플랫 사이의 각도

평면 내의 선과 두 개의 선, 두 개의 평면 또는 선과 공간의 평면 사이의 각도의 개념은 임의의 차원으로 일반화될 수 있다.이 일반화는 요르단이 먼저 논의한 것이다.^[1]임의 치수의 유클리드 공간에 있는 어떤 한 쌍의 평면에 대해서는 유클리드 공간의 등축적 변환 하에서 불변하는 일련의 상호 각도를 정의할 수 있다.만약 평지가 교차하지 않는다면, 그들의 최단 거리는 한 번 더 불변한다.^[1]이러한 각도를 표준^[2] 또는 주각이라고 한다.^[3]각도의 개념은 복잡한 숫자에 걸쳐 유한 차원 내부 제품 공간에 있는 플랫 쌍으로 일반화될 수 있다.

요르단의 정의

$F{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $F}$ $및{\displaystyle }$ G$$ ${\displaystyle G}$을(를) n ${\displaystyle n}$ -차원$$ 유클리드 공간 ${\displaystyle E^{}}$ $n{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ E$^{$$n{\displaystyle }$$}$의 $치수{\displaystyle }$ k ${\displaystystyle$ $k$$}$ 및 $l$ ${\displaystyle l}$의 평면으로 한다$$$.$ 정의에 $따라{\displaystyle }$ F ${\displaystystystystytense$ F$}$ 또는 G$$$}$의 번역은$$ 안 된다.상호 각도를 바꾸다$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$과 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 교차하지$$ 않으면 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 어느 $지점$을 F ${\displaystyle F}$의 어느 지점에$$ 매핑하는$$ G ${\displaystytle$ G$}$을(를) 변환할 때 $F{\displaystyle }$ ${\displaysty F}$과 $G{\displaystyle }\}$의 일반성을 잃지 않고 가정할 수 있다$.$$\displaystyle G}$ 교차$$.

Jordan shows that Cartesian coordinates ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{\rho },}$ ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{\sigma },}$ ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{\tau },}$ ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{\upsilon },}$ ${\displaystyle v_1,\dots }$${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{\alpha },}$ ${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{\alpha }}$ in ${\displaystyle E^{n}}$ can then be defined such that ${\displaystyle F}$ and ${\displaystyle G}$ are described, respectively, by the sets of equations

${\displaystyle x_{1}=0,\reason,x_{\rho }=0,}$

${\displaystyle u_{1}=0,\reason, u_{\upsilon }=0,}$

${\displaystyle v_{1}=0,\reason,v_{\reason }=0}$

그리고

${\displaystyle x_{1}=0,\reason,x_{\rho }=0,}$

${\displaystyle z_{1}=0,\reason,z_{\tau }=0,}$

${\displaystyle v_{1}\cos \theta _{1}+w_{1}\sin \theta _{1}\sin _{1}\theta _0,\no,v_{\reas \cos \theta _{\reas _{\captime _}}}$

< < / , i= 1,… , ${\displaystyle 0<\theta _{i}<2>,i=1,\dots,\alpha }.$조던은 이러한 좌표를 표준 좌표라고 부른다.정의상 $\theta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 각도는 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$과 G ${\displaystyle G}$ 사이의 각도다$.$

음이 아닌 정수 $\rho {\displaystyle }$,${\displaystyle \tau }$ ,${\displaystyle \upsilon }$ ,${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \rho ,\sigma ,\tau ,\upsilon ,\alpha }$은(는) 에 의해 제약을 받는다$$.

