애덤스 스펙트럼 시퀀스

수학에서 아담스 스펙트럼 시퀀스는 위상학적 공간의 안정적인 호모토피 그룹을 계산하는 J. 프랭크 아담스(1958)가 도입한 스펙트럼 시퀀스다.모든 스펙트럼 시퀀스처럼, 그것은 계산 도구다; 그것은 동질 이론과 현재 안정된 호모토피 이론이라고 불리는 것을 연관시킨다.프랑스 앙리 카르탄과 장 피에르 세레가 응용한 '킬링 호모토피 그룹'이라는 기법의 연장, 호몰로지 대수학을 이용한 개혁이다.

동기

아래 모든 것에 대해, 한번 그리고 마지막으로, 우리는 prime p를 고친다.모든 공간은 CW 콤플렉스로 가정한다.일반적인 공동호몰로지 $H^{*}(X)$ H $H^{*}(X)$ ( X $H^{*}(X)$ ) $H^{*}(X)$ {\ $displaystyle$ H $^{*}(X)$ 는 H $H^{*}(X;\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )$ ( $H^{*}(X;\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )$ $H^{*}(X;\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )$ / $H^{*}(X;\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )$ ) $H^{*}(X;\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )$ {\ $displaystyle H^{*}(X;\mathb {Z}$ / $p\mathb$ { $Z} )}$ 을(를) 의미하는 것으로 이해된다 $H^{*}(X)$ $H^{*}(X;\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )$

대수 위상의 일차적인 목표는 임의의 공간 X와 Y 사이의 호모토피까지 모든 지도 수집을 이해하려고 노력하는 것이다.특히 X가 $S^{n}$ ${\$ 일 때 이러한 지도는 Y의 n번째 호모토피 그룹을 형성한다.보다 합리적인(그러나 여전히 매우 어려운!) 목표는 서스펜션 펑터를 여러 번 도포한 후 남아 있는 (최대 호모토피까지) 지도 $[X,Y]$ 세트 $[X,Y]$ [ $X$ , Y $[X,Y]$ {\디스플레이 스타일 [X $,Y]}$ 을(를) 이해하는 것이다.우리는 이것을 X에서 Y까지의 안정적 지도의 집합이라고 부른다. (이것은 안정적 호모토피 이론의 출발점이다; 이 주제에 대한 보다 현대적인 처리들은 스펙트럼의 개념에서 시작한다.아담스의 원래 작업에서는 스펙트럼을 사용하지 않았으며, 여기서는 가능한 한 기본적인 내용을 유지하기 위해 이 절에서 스펙트럼에 대한 추가 언급을 피한다.)

세트 $[X,Y]$ [ $[X,Y]$ , $[X,Y]$ $[X,Y]$ $[X,Y]$ 은(는) 아벨 그룹인 것으로 밝혀지고 $[X,Y]$ , X와 Y가 적당한 공간이면 이 그룹이 미세하게 생성된다.이 집단이 뭔지 알아내기 위해서 우선 prime p를 격리시켜 놓자. $[X,Y]$ , $[X,Y]$ $[X,Y]$ $[X,Y]$ 의 p-torion을 계산하기 위해, 우리는 공동 homology: $[X,Y]$ [ $[X,Y]$ , Y $[X,Y]$ $[X,Y]$ 을(를) Hom(H^*(Y), H^*(X)로 $[X,Y]$ 보낸다.코호몰로지 그룹은 보통 계산이 가능하기 때문에 이것은 좋은 생각이다.

$H^{*}(X)$ 아이디어는 H $H^{*}(X)$ ( $H^{*}(X)$ $H^{*}(X)$ ${\displaystyle$ H $^{*}(X)}}$ 이(가) 단순히 등급이 매겨진 아벨 그룹 이상이며 $H^{*}(X)$ , (컵 제품을 통해) 등급이 매겨진 반지 이상이라는 것이다.코호몰로지 펑터의 표현가능성은 H^*(X)가 안정적인 코호몰로지 연산 대수인 Steenrod 대수 A에 대한 모듈을 만든다.H^*(X)를 A-모듈로 생각하면 컵 제품 구조는 잊어버리지만, 그 이득은 엄청나다: Hom(H^*(Y), H^*(X)는 이제 A-선형으로 받아들여질 수 있다!선험적으로, A-모듈은 우리가 그것을 F에_p 대한 벡터 공간의 지도라고 생각했을 때 보다 더 이상 [X, Y]를 보지 않는다.그러나 이제 우리는 A-modules, Ext_A^r(Y^*), H^*(X)의 범주에서 Hom의 파생된 functors를 고려할 수 있다.이들은 H^*(Y)의 등급에서 두 번째 등급을 획득하고, 그래서 우리는 대수 데이터의 2차원 "페이지"를 얻는다.Ext 그룹은 Hom의 대수적 구조 보존의 실패를 측정하기 위해 설계되었으므로, 이것은 합리적인 단계다.

