연산자 이론

수학에서, 연산자 이론은 미분 연산자와 적분 연산자로 시작하는 함수 공간에 대한 선형 연산자의 연구입니다.연산자는 유계 선형 연산자 또는 닫힌 연산자와 같은 특성에 의해 추상적으로 표시될 수 있으며 비선형 연산자를 고려할 수 있다.함수 공간의 토폴로지에 크게 의존하는 연구는 함수 분석의 한 분야입니다.

만약 연산자의 집합이 어떤 장에 걸쳐 대수를 형성한다면, 그것은 연산자 대수이다.연산자 대수의 설명은 연산자 이론의 일부이다.

단일 연산자 이론

단일 연산자 이론은 한 번에 하나씩 고려되는 연산자의 특성과 분류를 다룬다.예를 들어 스펙트럼 측면에서 정상 연산자의 분류는 이 범주에 속한다.

연산자의 스펙트럼

스펙트럼 정리는 선형 연산자 또는 ^[1]행렬에 대한 여러 결과 중 하나입니다.넓은 관점에서 스펙트럼 정리는 연산자 또는 행렬을 대각화할 수 있는 조건(즉, 어떤 기준에서는 대각 행렬로 표현)을 제공한다.이 대각화 개념은 유한 차원 공간의 연산자에게 비교적 간단하지만 무한 차원 공간의 연산자에 대해서는 약간의 수정이 필요하다.일반적으로 스펙트럼 정리는 곱셈 연산자에 의해 모델링될 수 있는 선형 연산자의 클래스를 식별하며, 이는 찾을 수 있는 만큼 단순하다.좀 더 추상적인 언어로, 스펙트럼 정리는 가환 C*-대수에 대한 진술이다.역사적 관점에 대해서는 스펙트럼 이론도 참조한다.

스펙트럼 정리가 적용되는 연산자의 예로는 힐베르트 공간의 자기접합 연산자 또는 보다 일반적으로 정규 연산자가 있다.

스펙트럼 정리는 또한 연산자가 작용하는 기본 벡터 공간의 스펙트럼 분해, 고유값 분해 또는 아이젠드 분해라고 불리는 표준 분해를 제공합니다.

일반 연산자

복소수 힐버트 공간 H 위의 정규 연산자는 은둔자 인접 N*, 즉 NN* = N*^[2]N과 통신하는 연속 선형 연산자 N : H → H이다.

정규 연산자는 스펙트럼 정리가 이들을 지탱하기 때문에 중요하다.오늘날에는 일반 연산자의 클래스가 잘 알려져 있습니다.정규 연산자의 예는 다음과 같습니다.

• 유니터리 연산자:N* = N⁻¹
• 에르미트 연산자(즉, 자기접합 연산자:N* = N. 또한 반자기접합 연산자:N* = -N)
• 양수 연산자: N = MM*
• 정규 행렬은 힐베르트 공간을 C로ⁿ 하면 정규 연산자로 볼 수 있습니다.

스펙트럼 정리는 보다 일반적인 종류의 행렬로 확장된다.A를 유한 차원 내적 공간상의 연산자로 하자.A는 A = A이면^** 정상이라고 한다.A가 정상이라는 것은 A가 단일 대각선화 가능한 경우에만 알 수 있습니다.Schur 분해에 의해 A = U T U가^* 되며, 여기서 U는 유니터리이고 T는 상부-구형이다.A가 정상이므로 T T^* = T^* T이다.따라서 정규 상위 삼각 행렬은 대각 행렬이므로 T는 대각 행렬이어야 합니다.그 반대는 명백하다.

즉, A는 다음과 같은 유니터리 행렬 U가 존재하는 경우에만 정상이다.

여기서 D는 대각행렬입니다.그런 다음 D의 대각선 항목이 A의 고유값입니다.U의 열 벡터는 A의 고유 벡터이며 직교 정규 벡터입니다.Hermitian의 경우와 달리 D의 엔트리는 실재할 필요가 없습니다.

극성 분해

복소 힐베르트 공간 사이의 경계 선형 연산자 A의 극성 분해는 부분 등각학과 비음성 ^[3]연산자의 산물로서 정규 인수 분해이다.

행렬의 극성 분해는 다음과 같이 일반화된다. A가 유계 선형 연산자일 경우, A의 고유한 인수분해는 곱 A = UP로서 존재하며, 여기서 U는 부분 등각학이고, P는 음이 아닌 자기 점 연산자이고, U의 초기 공간은 P의 범위의 폐쇄이다.

연산자 U는 다음과 같은 문제로 인해 단일이 아닌 부분 등각계로 약화되어야 한다.A가 l(N)의² 단측 이동이면 A = (A*A)^1/2 = I입니다. 따라서 A = U A이면 U는 A여야 하며, 이는 단일하지 않습니다.

