포스트니코프 제도

대수적 위상의 한 분야인 호모토피 이론에서 포스트니코프 시스템(또는 포스트니코프 타워)은 위상학적 공간의 호모토피 집단을 분해하는 방법이다. 위상학적 공간은 도 $k{\displaystyle }$ ${\displaysty$ k$}$의 호모토피 타입이 원래 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaysty X$의 잘린 호모토피 유형과 일치한다$$.오스트니코프 시스템은 미하일 포스트니코프에 의해 도입되었고, 그 이름을 따서 명명되었다.

정의

경로 연결 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 포스트니코프 시스템은 공간의$$ 역방향 시스템이다.

${\displaystyle \cdots \to X_{n}\xrightarrow {p_{n1}\xrightarrow {p_{3}\cdots \xrightarrow {p_{1}X_{1}\xrightarrow {p_{1}*}$

일련의 지도 ${\displaystyle {\varphi n}_{}}$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$과(와) 역계(역계)와$$ 호환되는 다음과 같은 방법으로

1. The map ${\displaystyle \phi _{n}\colon X\to X_{n}}$ induces an isomorphism ${\displaystyle \pi _{i}(X)\to \pi _{i}(X_{n})}$ for every ${\displaystyle i\leq n}$.
2. ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$X ${\displaystyle n_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}$ i > n ${\displaystyle i>n$^{[1]: 410}
3. Each map ${\displaystyle p_{n}\colon X_{n}\to X_{n-1}}$ is a fibration, and so the fiber ${\displaystyle F_{n}}$ is an Eilenberg–MacLane space, ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$.

처음 두 ${\displaystyle {조건}_{}}$은 $X{\displaystyle {}_{}}$ 1 ${\$}:{1} 역시 $K{\displaystyle (}$ ${\displaystyle {\pi \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle K(\pi _{1}(X),1)$-space임을$$ 의미한다$$.More generally, if ${\displaystyle X}$ is ${\displaystyle (n-1)}$-connected, then ${\displaystyle X_{n}}$ is a ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$-space and all ${\displaystyle X_{i}}$ for ${\displaystyle i<n}$ are contractible.세 번째 조건은 일부 저자에 의해서만 선택적으로 포함되어 있다는 점에 유의하십시오.

존재

포스트니코프 시스템은 연결된 CW 콤플렉스에 존재하며,^{[1]: 354} $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$와 그 역한계 사이에 호모토피 등가성이 약하므로

${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \simeq }$ ${\displaystyle \underset{}{\lim }}$ lim${\displaystyle \underset{}{}}$lim${\displaystyle {lim}_{}}$ X$$n {\$displaystyle$X\$simeq \varprojlim{}X_{$n$\}\}\},$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 역한계의 CW 근사치임을 보여준다.그것들은 반복적으로 호모토피 그룹을 죽임으로써 CW 단지에 건설될 수 있다.If we have a map ${\displaystyle f\colon S^{n}\to X}$ representing a homotopy class ${\displaystyle [f]\in \pi _{n}(X)}$, we can take the pushout along the boundary map ${\displaystyle S^{n}\to e_{n+1}}$, killing off the homotopy class.Xm{\displaystyle X_{m} 들어}이 과정은 모든 n을을 위해;, n(Xm){\displaystyle \pi_{n}(X_{m})}π는 호모토피 그룹 사라지고 있는 공간을 제공하는 관계는 Xn1{\displaystyle X_{n-1}−}X에서 n{X_\displaystyle 건설해야 할 수 있m{\displaystyle n>입니다 나이}반복할 수 있다.{n}}$$ 모든 호모토피 지도 S ${\displaystyle n^{}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ S$^{n}\to X_{n$ 지도 $X{\displaystyle {}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$→ X ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$n}\$to X_{$n-1}를 제거함으로써 지도 X ${\displaystyle n_{}}$ → ${\displaystyle {}_{}}$ n을 $얻는다$