이 모든 것의 요점은 A가 너무 커서 위의 공생학적 데이터의 시트는 우리가 [X, Y]의 p-primary 부분을 복구하는데 필요한 모든 정보를 포함하고 있다는 것이다. 그것은 호모토피 데이터다.이것은 중요한 업적이다. 왜냐하면 코호몰로지(cohomology)는 계산가능하도록 고안된 반면, 호모토피는 강력하도록 설계되었기 때문이다.이것은 아담스 스펙트럼 시퀀스의 내용이다.

고전적 제형

스펙트럼의 호모토피 그룹 계산을 위한 공식화

The classical Adams spectral sequence can be stated for any connective spectrum $X$ of finite type, meaning $\pi _{i}(X)=0$ for $i<0$ and $\pi _{i}(X)$ is a finitely generated Abelian group in each degree.그런 다음 스펙트럼 시퀀스 $E_{*}^{*,*}(X)$ $E_{*}^{*,*}(X)$ $E_{*}^{*,*}(X)$ , $E_{*}^{*,*}(X)$ ( $E_{*}^{*,*}(X)$ ) $E_{*^{*,*}(X)$ 이 $E_{*}^{*,*}(X)$ ^[1]^{: 41}(가) 있다.

${\displaystyle E_{2}^{s,t}={\text$ $A_{p}$ $}}$ $_$ ${A_{p}}^{s,t}(H^{*}(X),\mathb {Z}/p)}$ $A_{p}$ p ${\$ 모드의 $A_{p}$ ${\displaystyp$ p $} Steenrod$ 대수.
For $X$ of finite type, $E_{\infty }^{*,*}$ is a bigraded group associated with a filtration of $\pi _{*}(X)\otimes \mathbb {Z} _{p}$ (the p-adic integers)

이는 $X=\mathbb {S}$ = $X=\mathbb {S}$ ${\$ 에 대해 함축한다는 점에 유의하십시오 $X=\mathbb {S}$ 이는 구 스펙트럼의 호모토피 그룹(즉, 구의 안정적인 호모토피 그룹)의 p ${\displaystyp p}$ -torion을 $p$ 계산한다.또한 모든 CW 복합체 $Y$ {\ $displaystyle Y}$ 에 $Y$ 대해 서스펜션 스펙트럼 $\Sigma ^{\infty }Y$ Y $\Sigma ^{\infty }Y$ ∞ Y $\Sigma ^{\infuly }Y$ 을(를) 고려할 수 있기 때문에 $\Sigma ^{\infty }Y$ 이는 이전 공식에 대한 설명도 제공한다.

This statement generalizes a little bit further by replacing the ${\mathcal {A}}_{p}$ -module $\mathbb {Z} /p$ with the cohomology groups $H^{*}(Y)$ for some connective spectrum $Y$ (or topological space ${\displaysty$ $le$ Y $}$ $Y$ )This is because the construction of the spectral sequence uses a "free" resolution of $H^{*}(X)$ as an ${\mathcal {A}}_{p}$ -module, hence we can compute the Ext groups with $H^{*}(Y)$ as the second entry.따라서 우리는 $E_{2}$ 2 $E_{2}$ {\ $displaystyle E_{2$ }}페이지로 $E_{2}$ 스펙트럼 시퀀스를 얻는다.

$E_{2}^{t,s}={\text{Ext}_{{\mathcal{A}_{p}}^{s,t}(H^{*})(X),H^{*}(Y)}$

$X$ $X$ 과 $X$ Y $Y$ 사이의 지도 호모토피 등급의 안정적인 호모토피 그룹( $p$ $p$ - torsion $p$ )의 등급 여과물의 등급에 대해 이형성이라는 수렴 특성을 갖는다 $Y$

$E_{2}^{s,t}\오른쪽 화살표 \pi _{k}^{{k}^{\mathb {S}([X,Y])\otimes \mathb {Z} _{p}}}}}}$

안정적인 호모토피 구군을 위한 스펙트럼 시퀀스

예를 들어 두 스펙트럼을 구 스펙트럼으로 지정하면 $X=Y=\mathbb {S}$ = $X=Y=\mathbb {S}$ = S ${\$ 아담스 스펙트럼 시퀀스는 수렴 속성을 갖는다.