$\displaystyle \rho +\dhostma +\tau +\upsilon +2\propersilon =n,}$

$\displaystyle \chostma +\tau +\display =k,}$

$\displaystyle \chostma +\upsilon +\display =\ell .}$

이러한 방정식이 5개의 음이 아닌 정수를 완전히 결정하려면 치수 $n{\displaystyle ,}$ $,$ k, $\ell {\displaystyle }$, ℓ {\$displaystyle n,k}$ 및$$ ℓ ${\$$displaystyle$ $\ell }$과 각도 ${\displaystyle {\alpha }_{}}$$,$$α$ {\$displaystystyle \alpha$$}$을 제외하고$$음이 아닌 정수 ${\displaystytype \sigma }$을 제공해야 한다$$.이는 좌표수 ${\displaystyle y_{}}$ ${\$이며$,$ 해당 축은 $전적$으로 F ${\displaystyle F}$와 G ${\displaystyle G}$에 놓여 있는 좌표수 입니다$.$ 따라서 $정수{\displaystyle }$ ${\displaystyle F\cap G}$의 치수인$$ 것이다$.$ 각도의 집합 ${\displaystyle {\theta }_{}}$ i ${\$.$yle \theta _{i}$은(는) ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle$ \$sigma }$$각$ 0$${\$displaystyle 0}$으로 보완하여 F may$$$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle F\$cap G$}이(가$) 해당 치수를 가지고$$ 있음을 나타낼 수 있다.

복잡한$$ 숫자에 걸쳐 ${\displaystyle {En}^{}}$ ${\$을(를$)$ n {\$displaystyle n}$ -차원 $내부{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ 공간 C n$${\\$displaystyle \mathb{C}{$n}}}}로$$ 교체할 때 조던의 증거는 본질적으로 변경되지 않고 적용된다. (하위 영역 간의 $각도$는 C ${\$ \$\mathb} \displayb$}{{{{{n$}$ \data.아래의 변이성 특성화 측면에서 갈라타이(Galántai)와 헤게드(Heeddes)에 의해 논의된다.)^[4][1]

서브 스페이스 사이의 각도

이제 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$ 및 $G$ ${\displaystyle G}$을(를) 실제 또는 복잡한 숫자에 걸쳐 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$차원$$ 내부 제품 공간의 하위 스페이스로$$ 두십시오.기하학적으로 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$과 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 평판이기$$ 때문에 조던의 상호 각도에 대한 정의가 적용된다.When for any canonical coordinate ${\displaystyle \xi }$ the symbol ${\displaystyle {\hat {\xi }}}$ denotes the unit vector of the ${\displaystyle \xi }$ axis, the vectors ${\displaystyle {\hat {y}}_{1},\dots ,{\hat {y}}_{\sigma },}$ ${\displaystyle {\hat{w}}_1,\dots ,{\hat{w}}_{}}$${\displaystyle {\hat {w}}_{1},\dots ,{\hat {w}}_{\alpha },}$ ${\displaystyle {\hat {z}}_{1},\dots ,{\hat {z}}_{\tau }}$ form an orthonormal basis for ${\displaystyle F}$ and the vectors ${\displaystyle {\hat {y}}_{1},\dots ,{\hat {y}}_{\sigma$$},}$ ${\displaystyle {\hat {w}}'_{1},\dots ,{\hat {w}}'_{\alpha },}$ ${\displaystyle {\hat {u}}_{1},\dots ,{\hat {u}}_{\upsilon }}$ form an orthonormal basis for ${\displaystyle G}$, where

${\displaystyle {\hat {w}_{i}={\hat {w}_{i}\cos \cos \theta _{i}+{\hat {v}_{i}\sin \theta _{i}}\capte i=1,\reas }$

표준 좌표와 관련이 있으므로 이러한 기본 벡터를 표준 좌표라고 할 수 있다.

When ${\displaystyle a_{i},i=1,\dots ,k}$ denote the canonical basic vectors for ${\displaystyle F}$ and ${\displaystyle b_{i},i=1,\dots ,l}$ the canonical basic vectors for ${\displaystyle G}$ then the inner product ${\displaystyle \langle a_{i},$$b_{j}\rangele }$은(는) 다음 항목을 제외한$$ $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$ 및$$ j ${\displaystyle j}$ 쌍에 대해 사라진다$$.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle {\hat {y}}_{i},{\hat {y}}_{i}\rangle =1,&&i=1,\dots ,\sigma ,\\&\langle {\hat {w}}_{i},{\hat {w}}'_{i}\rangle =\cos \theta _{i},&&i=1,\dots ,\alpha .\end{aligned}}}$