주재산

코호몰리를 계산하면서 연구할 수 있게 하는 포스트니코프 타워의 주요 특성 중 하나는 공간 ${\displaystyle {Xn}_{}}$ ${\$이 CW ${\displaystyle {복합체}_{}}$ $X{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ n ${\displaystyle{\mathfak{X}_{n}}}}$와 동일시적이기$$ 때문에$$ ${\displaystyle \mathrm{차원}}$ $\ge {\displaystyle \mathrm{n}}$ +${\displaystyle }$2의 셀만으로$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaysty X}$과 다르다는 것이다.$\displaystyle \geq n+2$

섬유질 호모토피 분류

섬유화의 순서 $p{\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$→ X ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$ -${\displaystyle 1_{}}$ ${\$$X_{n}\to X_{n-1}$ 지도$$^[2] ${\displaystyle p_{}}$ ${\$의 호모토피 클래스는$$균일하게 정의된 호모토피 유형${\displaystyle }$[${\displaystyle X}$]${\displaystyle \mathrm{ob}}$ Ob ${\displaystyle }$(${\displaystyle T}$ ${\displaystyle o}$ p$){\displaystyle [X]\in \operatorname {Ob}(hTop$$p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 호모토피 클래스는 ${\displaystyle \mathrm{섬유}}$ $K{\displaystyle ({\pi n}_{}}$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$, n${\displaystyle }$) ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}}$에 대한 분류 맵의 호모토피 클래스를 보는 데서 온다$$$.$ 관련 분류 맵은 다음과 같다.

${\displaystyle {}_{}X}$ ${\displaystyle n_{}}$ -${\displaystyle 1_{}}$→ B${\displaystyle }$( K (${\displaystyle \mathrm{\pi n}}$ (${\displaystyle {}_{}X}$)${\displaystyle }$, n${\displaystyle }$) )${\displaystyle \simeq }$ ${\displaystyle K}$( ${\displaystyle \mathrm{\pi n}{}_{}}$( X${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle n}$+ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle X_{n-1}\to B(K)(\pi _{n}(X)\simeq$ K$(\pi _{n},n+$1) $,,\},\},\},\},\},\},\},\},.$

따라서 호모토피 클래스${\displaystyle }$[${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle [p_{n}]}$은(는) 호모토피 클래스로 분류된다$$.

${\displaystyle [p_{n}]\in [X_{n-1}, K(\pi _{n}(X,n+1)]\cong H^{n+1}(X_{n-1},\pi _{n}(X))}$

Eilenberg-Maclane 공간에 대한 지도의 호모토피 클래스는 연관된 아벨리아 그룹의 계수와 함께 코호몰리를 제공하기 때문에 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 n번째 포스트니코프 불변성이라고 불린다$.$

두 개의 서로 다른 호모토피 그룹이 있는 공간에 대한 섬유 순서

호모토피 분류의 특별한 경우 중 하나가 진동이 있는 $공간$ X ${\displaystyle X}$의 호모토피 등급이다.

${\displaystyle K(A,n)\to X\to \pi _{1}(X)}$

giving a homotopy type with two non-trivial homotopy groups, ${\displaystyle \pi _{1}(X)=G}$, and ${\displaystyle \pi _{n}(X)=A}$. Then, from the previous discussion, the fibration map ${\displaystyle BG\to K(A,n+1)}$ gives a cohomology class in

${\displaystyle H^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$(${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$, A${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ H$^{n+1}(BG,A$

집단 코호몰로지 수업으로도 해석할 수 있다.이 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) 더 높은 로컬 시스템으로 간주할 수 있다$$.

