} \mathrm {V} \rangle \langle \mathrm {V} ={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

또 다른 비극광 생성 방법도 있다. 한 가지 가능성은 광자의 준비 과정에서 불확실성을 도입하는 것이다. 예를 들어 광자의 표면이 거친 바이얼링 크리스털을 통과하여 광선의 약간 다른 부분이 서로 다른 편광을 획득하도록 하는 것이다. 또 다른 가능성은 얽힌 상태를 사용하는 것이다: 방사능 붕괴는 양자 상태$({\displaystyle R\mathrm{},}$ ${\displaystyle L\mathrm{}+}$ + L${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle R\mathrm{})}$ )${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$(\$mathrm,$ {$R},\mathrm,$ {$L} \rangele$ + \$mathrm,$ {$R},\$sqrt{2})에서 반대$방향$으로 이동하는$$두 광자를 방출할 수 있다$.$ 두 광자가 함께 있는 관절 상태는 순수하지만, 관절 밀도 행렬의 부분적인 추적을 통해 발견된 각각의 광자에 대한 밀도 행렬은 완전히 혼합되어 있다.^{[4]: 106}

등가 앙상블 및 정화

주어진 밀도 연산자는 어떤 순수한 상태의 앙상블이 그것을 발생시키는지 독특하게 결정하지 않는다. 일반적으로 동일한 밀도 매트릭스를 생성하는 무한히 많은 다른 앙상블들이 있다.^[8] 그것들은 어떤 측정으로도 구별할 수 없다.^[9] 등가 앙상블은 완전히 특징지어질 수 있다:${\displaystyle }${${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}\psi {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ $}$ {\$displaystyle$\{$p_{j},$ \$psi _${j$$$}\rangle$\}}}}}}. 그런 다음 $U{\displaystyle {}^{}}$i ${\displaystyle U}$ = I {\$displaystyle$ U$^{\daugger$}{{{$$$q_{i}, \displaystyle \}$에 의해 정의되는$$ 복잡한 매트릭스 U {\$displaystyle$U}에 대해 앙상블${\displaystyle }${${\displaystyle q_{}}$,$φ$ $\displaysty \{i}}}}}}}}}}}}}$에 의해 정의된다.

${\displaystyle {\sq_{i}}\왼쪽 \varphi _{i}\rigle =\sum _{j}U_{ij}{\sqrt {p_{j}}\왼쪽 \psi _{j}\rigle }$

동일한 밀도 연산자를 발생시킬 것이며, 모든 등가 앙상블은 이 형태다.

밀접하게 관련된 사실은 주어진 밀도 연산자가 무한히 많은 서로 다른 정화들을 가지고 있다는 것인데, 이것은 부분적인 추적을 취할 때 밀도 연산자를 생성하는 순수한 상태인 것이다. 내버려두다

$\displaystyle \rho =\sum _{j} \nowle \langle \langle \langle \langle \langle \langle \j}}}$

앙상블${\displaystyle }${${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{\psi j}_{}}$ j ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$\{$p_{j}, \display_{j}\rangele$ $\backslash \}\}$에 의해 생성되는 밀도 연산자임. 상태 ${\displaystyle j_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$⟩$${\$displaystystyle \psi_{j}\rangele$}이 반드시 직교하는 것은$$ 아니다. 그러면 모든 부분 $등위부{\displaystyle }$ U ${\displaystyle U}$에 대해 다음이 있다.

${\displaystyle \psi \rangele =\sum _{j}{\sqrt{p_{j}} \psi _{j}\rangele U a_{j}\rangele }}}$

$\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho}$의 정화로서$,$ ${\displaystyle {여기}_{}}$서 ${\displaystyle j{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{j}\rangele }$은 직교 기준이며$$, 나아가 $all{\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho}$의 모든 정화는 이 형식이다$$.