위의 기본 벡터 순서에 따라 ${\displaystyle {}_{}}$ 제품 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle a_{}}$, b ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \langle a_{i},b_{j}\angle }}$의 행렬은 따라서 대각선이다.In other words, if ${\displaystyle (a'_{i},i=1,\dots ,k)}$ and ${\displaystyle (b'_{i},i=1,\dots ,\ell )}$ are arbitrary orthonormal bases in ${\displaystyle F}$ and ${\displaystyle G}$ then the real, orthogonal or unitary transformations from the basis ${\displaystyle ({}_{}^{}}$${\displaystyle (a'_{i})}$ to the basis ${\displaystyle (a_{i})}$ and from the basis ${\displaystyle (b'_{i})}$ to the basis ${\displaystyle (b_{i})}$ realize a singular value decomposition of the matrix of inner products ${\displaystyle \langle a'_{$$i'},b_{j}\rangele$ $\}.$ 대각 행렬 요소 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \langle a_},b_{i}\rangele }}$는 후자 행렬의 단수 값이다$$.단수 값 분해의 고유성에 의해 ${\displaystyle {벡터}_{}}$ y ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ i ${\$는 그들 사이의 실제 직교 또는 단일 변환까지 고유하며$$, $벡터{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ w ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$${i}$ 및 ${\displaystyle w_{}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}^{}}$ i $^{\$${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$$v$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$$displaystyle {\hat$${v$$}_$$i$}} )는 ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$${\displaystyle i_{}}$ {\$displaystyle {\w$$}{i$$}$의 공통 값과 연관된$$$$ 벡터 집합에 동시에 적용되는 최대 실제, 직교 또는 단일 변환과 상응하는 벡터 집합에 대해 고유함${\displaystyle {\stackrel{}{w}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}^{}}$ $′{\$따라서 해당 $v{\displaystyle {\hat{}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 집합에 해당함.$$

단수 $값{\displaystyle \mathrm{}}$ 1 ${\displaystyle 1}$은(는) $위$에서 $소개$하고 F ${\displaystyle \cap }$ G ${\displaystyle F\cap$ $G$$}$과(와) 관련된 각도 $0$에 해당하는 $cos$ 0 {\displaystyle$$$$ \$cos \$${\displaystyle 0\mathrm{}}$$}$으로 해석할 수 $있으며$, 단수$$ $값{\displaystyle \mathrm{}}$ 0 ${\displaystystyled$ \$cos$\cos${\displaystyle }$\cosescosale \cosylease \cosed \cosed \cosed \cosaleption \coset \cope직교 공간 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\perp \mathrm{}}^{}}$ ${\$과(와) F${\displaystyle {}^{}g}$ G$${\$displaystyle F^{\bot }\cap$G} 사이의 직교 공간 사이의 직각에$$ 해당하는 $pi /2$$\},$ 여기서 위첨자${\displaystyle \mathrm{}}${$${\$displaystyle \\bot}$은 직교 보어를 의미한다$$.

가변 특성화

단수 값과 벡터의 변동 특성화는 서브 스페이스와 연관된 표준 벡터 사이의 각도의 변동 특성화를 특별한 경우로 암시한다.이 특성화는 위에서 소개한$$ 각도 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ 0$}$과 $and$ / ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi /$2}을$($를) 포함하고 값을 증가시켜 각도를 정렬한다.그것은 아래의 대안적 정의의 형태를 부여할 수 있다.이런 맥락에서 주각과 벡터를 말하는 것이 관례다.^[3]

정의

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$을(를) 내부 제품 공간으로 두십시오$$.${\displaystyle 두\mathcal{}}$ ${\displaystyle 개}$의 $하위{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle 스페이스\mathcal{}}$U , W {\${\displaystyle displaystyle\mathcal{}}$ ${\mathcal {U},{\mathcal {W$${\displaystyle \}}$이(가${\displaystyle )}$ 조광${\displaystyle }$dim = ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \le }$ $dim({\mathcal {U})$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\dim$({\mathcal {W})=$k\leq \dim({\mathcalmathcal {W}}).$$=\ell }$, there exists then a sequence of ${\displaystyle k}$ angles ${\displaystyle 0\leq \theta _{1}\leq \theta _{2}\leq \cdots \leq \theta _{k}\leq \pi /2}$ called the principal angles, the first one defined as

$\displaystyle \theta _{1}:\min \left\{\arccos \left(\왼쪽){\frac { \langle u,w\langle }{\u\\\w\}}\오른쪽)\\,\u\in {\mathcal {U},w\w}\w\}=\angle (u_{1},w_{1}),}}}}}$

여기서 ${\displaystyle ⟨,\cdot ,}$ ${\displaystyle \cdot ,}$ \,$$\$displaystyle \langle \cdot ,\cdot \angle$ }은 내부 제품이며 product induced${\displaystyle }$induced ${\displaystyle \cdot \}$ 유도$$ 규범이다.벡터 ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 1${\$및 $w$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}가 해당 주 벡터다.