Postnikov 타워의 예

K(G,n)의 포스트니코프 타워

Postnikov 타워의 개념적으로 가장 간단한 사례 중 하나는 Eilenberg-Maclane $공간{\displaystyle }$ K${\displaystyle }$(${\displaystyle G}$, $){\displaystyle K (G,n)}$의 그것이다$.$ 이것은 타워가 있는 것을 제공한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{i}\simeq *&{{\text{{i}}}i<n\\X_{i}\simeq K(A,n)&}{}}}{}i\text{i\geq n\end{matrix}}}}}}}}}}}}}}}$

S의² 포스트니코프 타워

구체 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 포스트니코프 타워는 처음 몇 개의 용어를 명시적으로 이해할 수 있는 특수한 경우다$$.Since we have the first few homotopy groups from the simply connectedness of ${\displaystyle S^{2}}$, degree theory of spheres, and the Hopf fibration, giving ${\displaystyle \pi _{k}(S^{2})\simeq \pi _{k}(S^{3})}$ for ${\displaystyle k\geq 3}$, hence

${\displaystyle {\begin{matrix}\pi _{1}(S^{2})=&0\\\pi _{2}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{3}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{4}(S^{2})=&\mathbb {Z} /2.\end{{11}}}$

그러면 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle K}$(${\displaystyle Z\mathbb{}}$, ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle X_{2}=S_{2}^{2}={2}=$K(\$mathb$ {$Z},2$ $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$은 풀백 시퀀스에서 나온다.

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{3}\to &*\\\downarrow &\\\\\x_{2}&\to &k(\mathb {Z},4),\end{matrix}}}}$

어느 것이 의 요소인가.

${\displaystyle [p_{3}]\in [K(\mathbb {Z} ,2),K(\mathbb {Z} ,4)]\cong H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })=\mathbb {Z} }$.

$만약{\displaystyle {}_{}}$ 이것이 사소한 것이었다면, X ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}(}$ ${\displaystyle K}$ ( ${\displaystyle \mathrm{Z}}$,${\displaystyle 2}$ ) ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle K\mathbb{}}$(${\displaystyle \mathrm{Z}}$ , 3 ) ${\displaystyle X_{3}\simeq K(\mathb {Z},2)\timeq$ K$(\mathb {Z},3$ 그러나, 이것은 그렇지 않다!사실, 이것은 왜 엄격한 무한대 그룹들이 호모토피 타입을 모형화하지 않는가에 대한 책임이 있다.^[3]이 불변량을 계산하려면 더 많은 작업이 필요하지만 명시적으로 찾을 수 있다.^[4]This is the quadratic form ${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$ on ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$ coming from the Hopf fibration ${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$. Note that each element in ${\displaystyle H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })}$ gives a dif최신형 호모토피 3종.

호모토피 구군

Postnikov 타워의 한 가지 적용은 구들의 호모토피 그룹의 연산이다.^[5]$n{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle n}$ -차원$$ 구체 ${\displaystyle S^{}}$ n ${\$ S$^{n}}$의 경우 후레위츠 정리를 사용하여 각 $Si{\displaystyle {}_{}^{}}$ n ${\$은(는) 의 호모토피 그룹이 사소한 것임을 함축하고 있으므로 각 ${\displaystyle {}_{}^{}}$<{\$displaystythet i>$에 대해 계약할$$ 수 있다모든 세레 진동에 대한 스펙트럼 시퀀스가 존재하는지 리콜(예: 진동)

${\displaystyle K(\pi _{n+1}(X),n+1)\simeq F_{n+1}\to S_{n+1}^{n}\to S_{n}^{n}\simeq K(\mathbb {Z} ,n)}$.

그런 $다음{\displaystyle {}^{}}$ E ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}} - terms로$$ 동역학적 스펙트럼 시퀀스를 형성할 수 있다.

${\$$H_{p}\왼쪽(K(\mathb {Z},n),$$H_{q}\왼쪽(K\pi _{n+1}\왼쪽(S^{n}\오른쪽),n+1\오른쪽)\오른쪽)}$.

${\displaystyle {그리고}_{}}$ nonn${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$(${\displaystyle {Sn}^{}}$) ${\$에 대한 첫 번째 비견적 지도$,$

${\displaystyle d_{0,n+1}^{n+1}\colon H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to H_{0}\left(K(\mathbb {Z} ,n),$$H_{n+1}\왼쪽(K\pi _{n+1}\왼쪽(S^{n}\오른쪽), n+1\오른쪽)\오른쪽$

로 동등하게 쓰여진.