측정

${\displaystyle A}$을(를) 시스템을 관찰할 수 있도록$$ 하고 앙상블이 혼합 상태에 있다고 가정하여 각 순수 상태 ${\displaystyle states{}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$\psi $_{j}\angle }}}$이(가) $확률{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ j$${\$displaystystyle p_{j}}$와 함께 발생한다고$$ 가정하십시오$.$ 그런 다음 해당 밀도 측정 시스템이 동일하다.

${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j} \nangle \langle \langle \langle \langle \langle \langle \langle \res$

측정의 기대값은 순수 상태의 경우에서 확장하여 계산할 수 있다.

${\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{j}p_{j}\langle \psi _{j} A \psi _{j}\rangle =\sum _{j}p_{j}\operatorname {tr} \left( \psi _{j}\rangle \langle \psi _{j} A\right)=\operatorname {tr} \left(\sum _{j}p_{j} \psi _{j}\rangle \langle \psi _{j} A\right)=\operatorname {tr} (\rho A),}$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{tr}}$ ${\displaystyle \propertname {tr}은($는) 추적을 의미한다$$. 따라서 순수한 상태의$$ 익숙한 ${\displaystyle \mathrm{표현}}$인 $⟨{\displaystyle }$ A${\displaystyle }$= =${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle ⟩}$ { { { { ${\displaystyle \langle A\rangele =\langle \psi$A$\psi \rangle }$은(으)로 대체된다.

${\displaystyle \langle A\rangle =\operatorname {tr}(\rho A)}$

혼혈의^{[6]: 73}

또한 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$}$의 스펙트럼 분해능이 있는$$ 경우

${\displaystyle A=\sum _{i}a_{i}P_{i}}$

여기서 P ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 ${\displaystyle {고유값}_{}}$ a$${\$displaystyle a_{i}$에 해당하는 eigenspace에 대한 투영 연산자로$,$ 측정 후 밀도 연산자는 다음과^[10][11] 같다.

${\displaystyle \rho \rho_{i}={\frac {P_{i}\rho P_{i}}}{tr}{tr} \reft[\rho P_{i}\right]}}}}}}$

결과가 나오면 측정 결과를 알 수 없는 경우, 앙상블은 대신 다음과 같이 설명된다.

${\displaystyle \;\rho '=\sum_{i}P_{i}\rho P_{i}.}$

측정 결과의 확률을 프로젝터 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 선형 함수라고 가정할 경우, 밀도 연산자와 함께 프로젝터의 추적에 의해 측정 결과를 제공해야 한다$.$ 글리슨의 정리는 힐베르트의 차원 3 이상의 공간에서는 선형성의 가정이 비일관성의 가정으로 대체될 수 있음을 보여준다.^[12] 차원에 대한 이러한 제한은 POVM에 대해서도 비일관성을 가정함으로써 제거할 수 있지만,^[13][14] 이는 물리적으로 동기부여가 되지 않는다는 비판을 받아왔다.^[15]

엔트로피

혼합물의$$ 폰 노이만 엔트로피 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$은(는) $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho}$의 고유값 또는$$ 밀도 연산자 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaysty \rho}$의 추적 및 로그의 측면에서 표현할 수 있다.$$$\rho {\displaystyle }$ ${\displaystysty \rho}$은 양의 반정의 연산자이므로 spectrhinite s 분광분해산자가 있다.uch that ${\displaystyle \rho =\textstyle \sum _{i}\lambda _{i} \varphi _{i}\rangle \langle \varphi _{i} }$, where ${\displaystyle \varphi _{i}\rangle }$ are orthonormal vectors, ${\displaystyle \lambda _{i}\geq 0}$, and ${\displaysty$$\textstyle \sum \lambda _{i}=1$ 그러면$$ 밀도 $행렬$이 ${\displaystyle \rho}$인 양자 시스템의 엔트로피는

${\displaystyle S=-\sum _{i}\lambda _{i}\ln \lambda _{i}=-\operatorname {tr}(\rho \ln \rho).}$