$E_{2}^{t,s}={\text{Ext}}_{\mathcal{A}_{p}^{s},t}(H^{*})(\mathb {S}), H^{*}(\mathb {S} )\Rightarrow \pi _{*}(\mathb {S} )\otimets \mathb {Z} _{{{p}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

안정적인 호모토피 그룹의 계산에 접근하기 위한 기술적 도구를 제공하는 것.많은 첫 번째 용어들은 순수한 대수 정보로부터 명시적으로^[2]^{pp 23–25} 계산될 수 있는 것으로 밝혀졌다. $H^{*}(\mathbb {S} )=\mathbb {Z} /p$ H $H^{*}(\mathbb {S} )=\mathbb {Z} /p$ $H^{*}(\mathbb {S} )=\mathbb {Z} /p$ ) $H^{*}(\mathbb {S} )=\mathbb {Z} /p$ = Z $H^{*}(\mathbb {S} )=\mathbb {Z} /p$ / $H^{*}(\mathbb {S} )=\mathbb {Z} /p$ ${\displaystyle$ H $^{*}(\mathb {S} )=\mathb {Z} /p}$ 을 $H^{*}(\mathbb {S} )=\mathbb {Z} /p$ 를) 다시 쓸 수 있으므로 E $E_{2}$ ${\$ }} -p $E_{2}$ 페이지가

$E_{2}^{t,s}=\operatorname {Ext} _{\mathcal {A}_{p}^,t}(\mathb {Z} /p,\mathb {Z} /p)\오른쪽 화살표 \pi _{*}(\mathb {S} )\time \mathb {Z} _{p}}$

$p=2$ = $p=2$ $p=2$ 에 대한 이 계산 정보를 아래에 포함한다 $p=2$

해상도에서 항 확장

아담스 결의안이 주어지면

$\cdots \to H^{*}(F_{2})\to H^{*}(F_{1})\to H^{0}\to H^{*}(X)$

$E_{1}$ $E_{1}$ ${\$ -terms를 $E_{1}$ 다음과 같이 가지고 있다.

$E_{1}^{s,t}=\operatorname {Hom} _{\mathcal {A}_{p}^{t}(H^{*})(F_{s}),H^{*}(Y)}$

등급이 매겨진 홈 그룹의 경우그러면 E $E_{1}$ ${\$ -page를 $E_{1}$ 다음과 같이 쓸 수 있다.

$E_{1}={\begin{array}{c ccc}3&\vdots &\vdots &\vdots \\\2&{\text}홈}^{2}(H^{*})(F_{0}),H^{*}(Y)&{\text{홈}^{2}(H^{*})(F_{1}),H^{*}(Y)&{\text{홈}^{2}(H^{*})(F_{2}),H^{*}(Y)&\cdots \\1&{\text{홈}^{1}(H^{*})(F_{0}),H^{*}(Y)&{\text{홈}^{1}(H^{*})(F_{1}),H^{*}(Y)&{\text{홈}^{1}(H^{*})(F_{2}),H^{*}(Y)&\cdots \\0&{\text{홈}^{0}(H^{*})(F_{0}),H^{*}(Y)&{\text{홈}^{0}(H^{*})(F_{1}),H^{*}(Y)&{\text{홈}^{0}(H^{*})(F_{2}),H^{*}(Y)&\cdots \\hline &0&1&2\end{array}}$

$따라서$ 발전기를 찾기 전에 아담스 $해상도$ 의 "깊이" 얼마나 깊이 있는지 생각할 수 있다 $.$

계산

시퀀스 자체는 알고리즘 장치가 아니라 특정한 경우 문제 해결에 자신을 내맡긴다.