${\displaystyle d_{0,n+1}^{n+1}\colon H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}$.

If it's easy to compute ${\displaystyle H_{n+1}\left(S_{n+1}^{n}\right)}$ and ${\displaystyle H_{n+2}\left(S_{n+2}^{n}\right)}$, then we can get information about what this map looks like.In particular, if it's an isomorphism, we obtain a computation of ${\displaystyle \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}$. For the case ${\displaystyle n=3}$, this can be computed explicitly using the path fibration for ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,3)}$, the main property of the Postnikov tower for ${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{4}\simeq S^{3}\cup \{{\text{cells of dimension}}\geq 6\}}$ (giving ${\displaystyle H_{4}(X_{4})=$$H_{5}(X_{4})=0}$, and the universal coefficient theorem giving ${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2}$. Moreover, because of the Freudenthal suspension theorem this actually gives the stable homotopy group ${\displaystyle \pi _{1}^{\mathbb {S} }}$ since ${\displaystyle {\pi }_{n+k}}$${\displaystyle ({Sn}^{}}$) ${\$)는 n$$$\}$ ${\displaystyle k}$ + 2 $displaystyle n\geq$k+2}에 대해 안정적이다$.$

Note that similar techniques can be applied using the Whitehead tower (below) for computing ${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)}$ and ${\displaystyle \pi _{5}\left(S^{3}\right)}$, giving the first two non-trivial stable homotopy groups of spheres.

Postnikov 스펙트럼

고전적인 포스트니코프 타워 외에도 스펙트럼에^{[6]pg 85-86} 의해 구성된 안정적인 호모토피 이론에 포스트니코프 타워라는 개념이 있다.

정의

$스펙트럼{\displaystyle }$ $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$의 경우 E ${\$$displaystyle E$${\displaystyle \}}$의 포스트니코프 타워는 ${\displaystyle \text{Ho}(\mathbf{\text{스펙트럼}}}$ ) {\$displaystyle{Ho}({\textbf {Spectra})}$에 의해 주어지는 스펙트럼의 호모토피 범주 내 다이어그램이다$.$

${\displaystyle \cdots }$→ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle 2_{}}$)${\displaystyle {}_{}\stackrel{}{}}$→ p ${\displaystyle \stackrel{}{{2\mathrm{}}_{}}}$ E${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle 1_{}{}_{}}$)${\displaystyle {}_{}\stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle \stackrel{}{p{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{1\mathrm{}}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}{}_{}}$( ${\displaystyle 0_{}{}_{}}$) ${\$}}$E_{$p_${1$}\$xrightarrow {p_{$1}{$0$

지도와 함께

${\displaystyle \tau _{n}\colon E\to E_{(n)}}$

${\displaystyle {pn}_{}}$ ${\$ 맵을$$ 사용한 통근.그 다음 두 가지 조건이 충족되면 이 탑은 포스트니코프 타워가 된다.

1. ${\displaystyle {\pi }_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$( ${\displaystyle E_{}}$(${\displaystyle {}_{}}$n${\displaystyle }$) = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pi$ _${i}^{\mathb {S} }}\좌측(E_{(n)}\우측)=0}$ > n ${\displaystystyle$ i$>n$
2. ${\displaystyle \left(\tau _{n}\right)_{*}\colon \pi _{i}^{\mathbb {S} }(E)\to \pi _{i}^{\mathbb {S} }\left(E_{(n)}\right)}$ is an isomorphism for ${\displaystyle i\leq n}$,

여기서 $\pi {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ ${\$은 스펙트럼의 안정적인 호모토피 그룹이다$$.모든 스펙트럼에는 Postnikov 타워가 있고 이 타워는 위에 주어진 것과 유사한 유도 절차를 사용하여 건설될 수 있다.