이 정의는 어떤 순수한 상태의 폰 노이만 엔트로피가 0임을 암시한다.^{[16]: 217} $\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$이 직교 서브공간을 지원하는 상태라면$$, 이러한 상태의 볼록한 조합의 폰 노이만 엔트로피,

${\displaystyle \rho =\sum _{i}\rho _{i}}}$

${\displaystyle {주의}_{}}$ 폰 노이만 엔트로피$($Von Neumann 엔트로피) ent i {\$displaystyle \rho_{i}$ 및 확률 분포 p ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ :

${\displaystyle S(\rho )=H(p_{i})+\sum _{i}p_{i}S(\rho_{i}).}$

상태 $\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$가 직교 지지대를 갖지 않을$$ 때, 우측의 합은 볼록 결합 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho}$의 폰 노이만 엔트로피보다 엄격히 크다$.$^{[4]: 518}

이전 섹션에서와 같이 밀도 $연산자{\displaystyle }$ { ${\displaystyle \rho }$과(와) 투영 측정값을 지정하면 볼록 결합에 의해 정의된$$ 상태${\displaystyle {}^{}}\rho {\displaystyle {}^{}}$ ${\$

${\displaystyle \rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i}}}$

상태가 측정을 실시하지만 결과 occurred,[7]기록하지 않생산된 어느:159, 만약 ρ)ρ′{\displaystyle \rho =\rho의}. 그러나 그 ρ에게는 충분히 가능한 것이다′{\displaystyle \rho의}를 gen.에 의해 생산된 제외하고는 폰 노이만 entropy 그ρ{\displaystyle \rho}의 보다 많은 해석될 수 있eralized $measurement{\displaystyle }$ {\$displaystyle \rho }$보다 낮은 폰 노이만 엔트로피를 갖기 위한 측정 또는 POVM$.$^{[4]: 514}

시간 진화를 위한 폰 노이만 방정식

슈뢰딩거 방정식이 순정 상태가 시간 속에서 어떻게 진화하는가를 설명하는 것처럼, 폰 노이만 방정식(Liouville-von Neumann 방정식이라고도 한다)은 밀도 연산자가 시간 속에서 어떻게 진화하는가를 설명한다. 폰 노이만 방정식은 그것을^[17][18][19] 지시한다.

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \rho }{\partial t}=[H,\rho ]~,}$

여기서 괄호는 정류자를 나타낸다.

이 방정식은 처음에는 하이젠베르크 그림에서 운동의 하이젠베르크 방정식을 에뮬레이트하는 것처럼 보였지만, 이 방정식은 밀도 연산자를 슈뢰딩거 그림으로 찍은 경우에만 유지되며, 중요한 신호 차이는 다음과 같다.

${\displaystyle i\hbar {\frac {dA^{(\mathrm {H} )}}}}{dt}=-\left[H,A^{(\mathrm {H} )}\right],},}$

where ${\displaystyle A^{(\mathrm {H} )}(t)}$ is some Heisenberg picture operator; but in this picture the density matrix is not time-dependent, and the relative sign ensures that the time derivative of the expected value ${\displaystyle \langle A\rangle }$ comes out the same as in the Schrödinger picture.^[3]

해밀턴인이 시간에 구애받지 않는다면 폰 노이만 방정식을 쉽게 풀어서 양보할 수 있다.

${\displaystyle \rho (t)=e^{-iHt/\hbar }\rho (0)e^{iHt/\hbar }}$

보다 일반적인 해밀턴주의자의 $경우{\displaystyle }$,${\displaystyle }$G (${\displaystyle t}$ )$${\$displaystyle G(t)}$이(가) 특정 간격에 걸친 파동함수 전파자라면$$, 동일한 간격에 걸친 밀도 행렬의 시간 진화는 다음에서 주어진다.

