주축정리

기하학 및 선형대수의 수학적 분야에서 주축은 타원체 또는 하이퍼볼로이드와 연관된 유클리드 공간의 특정 선으로 타원체 또는 하이퍼볼라의 주축과 부축을 일반화한다. 주축 정리는 주축을 수직으로 하고, 주축을 찾기 위한 건설적인 절차를 제시한다.

수학적으로 주축 정리는 기초 대수학에서 정사각형을 완성하는 방법을 일반화한 것이다. 선형 대수학 및 기능 분석에서 주축 정리는 스펙트럼 정리의 기하학적 상쇄물이다. 주성분 분석과 단수 값 분해의 통계에 응용된다. 물리학에서, 그 정리는 각운동량과 이륜에 대한 연구에 기본이 된다.

동기

데카르트 평면 R의² 방정식:

${\displaystyle{\frac{x^{2}}:{9}+{\frac{y^{2}}:{25}=1\\\[3pt]{\x^{9}-{\frac {y^{2}}-{25}}{25}=1\ed}}}}}}}}}}}}$

타원형 및 하이퍼볼라를 각각 정의한다. 각각의 경우, x축과 y축이 주축이다. 두 표현 모두 xy 제품을 포함하는 교차단어가 없다는 점을 감안하면 이는 쉽게 알 수 있다. 그러나 이런 방정식의 경우 상황은 더욱 복잡하다.

${\displaystyle 5x^{2}+8xy+5y^{2}=1.}$

여기서 이것이 타원인지 하이퍼볼라인지 결정하기 위한 몇 가지 방법이 필요하다. 기본적인 관찰은 정사각형을 완성함으로써 2차 식이 2제곱의 합으로 감소할 수 있다면 방정식은 타원을 정의하고, 2제곱의 차이로 감소할 경우 이 방정식은 하이퍼볼라를 나타낸다.

${\displaystyle {\required}u(x,y)^{2}+v(x,y)^{2}&=1\qquad {\text{(ellipse)}}\\u(x,y)^{2}-v(x,y)^{2}&=1\qquad{\text{(hypervolla)}}.\end{정렬}}}$

따라서 우리의 예식에서 문제는 8xy의 교차기 계수를 u와 v 함수에 어떻게 흡수하느냐 하는 것이다. 형식적으로 이 문제는 선형 변환의 행렬이 대각선인 적절한 좌표계를 찾으려고 하는 행렬 대각화 문제와 유사하다. 첫 번째 단계는 대각화 기법을 적용할 수 있는 매트릭스를 찾는 것이다.

요령은 2차 형식을 다음과 같이 쓰는 것이다.

${\displaystyle 5x^{2}+8xy+5y^{2}}={\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}{\bmatrix}5&4\\4&5\end{bmatrix}{\bmatrix}}{\bmatrix}}}{\bmathbf {x}^{\t}}}}}}}}}$

교차 기간이 두 개의 동일한 부분으로 분할된 경우. 위의 분해에서 행렬 A는 대칭 행렬이다. 특히 스펙트럼 정리에 의해 실제 고유값을 가지며 직교 행렬에 의해 대각선이 가능하다(직교적으로 대각선이 가능하다).

A를 직교 대각선으로 맞추려면 먼저 고유값을 찾은 다음 직교 고유값을 찾아야 한다. 계산 결과 A의 고유값은

${\displaystyle \putda _{1}=1,\puts \putda _{2}=9}$

해당 고유 벡터를 사용하여

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\bmatrix}1\\-1\end{bmatrix},\matbf {v} _{2}={bmatrix}\1\end{bmatrix}}.}$

이를 각각의 길이로 나누면 직교형 고유 베이시스(Igienbasis:

${\displaystyle \mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {u} _{2}={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}.}$

이제 행렬 S = [u₁ u₂]는 직교 행렬로, 직교 행렬은 직교 행렬로, A는 다음과 같이 대각화된다.

${\displaystyle A=SDS^{-1}=SDS^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&9\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}.}$

이는 다음과 같은 관찰을 통해 2차 형태를 "대각화"하는 현재의 문제에 적용된다.