극성 분해의 존재는 더글러스의 보조개념의 결과이다.

연산자 C는 C(Bh) = Ah로 정의할 수 있으며, Ran(B)의 닫힘에 대한 연속성으로 확장하고 Ran(B)의 직교 보수에 0으로 정의할 수 있습니다.연산자 C는 A*A b B*B가 Ker(B) ker Ker(A)를 의미하기 때문에 적절하게 정의되어 있습니다.그 후 보조군도 따라갑니다.

특히 A*A = B*B일 경우 C는 부분등각계이며 Ker(B*) ker Ker(C)일 경우 고유하다.일반적으로, 모든 유계 연산자 A에 대해,

여기서 (A*A)^1/2는 일반적인 함수 미적분에 의해 주어진 A*A의 고유한 양의 제곱근이다.그래서 보조군단에 의해, 우리는일부 등각 U의 경우 Ker(A) ker Ker(U)일 경우 고유합니다.(Ker(A) = Ker(A*A) = Ker(B) = Ker(B*)에 주의해 주세요.여기서 B = B* = (A*A))^1/2P를 (A*A)^1/2로 하고 극분해 A = UP를 구한다.유사한 인수를 사용하여 A = P'U'를 나타낼 수 있습니다. 여기서 P'는 양수이고 U'는 편등각이다.

H가 유한 차원일 경우 U는 단일 연산자로 확장될 수 있습니다. 이는 일반적으로 사실이 아닙니다(위의 예 참조).또는 극분해는 특이치 분해 연산자 버전을 사용하여 나타낼 수 있다.

연속함수 미적분의 성질에 의해 A는 A에 의해 생성된 C*대수에 있다.부분 등각계에 대해서도 비슷하지만 약한 문장이 존재한다: 극부 U는 A에 의해 생성된 폰 노이만 대수이다.A가 반전 가능한 경우 U는 A에 의해 생성된 C*대수에도 포함됩니다.

복잡한 분석과의 관련성

연구되는 많은 연산자는 홀모픽 함수의 힐베르트 공간상의 연산자이며, 연산자에 대한 연구는 함수 이론의 질문과 밀접하게 연결되어 있다.예를 들어, 뷰링의 정리는 내부 함수의 관점에서 일방 이동의 불변 부분 공간을 기술하는데, 내부 함수는 원상의 거의 모든 곳에 단모듈형 경계 값을 가진 단위 디스크 상의 유계 홀모픽 함수이다.뷰링은 일방적 이동을 하디 ^[4]공간상의 독립 변수에 의한 곱셈으로 해석했다.곱셈 연산자, 그리고 보다 일반적으로 토플리츠 연산자(곱셈 후 하디 공간에 투영)의 성공은 버그만 공간과 같은 다른 공간에 대한 유사한 질문에 대한 연구에 영감을 주었다.

연산자 대수

연산자 대수의 이론은 C*-대수와 같은 연산자의 대수를 전면에 내세운다.

C*-algebras

C*-대수 A는 지도 * : A → A와 함께 복소수 장에 걸친 바나흐 대수이다.A의 요소 x의 이미지에는 x*를 쓴다.맵 *에는 다음 ^[5]속성이 있습니다.

• 이것은 A의 모든 x에 대한 혁명이다.
  $${\displaystyle x^{*}=(x^{*})^{*}=x}$$

  
• A의 모든 x, y에 대해:
  $${\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}}$$

  
  $${\displaystyle(xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$$

  
• C의 모든 µ 및 A의 모든 x에 대해:
  $${\displaystyle(\displayda x)^{*}=오버라인(\displayda }}x^{*}).}$$

  
• A의 모든 x에 대해:
  $$\displaystyle \x^{*}x=\left\x\right\x^{*}\right.}$$

  

비고. 처음 3개의 신원은 A가 *-대수라고 합니다.마지막 아이덴티티는 C* 아이덴티티라고 불리며 다음과 같습니다.

C* 아이덴티티는 매우 강력한 요건입니다.예를 들어 스펙트럼 반지름 공식과 함께 C*-노름은 대수 구조에 의해 고유하게 결정된다는 것을 의미한다.

「 」를 참조해 주세요.

• 불변 부분 공간
• 함수 미적분
• 스펙트럼 이론
  • 형식주의 해결
• 콤팩트 연산자
  • 프레드홀름 적분 방정식 이론
    • 적분 연산자
    • 프레드홀름 연산자
• 자기접속 연산자
• 무한 연산자
  • 미분 연산자
• 추석
• 수축 매핑
• 힐베르트 공간상의 양의 연산자
• 부분 순서 벡터 공간에 음수가 아닌 연산자

레퍼런스

추가 정보

• 콘웨이, J.B:기능분석 과정, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5
• Yoshino, Takashi (1993). Introduction to Operator Theory. Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-0582237438.

외부 링크

• 연산자 이론의 역사