${\displaystyle \rho(t)=G(t)\rho(0)G(t)^{\daugger }}$

위그너 기능과 고전적 유사점

밀도 매트릭스 연산자는 위상 공간에서도 실현될 수 있다. 위그너 지도에서 밀도 행렬은 등가 위그너 함수로 변환된다.

${\displaystyle W(x,p)\,\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \,{\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x+y)\psi (x-y)e^{2ipy/\hbar }\,dy.}$

모얄 방정식으로 알려진 위그너 함수의 시간 진화 방정식은 위 폰 노이만 방정식의 위그너 변환식이다.

${\displaystyle {\frac {\partial W(x,p,t)}{\partial t}=-\\{W(x,p,t)\}H(x,p)\}}$

여기서 $H{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, $){\displaystyle H(x,p)}$는 해밀턴어, {${\displaystyle \{}$,${\displaystyle }$⋅${\displaystyle }$}${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{\\cdot ,\cdot \}\}}}}}}}}$는 양자 정류자의 변환인 모얄 브래킷이다.

위그너 함수의 진화 방정식은 고전적 한계인 고전물리학의 리우빌 방정식과 유사하다. Planck의 상수 $\hslash {\displaystyle }${\$displaystyle \hbar$}${\displaystyle }$, W${\displaystyle (x}$, p${\displaystyle }$, $t{\displaystyle }$) {\$displaystyle W(x,p$,t$)}$이(가) 위상 공간의 고전적인 Louville 확률 밀도 함수로 감소한다$$.

응용 프로그램 예

밀도 행렬은 양자 역학의 기본 도구로, 적어도 거의 모든 종류의 양자 기계식 계산에서 가끔 나타난다. 밀도 행렬이 특히 유용하고 일반적인 몇몇 구체적인 예는 다음과 같다.

• 통계 역학은 시스템이 0이 아닌 온도에서 준비된다는 생각을 표현하기 위해 밀도 행렬을 가장 두드러지게 사용한다. Constructing a density matrix using a canonical ensemble gives a result of the form ${\displaystyle \rho =\exp(-\beta H)/Z(\beta )}$, where ${\displaystyle \beta }$ is the inverse temperature ${\displaystyle (k_{\rm {B}}T)^{-1}}$ and ${\displaystyle H}$ is the syst엠은 해밀턴이야 The normalization condition that the trace of ${\displaystyle \rho }$ be equal to 1 defines the partition function to be ${\displaystyle Z(\beta )=\mathrm {tr} \exp(-\beta H)}$. If the number of particles involved in the system is itself not certain, then a grand canonical ensemble can be applied, where 밀도 행렬을 Fock 공간에서 추출하도록 요약된 상태.^{[20]: 174}
• 양자 해독 이론은 일반적으로 비절연 양자 시스템이 측정 기구를 포함한 다른 시스템과 얽혀 발전하는 것을 포함한다. 밀도 행렬은 공정을 설명하고 그 결과를 계산하는 것을 훨씬 더 쉽게 만든다. 양자 해독은 환경과 상호작용하는 시스템이 상상을 나타내는 순수한 상태에서 고전적 대안의 일관성 없는 조합인 혼합 상태로 전환되는 이유를 설명한다. 이러한 전환은 근본적으로 되돌릴 수 있는데, 이는 시스템과 환경의 결합 상태가 여전히 순수하기 때문이다. 그러나 환경은 매우 크고 복잡한 양자 시스템이며, 이들의 상호작용을 되돌릴 수 없기 때문이다. 따라서 탈착성은 양자역학의 고전적 한계를 설명하는데 매우 중요하지만, 모든 고전적 대안이 여전히 혼합 상태에 존재하고, 파동함수 붕괴는 그 중 하나만 선택하기 때문에 파동함수 붕괴를 설명할 수는 없다.^[21]
• 마찬가지로 양자 계산, 양자 정보 이론, 개방형 양자 시스템, 그리고 상태 준비가 시끄럽고 정합성이 떨어질 수 있는 다른 분야에서도 밀도 행렬이 자주 사용된다. 노이즈는 종종 탈극화 채널 또는 진폭 댐핑 채널을 통해 모델링된다. 양자 단층촬영은 양자 측정의 결과를 나타내는 일련의 데이터를 감안할 때 그러한 측정 결과와 일치하는 밀도 행렬을 계산하는 과정이다.^[22][23]
• 원자나 분자와 같이 전자가 많은 시스템을 분석할 때 불완전하지만 유용한 첫 번째 근사치는 전자를 상관관계가 없거나 각각 독립적인 단일 입자 파동 기능을 가진 것으로 취급하는 것이다. 이것은 Hartree에서 슬레이터 결정 인자를 만들 때 일반적인 시작점이다.포크 방식. $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 단일 입자$$ 파장 기능 ${\displaystyle \psi {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ i ${$ {\$displaystyle \psi _{i}\rangele$ $\}\}$을(를) 채우는 N$${\$displaystyle N}$ 전자의$$$$ 집합은 $\underset{}{\overset{}{밀도}}$ 행렬 $\underset{}{\overset{}{=}}$ $\underset{}{\overset{}{\mathrm{i}}}$ = 1 $\underset{}{\overset{}{}}$ ⟩ $i_{}$ $⟨$ i ${}_{}$ $i_{}$ $texty$}로 특징지어질 수 있다.$\sum _{i=1}^{N} \psi _{i}\angle \langle \psi _{i$$$.