${\displaystyle 5x^{2}+8xy+5y^{2}=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}A\mathbf {x} =\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\left(SDS^{\textsf {T}}\right)\mathbf {x} =\left(S^{\textsf {T}}\mathbf {x} \right)^{\textsf {T}}D\left(S^{\textsf {T}}\mathbf {x} \right)=1\left({\frac {x-y}{\sqrt {2}}}\right)^{2}+9\left({\frac {x+y}{\sqrt {2}}}\right)^{2}.}$

따라서 방정식 $5{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ 8 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$+ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= 1 ${\displaystyle 5x^{2}+8xy+5y^{2}=1}$는 타원의 식이며, 왼쪽은$$ 두 제곱의 합으로 쓸 수 있기 때문이다.

2의 요인을 뽑아 이 표현을 단순화하려는 유혹이 있다. 하지만, 이것을 하지 않는 것이 중요하다. 수량

${\displaystyle c_{1}={\frac {x-y}{\\sqrt{2}}:},\c_{2}={\frac {x+y}{\sqrt{2}}:$

기하학적 의미가 있다 그들은 R에서² 정형 좌표계를 결정한다. 즉, 회전(및 반사)을 적용하여 원래 좌표로부터 얻는다. 따라서 길이와 각도(특히 길이)에 대한 진술을 하기 위해 c와₁ c 좌표를₂ 사용할 수 있으며, 그렇지 않으면 다른 좌표 선택(예: 다시 정렬)에서 더 어려울 수 있다. 예를 들어 타원₁² c + 9c₂² = 1의 원점으로부터의 최대 거리는 c₂ = 0일 때 발생하므로 c₁ = ±1 지점에서 발생한다. 마찬가지로₂ 최소 거리는 c = ±1/3이다.

이제 이 타원의 주축과 부축을 읽어낼 수 있다. 이것들은 정확히₂ 매트릭스 A의 개별적인 에겐스페이스인데, 이것들은 c = 0 또는₁ c = 0이기 때문이다. 상징적으로, 주요 축은

${\displaystyle E_{1}={\text{span}}\left({\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}\right),\quad E_{2}={\text{span}}\left({\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}\right).}$

요약하면:

• 이 방정식은 타원에 대한 것인데, 두 고유값이 모두 양수이기 때문이다.(그렇지 않으면 한 고유값은 양수이고 다른 고유값은 음수라면 하이퍼볼라일 것이다.)
• 주축은 고유 벡터에 의해 확장되는 선이다.
• 원점까지의 최소 및 최대 거리는 대각선 형태로 방정식을 읽어낼 수 있다.

예를 들어, 이 정보를 사용하면 타원의 명확한 기하학적 그림을 얻을 수 있다.

형식명세서

주축 정리는 R의ⁿ 2차적 형태에 관한 것으로, 이는 도 2의 동질적인 다항식이다. 2차 형태는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle Q(\mathbf {x} )=\mathbf {x}^{\textsf {T}A\mathbf {x}}$

여기서 A는 대칭 행렬이다.

정리의 첫 부분은 스펙트럼 정리에 의해 보장된 다음과 같은 문장에 포함되어 있다.

• A의 고유값은 실재한다.
• A는 대각선이 가능하며, A의 어겐스페이스는 상호 직교한다.

특히 A는 직교로 대각선이 가능한데, 각 직교공간의 기초가 될 수 있고 직교 고유바시스를 얻기 위해 직교공간 내에 Gram-Schmidt 공정을 별도로 적용할 수 있기 때문이다.

두 번째 파트의 경우 A의 고유값이₁ ,, ..., λ_n(대수 승수에 따라 거의 반복됨)이고, 이에 상응하는 직교형 고유바시스는 u₁, ..., u_n.라고 가정한다. 그러면

${\displaystyle Q(\mathbf {x} )=\lambda _{1}c_{1}^{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\dots +\lambda _{n}c_{n}^{2}}}}}}}}}}$

여기서 c는_i 주어진 고유 베이시스 관련 좌표다. 더 나아가

i번째 주축은 n - 1 방정식 c_j = 0, j ≠ i에 의해 결정되는 선이다. 이 축은 벡터 u의_i 경간이다.

참고 항목

• 실베스터의 관성 법칙

참조

• Strang, Gilbert (1994). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press. ISBN 0-9614088-5-5.