Eilenberg-Maclane 스펙트럼의 예

Some of the simplest calculations are with Eilenberg–Maclane spectra such as $X=H\mathbb {Z}$ and $X=H\mathbb {Z} /(p^{k})$ .^[1]^{: 48} For the first case, we have the $E_{1}$ page

$E_{1}^{s,t}={\begin{case}\mathb {Z} /p&{\text{{}}만약 }t=s\\\0&{\text{}다른 경우 }\case}}}}$

따라서 $E_{1}=E_{\infty }$ $E_{1}=E_{\infty }$ = $E_{1}=E_{\infty }$ $E_{1}=E_{\infty }$ ${\$ $E_{1}=E_{\infty }$ 이것은 다음과 같이 다시 쓰여질 수 있다.

${\text{Ext}}_{{\mathcal {A}}_{p}}^{s,t}(H^{*}(H\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} /p)={\begin{cases}\mathbb {Z} /p&{\text{ if }}t=s\\0&{\text{ if }}t\neq s\end{cases}}$

$E_{2}$ $E_{2}$ ${\$ }} - 페이지 $E_{2}$ 부여.다른 경우에는 코파이버 시퀀스가 있다는 점에 유의하십시오.

$H\mathb {Z} \x오른쪽 화살표 {\cdot p^{k}}H\mathb {Z} \to H\mathb {Z} /p^{k}\to \Sigma H\mathb {Z}}}}$

결국 코호몰로지 $H^{*}(H\mathbb {Z} /p^{k})=H^{*}(H\mathbb {Z} )\oplus H^{*}(\Sigma H\mathbb {Z} )$ / $H^{*}(H\mathbb {Z} /p^{k})=H^{*}(H\mathbb {Z} )\oplus H^{*}(\Sigma H\mathbb {Z} )$ $H^{*}(H\mathbb {Z} /p^{k})=H^{*}(H\mathbb {Z} )\oplus H^{*}(\Sigma H\mathbb {Z} )$ ) $H^{*}(H\mathbb {Z} /p^{k})=H^{*}(H\mathbb {Z} )\oplus H^{*}(\Sigma H\mathbb {Z} )$ = $H^{*}(H\mathbb {Z} /p^{k})=H^{*}(H\mathbb {Z} )\oplus H^{*}(\Sigma H\mathbb {Z} )$ ∗ $H^{*}(H\mathbb {Z} /p^{k})=H^{*}(H\mathbb {Z} )\oplus H^{*}(\Sigma H\mathbb {Z} )$ ( $H^{*}(H\mathbb {Z} /p^{k})=H^{*}(H\mathbb {Z} )\oplus H^{*}(\Sigma H\mathbb {Z} )$ $H^{*}(H\mathbb {Z} /p^{k})=H^{*}(H\mathbb {Z} )\oplus H^{*}(\Sigma H\mathbb {Z} )$ ) = H $H^{*}(H\mathbb {Z} /p^{k})=H^{*}(H\mathbb {Z} )\oplus H^{*}(\Sigma H\mathbb {Z} )$ $H^{*}(H\mathbb {Z} /p^{k})=H^{*}(H\mathbb {Z} )\oplus H^{*}(\Sigma H\mathbb {Z} )$ $H^{*}(H\mathbb {Z} /p^{k})=H^{*}(H\mathbb {Z} )\oplus H^{*}(\Sigma H\mathbb {Z} )$ $H^{*}(H\mathbb {Z} /p^{k})=H^{*}(H\mathbb {Z} )\oplus H^{*}(\Sigma H\mathbb {Z} )$ $H^{*}(H\mathbb {Z} /p^{k})=H^{*}(H\mathbb {Z} )\oplus H^{*}(\Sigma H\mathbb {Z} )$ ) ${\displaystyle H^{*}(H\mathb {Z} /p^{k})=$ $H^{*}(H\mathb {Z} )\oplus H^{*}(\Sigma H\mathb {Z})}$ 을 $H^{*}(H\mathbb {Z} /p^{k})=H^{*}(H\mathbb {Z} )\oplus H^{*}(\Sigma H\mathbb {Z} )$ (를) ${\mathcal {A}}_{p}$ ${\mathcal {A}}_{p}$ ${\$ -modules ${\mathcal {A}}_{p}$ .그러면, $H^{*}(H\mathbb {Z} /p)$ $\$ ( $H^{*}(H\mathbb {Z} /p)$ Z / p $displaystyle H^{*}(H\mathb {Z} /p)$ 의 E $E_{2}$ {\displaystyle $E_{2$ }}페이지 $E_{2}$ )를 다음과 같이 읽을 수 있다 $H^{*}(H\mathbb {Z} /p)$ .