그런 다음 다른 주요 각도와 벡터는 다음 절차를 통해 재귀적으로 정의된다.

$\displaystyle \theta _{i:=\min \왼쪽\{\왼쪽.\arccos \left({\frac { \langle u,w\rangle }{\ u\ \ w\ }}\right)\,\right \,u\in {\mathcal {U}},~w\in {\mathcal {W}},~u\perp u_{j},~w\perp w_{j}\quad \forall j\in \{1,\ldots ,i-1\}\right\}.}$

즉, 주각$({\displaystyle {\theta 1\mathrm{}}_{}}$, …${\displaystyle }$,${\displaystyle {\theta }_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle(\theta _{1},\ldots ,\theta _{k})$이 두 서브스페이스 사이에 최소화된 각도의 집합을 형성하며$$, 각 서브스페이스의 주 벡터는 서로 직교한다.

예

기하학적 예

기하학적으로 서브스페이스는 원점을 포함하는 플랫(점, 선, 평면 등)이므로 적어도 원점에서 두 개의 서브스페이스가 교차한다.2차원 서브 스페이스 $U{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ 및$$ $W{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\${W$}}$은(는) 두 각도의 세트를 생성한다$$.3차원 유클리드 공간에서 서브 스페이스 $U{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$과(와) $W{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 동일하거나$$ 교차점이 선을 형성한다.전자의 경우 ${\displaystyle {both\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {\theta \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \theta \{1}=\theta _{2}=0$ .후자의 경우 $\theta {\displaystyle \mathcal{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$= 0 ${\displaystyle \theta_{1}=0$만 벡터 ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$}:{$1$${\displaystyle \}}$ 및 w$$ $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\$1}{1$}{\$$displaystystyle$ w_${U}}}$의 선에 있고$$ 방향이$$ 같다$.$그 각도는 subspaces 사이에 U{\displaystyle{{U\mathcal}}}와 W{\displaystyle{{W\mathcal}}}U∩ W{\displaystyle{{U\mathcal}}\cap{{W\mathcal}}에 직교 보체에}. 두 평면 사이의 3D,의 각도를 상상해 2>0{\displaystyle \theta_{2}>. 0}일 경우가 될 것이다 각도 θ.한직관적으로 가장 큰 각도인 , > ${\displaystyle \theta _{2}>0}$을 생각한다

대수적 예

4-dimensional 실제 좌표 공간 R에서}}u1컵(1,0,0,0){\displaystyle u_{1}(1,0,0,0)에 의해 이어 갈}그리고 넌 2)(0,1,0,0){\displaystyle u_{2}(0,1,0,0)}, 2차원 부분 공간 W{\displaystyle{\mathcal게 2차원 부분 공간 U{\displaystyle{{U\mathcal}자.${W}$은(는) ${\displaystyle {w\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$( 1,${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 0,}$ a${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 1\sqrt{\mathrm{}}}$+ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ ${\$로 확장한다$$.$}}}$ 및$$ $w{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle \mathrm{b},}$ 0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 1\sqrt{\mathrm{}}}$+ ${\displaystyle \sqrt{{b\mathrm{}}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ${\$}}}}}어떤 진짜가{\displaystyle}과 b{\displaystyle b}과 함께를<>b{\displaystyle<>b}. 그리고 u 1{\displaystyle u_{1}}과 w 1{\displaystyle w_{1}}은 사실, 그 한쌍의 주요 요인에 해당하는 각도 θ 1{\displaystyle \theta_{1}}.재치h ${\displaystyle \cos }$ $⁡$(${\displaystyle 1{}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\sqrt{\mathrm{}}}$/ 1${\displaystyle \sqrt{}}$+ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ ${\$ {1$+a^{2$}$\}\}\},$ 및 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}} 및$$$$ ${\displaystyle {w\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}} ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle {cos\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle ({\theta \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle 1\sqrt{\mathrm{}}}$+ ${\displaystyle \sqrt{{b\mathrm{}}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$. ${\displaysty \cos(\ta _{2}=1/{sqrt+b^{2}}:}).$$}$