화이트헤드 타워

CW 콤플렉스 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을$($를) 부여받아, 화이트헤드 타워라고 불리는 포스트니코프 타워에 대한 이중구축이 있다.화이트헤드 타워는 모든 상위 호모토피 그룹을 죽이는 대신 반복적으로 하위 호모토피 그룹을 죽인다.이건 CW 단지의 탑이 주는 건데

${\displaystyle \cdots }$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$→ X ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}{}_{}}$→ X ${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X$

어디에

1. 하위 호모토피 그룹은 0이기 $때문$에 i${\displaystyle n}$ n$$${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}$의 경우 ${\displaystyle i_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$(\$displaysty i\leq n$
2. 유도 지도 $π$ ${\displaystyle i_{}}$ :${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$( X ${\displaystyle n_{}}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle i_{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle \pi _{i}\colon \pi \{i}(X_{n})\to \pi \{i}(X$$)$는 > n ${\displaystysty$i}에 대한 이형성이다
3. 지도 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$→ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$- 1 ${\$}, X_{n-1$}$는 $섬유{\displaystyle }$ K${\displaystyle (}$ ${\displaystyle {nn}_{}}$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$,${\displaystyle n}$ - $){\displaystyle K(\pi _{n}(X),n-1)$를 사용한 섬유다$.$

시사점

$공지사항{\displaystyle {}_{}}$ X ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{1}\to X}$은(는) 간단히 연결된 커버 공간이기 때문에 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 범용 커버다.또한 각 ${\displaystyle X_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{n}\to X}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 $범용{\displaystyle }$ n ${\$displaystyle $n}$ 연결$$ 덮개 입니다$.$

건설

화이트헤드 타워의$$ 공간 ${\displaystyle {Xn}_{}}$ ${\$은(는) 인덕티브로 시공된다.If we construct a ${\displaystyle K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)}$ by killing off the higher homotopy groups in ${\displaystyle X_{n}}$,^[7] we get an embedding ${\displaystyle X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)}$.허락한다면

${\displaystyle X_{n+1}=\left\{f\colon I\to K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right):f(0)=p{\text{ 및 }}{n}\i1}에 있는 }$

일부 고정된 기준점 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 경우$,$ 유도 지도 ${\displaystyle {Xn}_{}}$+ 1${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle {Xn}_{}}$ ${\$은 섬유 동형성을 가진 섬유 묶음이다$$.

${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle K}$( ${\displaystyle \mathrm{\pi n}{}_{}}$+ 1${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle {\mathrm{X}}_{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle n}$+ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \simeq }$ ${\displaystyle K}$( ${\displaystyle {\pi n}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$, n${\displaystyle }$) $\\$ K$\\pi$ (\$pi \n$+1$}(X), n+1\right)\simeq K\left(\pi _{n+1}(X,n\rig$),n\right) $,\},$n\rig) ,},n\n+1},n\c$)},},},},}$

그래서 세레 진동이 있고

${\displaystyle K(}$ ${\displaystyle \mathrm{\pi n}{}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ (${\displaystyle {}_{}X}$)${\displaystyle }$, n${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}{}_{}}$→ X ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$- 1 ${\$

호모토피 이론은 기나긴 정확한 연속을 사용하여 우리는)π 나는{\displaystyle \pi_{나는}(X_{n})=\pi _ᆱ\left(X_{n-1}\right)(Xn1−)}에 나는 &에 나는 n ≥+1{\displaystyle i\geq n+1}, 나는(Xn)π)i=0(_ᆴ(X_{n-1})=0}(Xn1−)π 나는(Xn)그 π다.그것은.- ${\displaystyle$ i$<n-1$ 마지막으로 정확한 시퀀스가 있음

${\displaystyle 0\to \pi _{n+1}\left(X_{n+1})\to \pi _{n+1}(X_{n}\right)\mathrel {\overset {\partial }{\rightarrow }} \pi _{n}K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\to \pi _{n}\left(X_{n+1}\right)\to 0}$,

만약 중간 형태론이 이형성이라면, 다른 두 집단은 0이다.이것은 X ${\displaystyle n_{}}$→ ${\displaystyle K}$( ${\displaystyle \mathrm{\pi n}{}_{}}$+ 1${\displaystyle {}_{}}$( X${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, n${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ $){\displaystyle X_{n}\to$ K$(\pi _{n+1}(X,n+1)}$를 포함시킨 것을 보고$$ Eilenberg-Maclane 공간에 세포분해가 있다는 점에 유의하여 확인할 수 있다.