$E_{2}^{s,t}={\begin}\case}\mathb {Z} /p&{\text}if{}t-s=0,1\0&{\text}{otherwise{case}}}}}$

흥미롭게도, 이 계산을 통해 스펙트럼 시퀀스가 예상 $∞{\$ 페이지에 $E_{\infty }$ 수렴할 수 있는 유일한 방법은 다음과 같다.

$E_{\infit }^{s,t}={\begin{case}\mathb {Z} /p^{k}&{\text{}}{}}\t=s\\0&{\text{}}{}\case}}}}}이(가)}$

비지연자가 있는 경우

$d_{i}^{s,s+1}\colon E_{i}^{s,s+1}\{i}^{s+i}$

$s\geq 0$ s $s\geq 0$ for $s\geq 0$ ${\displaystyle s\geq$ 0 $}$ 에 대해 $s\geq 0$

기타 응용 프로그램

아담스의 스펙트럼 시퀀스에 대한 원래 용도는 Hopf 불변성 1 문제의 첫 번째 증거였다: $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 는 n = 1, 2, 4, 8에 대해서만 분할 대수 구조를 인정하고 $\mathbb {R} ^{n}$ 있다.그 후 그는 K-이론에서 코호몰로지 수술을 사용하여 훨씬 더 짧은 증거를 발견했다.

톰 이소모르피즘의 정리는 안정된 호모토피 이론과 미분위상을 연관시킨다. 그리고 이것이 애덤스 스펙트럼 서열에서 첫 번째 주요 용도를 발견했다: 1960년에 존 밀너와 세르게이 노비코프는 아담스 스펙트럼 서열을 사용하여 복잡한 거미줄의 계수 링을 계산했다.더 나아가 밀너와 C. T. C. 월은 지향적인 코보르디즘 링의 구조에 대한 톰의 추측을 입증하기 위해 스펙트럼 시퀀스를 사용했다: 두 방향 다지관은 폰트랴긴과 스티펠-이 있는 경우에만 거미줄이다.휘트니 숫자도 일치한다.

안정적인 호모토피 구군

안정적인 호모토피 구군을 계산하는 아담스 스펙트럼 시퀀스의

E_{2}

E_{2}

{\

2}}

페이지

를 보여주는

E_{2}

시각도.점은 E

E_{1}

{\

1}

페이지

에서

E_{1}

남은 원소를 나타내고, 위와 왼쪽으로 이동하는 대각선은 스펙트럼 시퀀스의 다양한 미분을 나타낸다.차동

d_{r}

d_{r}

{\

는 한 단위를 왼쪽으로,

r

r

단위를

r

위로 이동시킨다

d_{r}

.수직선은 비틀림 그룹의 구조를 결정하기 위한 장부 작성 도구로 사용된다.

게다가

,

2

은 2만큼 곱셈을

나타낸다

한 단위에 의해 위와 오른쪽으로 움직이는 선은 h

h_{1}

{\

}의 곱셈을 나타낸다

h_{1}

$X=Y=\mathbb {S}$ 의 X $X=Y=\mathbb {S}$ = $X=Y=\mathbb {S}$ = S ${\$ 에 대한 스펙트럼 시퀀스를 사용하면 몇 개의 항을 명시적으로 계산할 수 있으며 $X=Y=\mathbb {S}$ , 최초의 안정된 호모토피 그룹 중 일부를 제공할 수 있다.^[2] $p=2$ = $p=2$ $p=2$ 의 경우 이 값은 $p=2$ $E_{2}$ 이 포함된 $E_{2}$ E 2 {\ $displaystyle$ E_ ${2$ }} - 페이지를 $E_{2}$ 보는 것과 같다.

$E_{2}^{s,t}={\text{Ext}}_{\mathcal{A}_{2}}^{s,t}(\mathb {Z} /2,\mathb {Z} /2)$

이것은 $\mathbb {Z} /2$ Z $\mathbb {Z} /2$ / $\mathbb {Z} /2$ $\mathb {Z} /2$ 의 아담스 해상도를 보면 된다 $\mathbb {Z} /2$ $\mathbb {Z} /2$ / 2 ${\displaystyle \mathb$ { $Z$ $} /$ 2}이 $\mathbb {Z} /2$ $($ 가) 도 $0$ ${\displaystyle$ 0 $}$ 이므로 $0$ 우리는 추측을 하게 된다.