To construct a pair of subspaces with any given set of ${\displaystyle k}$ angles ${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{k}}$ in a ${\displaystyle 2k}$ (or larger) dimensional Euclidean space, take a subspace ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ with an orthonormal basis ${\displaystyle (e_1,\dots }$${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{k})}$ and complete it to an orthonormal basis ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ of the Euclidean space, where ${\displaystyle n\geq 2k}$. Then, an orthonormal basis of the other subspace ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ is, e.g.,

${\displaystyle(\cos(\theta _{1}e_{1}e_{1}data _{1}e_{1}}},\cos(\theta _{k}e_{k})\cos(\tea _{k}e_{2k}}$

기본 속성

• 가장 큰 각도가 0이면 하나의 하위공간은 다른 하위공간이다.
• 가장 큰 각도가 $\pi {\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi /2}$인 경우$,$ 다른 하위 공간에 수직인 한 하위 공간에 적어도 하나의 벡터가 있다.
• 가장 작은 각도가 0일 경우, 하위공간은 최소한 선에서 교차한다.
• 가장 작은 ${\displaystyle 각도}$가 $\pi {\displaystyle }$/ 2 ${\displaystyle \pi /2}$인 경우$,$ 서브스페이스는 직교한다.
• 0과 같은 각도의 수는 두 개의 서브스페이스가 교차하는 공간의 치수다.

고급 속성

• 두 서브스페이스 사이의 비 티비얼(비티비얼(non-trivial) ($0$ ${\displaystyle$ 0$}$ 및${\displaystyle \pi \mathrm{}}$ / 2 ${\displaystyle \pi /2})$^[5] 각도는 직교 보완물 사이의 비 티비얼 각도와 동일하다.^[6][7]
• Non-trivial angles between the subspaces ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ and the corresponding non-trivial angles between the subspaces ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {W}}^{\perp }}$ sum up to ${\displaystyle \pi$$/2}$.^[6][7]
• 서브 스페이스 사이의 각도는 주요화 측면에서 삼각형의 불평등을 만족시키므로, 세트를 미터법으로 바꾸는 모든 서브 스페이스 집합의 거리를 정의하는 데 사용할 수 있다.^[8]
• 서브 스페이스 사이의 각도의 사인(signal)은 주요화 측면에서 삼각 불평등을 만족시키므로 세트를 미터법으로 변환하는 모든 서브 스페이스 집합의 거리를 정의하는 데 사용할 수 있다.^[6]예를 들어, 가장 큰 각도의 사인(Sine)을 서브 스페이스 사이의 간격이라고 한다.^[9]

확장

각도와 일부 변동 속성의 개념은 자연스럽게 임의의 내부 제품과^[10] 무한한 차원을 가진 서브스페이스로 확장될 수 있다.^[7]

연산

역사적으로 주각과 벡터는 먼저 표준 상관관계의 맥락에서 나타나며, 원래 해당 공분산 행렬의 SVD를 사용하여 계산되었다.그러나,^[3] 처음에서 알 수 있듯이 정관상 상관관계는 원각의 코사인(cosine)과 관계가 있어, 작은 각도에 대해서는 조건이 좋지 않아 유한정밀 컴퓨터 산술에서 고도로 상관된 주 벡터의 계산이 매우 부정확하게 된다.사인 기반 알고리즘은^[3] 이 문제를 해결하지만, 사인 함수는 π/2에 가까운 각도에 대해 조건이 맞지 않기 때문에 매우 부정확한 주요 벡터 계산의 새로운 문제를 야기한다.컴퓨터 산술의 중요한 각도의 전체 범위에 대한 정확한 주요한 벡터를 얻기 위해서는, 결합 technique[10]첫번째 컴퓨팅 모두 주요한 각도와 벡터가 고전cosine-based 접근법을 사용한 다음 주요한 각도 π/4보다 작고 상응하는 주요한 벡터가sine-based 접근 사용하는지 확인합니다.[3]이 결합 기법은^[10] 오픈소스 도서관 옥타브와^[11] SciPy에서^[12] 구현되며, MATLAB에 기여한다^[14].

참고 항목

• 단수 값 분해
• 정관상관

참조