${\displaystyle {}_{}\text{X}}$ ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\cup }$ ${\displaystyle n}$ n${\displaystyle }$+ $}$ {\$displaystyle X_{$n-1$}\cup \{\text{cells of dimension}}{{\$text}{dimension}}}}}{{\texture{dimension}}}\$geq$ n$+2$}} ; 그러므로$,$

${\displaystyle \pi _{n+1}\left(X_{n}\right)\cong \pi _{n+1}\left(K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)\right)\cong \pi _{n}\left(K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\right)}$,

소기의 성과를 거두다

호모토피 섬유로

화이트헤드 타워의 구성요소를 보는 또 다른 방법은 호모토피 섬유로 보는 것이다.만약 우리가 가져가면

${\displaystyle {\text{Hofiber}(\phi _{n}):X\to X_{n}}$

Postnikov 타워로부터, 우리는 ${\displaystyle X^{}}$ n$${\$displaystyle$ X$^{n}}$을 얻는다.

${\displaystyle \pi _{k}(X^{n})={\begin{case}\pi _{k}(X)&k\0&k\leq n\case}}}}$

화이트헤드 스펙트럼 타워

화이트헤드 타워의 이중 개념은 스펙트럼 범주의 호모토피 섬유를 사용하여 유사한 방식으로 정의할 수 있다.허락한다면

${\displaystyle E\langle n\rangle =\Operatorname {Hofiber} \left(\tau_{n}):E\to E_{(n)}\오른쪽)}$

그리고 이것은 스펙트럼의 연결된 커버를 제공하는 타워에서 구성될 수 있다.이것은 방향성이 없는 코보디즘 스펙트럼 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle O}$ ${\$text}의 커버링 때문에 보르디즘 이론에서 널리 사용되는 건축물이다^[8][9][10].$O}}}$은(는) 다른 보르디즘 이론을^[10] 제시한다$$.

${\displaystyle {\reasoned}M{\text{String}&=M{\text{O}\langle 8\rangele \\M{\text{Spin}&=M{\text}O}\langle 4\angle \\M{\text{SO}}&=M{\text{O}\langle 2\angle \end{arged}}$

끈 보르디즘 같은 것

백두탑과 끈 이론

In Spin geometry the ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ group is constructed as the universal cover of the Special orthogonal group ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$, so ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\to \operatorname {Spin} (n)\to SO(n)}$ is a fibration,화이트헤드 타워에서 첫 임기를 시작했어이 탑의 높은 부분에 대해서는 물리적으로 관련성이 있는 해석들이 있는데, 이 해석은 다음과 같이 읽을 수 있다.

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Fivebrane}(n)\to \operatorname {String}(n)\to \operatorname {SO}(n)}$

where ${\displaystyle \operatorname {String} (n)}$ is the ${\displaystyle 3}$-connected cover of ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ called the string group, and ${\displaystyle \operatorname {Fivebrane} (n)}$ is the ${\displaystyle 7}$-connected cover called the fiv이브레인 ^[11][12]그룹

참고 항목

• 애덤스 스펙트럼 시퀀스
• 에일렌베르크-매클레인 공간
• CW 콤플렉스
• 방해 이론
• 안정 호모토피 이론
• 호모토피 구군
• 상위그룹

참조

• Postnikov, Mikhail M. (1951). "Determination of the homology groups of a space by means of the homotopy invariants". Doklady Akademii Nauk SSSR. 76: 359–362.
• 호모토피 이론과 응용에 관한 강의 노트
• 호모토피 불변제를 이용한 공간의 두 번째 호몰로지 및 코호몰로지 그룹 결정 - 포스트 니코프 불변제의 접근 가능한 예를 제공한다.
• Hatcher, Allen (2002). Algebraic topology. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1.
• "Handwritten notes" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2020-02-13.