${\mathcal {A}_{2}\cdot \iota \to \mathb {Z} /2$

여기서 A ${\mathcal {A}}_{2}$ ${\$ $0도$ $\iota$ 을(를) 나타내는 $0$ 제너레이터가 있으며 ${\mathcal {A}}_{2}$ $\iota$ 커널 $K_{0}$ $K_{0}$ ${\$ 는 모든 요소 $Sq^{I}\iota$ I $Sq^{I}\iota$ ${\displaystystyle Sq^{{}$ 로 구성되어 $K_{0}$ 있다. $허용$ 가능한 단일 문자 $Sq^{I}$ $Sq^{I}\iota$ $Sq^{I}$ I ${\$ $I}}$ 생성 $Sq^{I}$ ${\mathcal {A}}_{2}$ ${\mathcal {A}}_{2}$ ${\displaystyle {\mathcal{A}_{2$ 따라서 맵이 있다.

$\bigoplus _{I{\text{수용}}}{\mathcal{A}_{2}\cdot Sq^{{}}}I}\iota \to K_{0}$

그리고 우리는 $Sq^{i}\iota$ 의 발전기를 직접 합쳐서 $Sq^{i}\iota$ Sq $Sq^{i}\iota$ $Sq^{i}\iota$ $Sq^{i}\iota$ 에 매핑하는 것을 $\alpha _{i}$ $\alpha _{i}$ ${\$ $그리고$ 나머지 발전기를 $Sq^{I}\alpha _{j}$ $Sq^{I}\alpha _{j}$ $Sq^{I}\alpha _{j}$ j ${\$ $displaysty$ $Sq^{I}\alpha$ $_$ ${j$ $}$ 로 $Sq^{I}\alpha _{j}$ 표시한다. 예 $j$ .

$Sq^{1}\iota 및 _{1}\mapsto{\displaystyle{\begin{정렬}\alpha,&.Sq^{2}\alpha _{1}\mapsto Sq^{2,1}\iota \\\alpha _{2}\mapsto Sq^{2}\iota&&.Sq^{1}\alpha _{2}\mapsto Sq^{3}\iota \\\alpha _{4}\mapsto Sq^{4}\iota&&.Sq^{3}\alpha Sq^{3,1}\iota \\\alpha _{8}\mapsto Sq^{8}& _{1}\mapsto,&.Sq^{2}\alpha _{2}\mapsto Sq^{3,1}\iota \end{정렬}}}$

$\alpha _{i}$ $\alpha _{i}$ ${\$ 의 마지막 두 요소는 동일한 요소에 매핑되며 $\alpha _{i}$ , 이는 아뎀 관계에서 비롯된다.또한 커널에는 $Sq^{1}\alpha _{1}$ $Sq^{1}\alpha _{1}$ $Sq^{1}\alpha _{1}$ $Sq^{1}\alpha _{1}$ ${\$ }와 $Sq^{1}\alpha _{1}$ 같은 원소가 있다.

$Sq^{1}\alpha _{1}\mapsto Sq^{1}{1}Sq^{1}\iota =0$

아뎀의 관계 때문에 $F_{2}$ 는 이 $F_{2}$ 의 $F_{2}$ 발생기를 F 2 {\ $displaystyle$ $\beta _{2}$ { $}},$ β 2 {\displaystyle $\$ $beta _{2$ 같은 과정을 적용하여 $K_{1}$ $K_{1}$ 1 $K_{1}$ {\ $displaystyle K_{$ 1}를 얻어 해결하면 된다 $K_{1}$ $E_{1}$ 때, $E_{1}$ 는 $E_{1}$ E 1 {\ $displaystyle E_{1$ }-page를 $E_{1}$ 얻을 수 있다.