C*-알지브라질 상태의 공식화

이제 모든 자기 적응 연산자가 관측가능성을 나타내는 양자역학의 설명은 일반적으로 받아들여지지 않는다.^[24][25] 이러한 이유로 관측 가능성은 추상 C*-알지브라 A의 요소( 연산자의 대수로서 뚜렷한 표현이 없는 요소)로 식별되며 상태는 A의 양의 선형 함수다. 하지만, GNS 건설을 통해 우리는 A를 운영자의 하위 상징으로 실현하는 Hilbert 공간을 복구할 수 있다.

기하학적으로 C*-알지브라 A의 순수 상태는 A의 모든 상태 집합의 극한점이다. GNS 건설의 특성에 의해 이들 상태는 A의 불가해한 표현에 해당한다.

콤팩트 연산자 K(H)의 C*-알지브라 상태는 밀도 연산자와 정확히 일치하며, 따라서 K(H)의 순수 상태는 양자역학이라는 의미에서 정확히 순수 상태라고 할 수 있다.

C*-알지브라질 공식은 고전적 시스템과 양자 시스템을 모두 포함하는 것으로 볼 수 있다. 시스템이 고전적일 때, 관측 가능성의 대수학은 아벨리안 C*-알지브라(Abelian C*-algebra)가 된다. 그 경우 국가는 확률 측도가 된다.

역사

밀도 연산자와 행렬의 형식주의는 1927년 존 폰 노이만^[26](John von Neumann)에 의해 도입되었고, 독립적이지만 덜 체계적으로 레프 랜도(Lev Landau^[27])에 의해 도입되었고, 이후 1946년 펠릭스 블로흐(Felix Bloch)에 의해 도입되었다.^[28] 폰 노이만은 양자 통계 역학과 양자 측정 이론을 모두 발전시키기 위해 밀도 행렬을 도입했다. 이름 밀도 행렬 자체는 1932년 위그너에 의해 도입된 고전적 통계 역학에서 위상 공간 확률 측정(위치 및 운동량의 확률 분포)에 대한 고전적 대응과 관련이 있다.^[1]

이와는 대조적으로 랜다우에 영감을 준 동기는 복합 양자 시스템의 서브시스템을 상태 벡터에 의해 기술하는 것이 불가능했다.^[27]

참고 항목

참고 및 참조