$E_{1}^{s,t}={\begin{배열}{cccc}\vdots, \vdots &, \vdots, \vdots \\4& &, &.Sq^{4}\iota ,Sq^{3,1}\iota&Sq^{2,1}\alpha _{1},Sq^{3}\alpha _{1},Sq^{2}\alpha _{2},\alpha _{4}&amp을 말한다.Sq^{2}\beta _{2}&, \cdots \\3&.Sq^{3}\iota ,Sq^{2,1}\iota&Sq^{2}\alpha _{1},Sq^{1}\alpha _{2}&.Sq^{1}\beta _{2}&, \cdots \\2&.Sq^{2}\iota&\alpha _{2},Sq^{1}\alpha _{1}&, \beta_{2.}&\cdots \\1&Sq^{1}\iota &\alpha _{1}&0&\cdots \\0&\iota &0&\cdots \\\\\hline &0&1&2\end{array}}}}}}}}}$

$비교적$ 쉽게 $100$ $100도$ 까지 컴퓨터에 의해 확장될 수 $있다.$ 발견된 생성기와 관계를 사용하여 E $E_{2}$ ${\$ }} - 페이지를 $E_{2}$ 비교적 쉽게 계산할 수 있다.때때로 호모토피 이론가들은 수평 지수를 통해 $이러한$ 요소들을 재배열하는 것을 좋아하며 수직 $s$ 지수를 통해 $E_{2}$ $E_{2}$ ${\$ } - 페이지에 $E_{2}$ ^[2]^{pg 21} 대해 다른 유형의 도표를 $t-s$ 하는 $t-s$ $t-s$ t - $t-s$ {\ $displaystytle t-s}$ 를 나타낸다.자세한 내용은 위의 다이어그램을 참조하십시오.

일반화

애덤스-노비코프 스펙트럼 시퀀스는 노비코프(1967)가 도입한 애덤스 스펙트럼 시퀀스의 일반화인데, 여기서 일반적인 코호몰로지 이론, 종종 복잡한 보르디즘 또는 브라운-피터슨 코호몰로지(Brown-Peterson cohomology)로 대체된다.이를 위해서는 해당 코호몰로지 이론에 대한 안정적인 코호몰로지 연산 대수에 대한 지식이 필요하지만, 고전적인 애덤스 스펙트럼 시퀀스로 완전히 난치할 수 있는 계산을 가능하게 한다.

참고 항목

참조

Adams, J. Frank (1958), "On the structure and applications of the Steenrod algebra", Commentarii Mathematici Helvetici, 32 (1): 180–214, doi:10.1007/BF02564578, ISSN 0010-2571, MR 0096219, S2CID 15677036
Adams, J. Frank (2013) [1964], Stable homotopy theory, Lecture Notes in Mathematics, vol. 3, Springer-Verlag, ISBN 9783662159422, MR 0185597
Botvinnik, Boris (1992), Manifolds with Singularities and the Adams–Novikov Spectral Sequence, London Mathematical Society Lecture Note Series, Cambridge University Press, ISBN 0-521-42608-1
McCleary, John (February 2001), A User's Guide to Spectral Sequences, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 58 (2nd ed.), Cambridge University Press, doi:10.2277/0521567599, ISBN 978-0-521-56759-6, MR 1793722
Novikov, Sergei (1967), "Methods of algebraic topology from the point of view of cobordism theory", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya (in Russian), 31: 855–951
Ravenel, Douglas C. (1978), "A novice's guide to the Adams–Novikov spectral sequence", in Barratt, M. G.; Mahowald, Mark E. (eds.), Geometric applications of homotopy theory (Proc. Conf., Evanston, Ill., 1977), II, Lecture Notes in Mathematics, vol. 658, Springer-Verlag, pp. 404–475, doi:10.1007/BFb0068728, ISBN 978-3-540-08859-2, MR 0513586
Ravenel, Douglas C. (2003), Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres (2nd ed.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-2967-7, MR 0860042.

계산 개요

보다 안정적인 스템 – 최대 90도까지의 안정적인 호모토피 그룹에 대한 모든 아담스 스펙트럼 시퀀스 계산

고차항

외부 링크

Bruner, Robert R. (June 2, 2009), An Adams Spectral Sequence Primer (PDF)
Hatcher, Allen, "The Adams Spectral Sequence" (PDF), Spectral Sequences

메모들

^ ^a ^b Ravenel, Douglas C. (1986). Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres. Orlando: Academic Press. ISBN 978-0-08-087440-1. OCLC 316566772.
^ ^a ^b ^c Hatcher, Allen. "Spectral Sequences in Algebraic Topology" (PDF). Archived (PDF) from the original on 2018-07-28.

[Ravenel-1] Ravenel, Douglas C. (1986). Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres. Orlando: Academic Press. ISBN 978-0-08-087440-1. OCLC 316566772.

[:0-2] Hatcher, Allen. "Spectral Sequences in Algebraic Topology" (PDF). Archived (PDF) from the original on 2018-07-28.

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