주장 원리

복잡한 분석에서, 인수 원리(또는 Cauchy의 주장 원리)는 함수 로그 파생상품의 등고선 적분과 용적함수의 0과 극의 수 사이의 차이를 연관시킨다.

구체적으로 f(z)가 일부 폐쇄 등고선 C 내부와 일부 폐쇄형 등고선 C에 meromorphic 함수가 있고, f에 C에 0이나 극이 없다면,

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}\point _{C}{f'(z) \overf(z)\,dz=Z-P}$

여기서 Z와 P는 등고선 C 내부의 f(z)의 0과 극의 수를 각각 나타내며, 각 0과 극은 그 다중성과 순서가 각각 나타내는 수만큼 계수된다.이 정리의 진술은 등고선 C가 단순하고, 즉 자기 절절이 없고, 시계 반대 방향이라고 가정한다.

보다 일반적으로, f(z)가 복합 평면에서 오픈 세트 Ω의 공선형 함수이며, C가 모든 f의 0과 극을 회피하는 Ω의 폐쇄 곡선이며 Ω 내부의 한 지점까지 수축할 수 있다고 가정한다.각 점 z ∈ Ω에 대해 n(C,z)을 z 주위에 C의 구불구불한 숫자로 한다.그러면

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}\point _{C}{\f'(z)}{f(z)}}{f(z)}}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)-\sum _{b}n(C,b)\,},},}$

여기서 첫 번째 합계는 모든 0 a의 f를 곱으로 계산하고, 두 번째 합계는 순서와 함께 계산된 f의 극 b를 초과한다.

등고선 적분 해석

등고선 적분 $\oint {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\prime }^{}}{}}$( ${\displaystyle \frac{z}{}}$) f (${\displaystyle \frac{z}{}}$) ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle z\frac{}{}}$ ${\displaystyle \point _{C}{\frac$ {$f'(z)}{f(z$)}{f(z$)}}}}\,dz}$는 치환 w = f(z)를 사용하여 원점 주위의 f(C) 권선수의 2배로 해석할 수 있다$$.

${\displaystyle \point _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\point _{f(C)}{\frac {1}{w}\,dw}$

즉, z가 C 주위를 돌면서 정리의 이름을 설명하면서 f(z)의 총론 변화를 i 곱한 것이다. 이는 다음에서 따온 것이다.

${\dplaystyle {\frac {d}{dz}\log(f(z)={\frac {f'(z)}{f(z)}}}}$

그리고 인수와 로그 사이의 관계.

논거원칙의 증명

z를_Z f의 0이 되게 하라.f(z) = (z_Z - z)^kg(z)를 쓸 수 있는데 여기서 k는 0의 다중성이므로 g(z_Z) ≠ 0을 구한다.

${\displaystyle f'(z)=k(z-z_{Z}^{k-1}g(z)+(z-z_{Z})^{k}g'(z)\,\!}$

그리고

${\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={k \over z-z_{Z}+{g'(z) \over g(z)}}$

g(z_Z) ≠ 0이기 때문에 g' (z)/g(z)는_Z z에 특이점이 없으므로 z에_Z 분석적인 것으로, z에_Z f′(z)/f(z)의 잔류물이 k임을 의미한다.

z를_P f의 극이 되게 하라.f(z) = (z - z_P)^−mh(z)를 쓰면 되는데 여기서 m은 극의 순서, h(z_P)는 0이다. 그러면

${\displaystyle f'(z)=-m(z-z_{P}^{-m-1}h(z)+(z-z_{P})^{-m}h'(z)\,\!}$

그리고

${\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={-m \over z-z_{P}+{h'(z) \over h(z)}}}$

상기와 유사하게h(z)/h(z)는 h(z_P) ≠ 0 이후 z에_P 특이점이 없으므로 z에_P 분석한다.z에서_P f′(z)/f(z)의 잔류물이 -m임을 알 수 있다.

이를 종합하면, f의 각 0z의_Z 다중성 k는 fz(z)/f(z)를 위한 단순한 폴을 만들고, f의 각 폴 z는_P f′(z)/f(z)를 위한 단순한 폴을 만들고, 나머지 폴은 -m(여기서, 단순한 폴은 순서 1을 의미한다)을 의미한다.또한 f′(z)/f(z)에는 다른 극이 없으므로 다른 잔류물이 없음을 알 수 있다.

잔류물 정리로는 C에 대한 적분은 2πi의 산물이며 잔류물의 합이 된다는 것을 알 수 있다.0의 각 0에_Z 대한 k의 합은 0의 승수를 계산하는 0의 수, 마찬가지로 극의 수로서, 우리는 우리의 결과를 얻었다.

적용 및 결과

논거 원리는 컴퓨터에서 영점 또는 영점 함수의 극을 효율적으로 찾기 위해 사용될 수 있다.반올림 오류가 있더라도 $표현{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{1\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ i ${\displaystyle \frac{}{}{}_{}}$ c f${\displaystyle \frac{{\prime }^{}}{}}$( ${\displaystyle {}_{}\frac{{}^{}}{}}$ ) ${\displaystyle \frac{}{}}$ (${\displaystyle \frac{z}{}}$) ${\displaystyle d}$ z${\displaystyle {1 \over$2$\pi$ i$}\point _{$C}{$f'($z) $\over f(z$)\,$dz}$는 정수에 가까운 결과를 산출한다$$. 다른 등고선 C에 대한 정수를 결정함으로써 0과 극의 위치에 대한 정보를 얻을 수 있다.리만 가설의 수치적 테스트는 임계선을 교차하는 직사각형 안에 있는 리만 함수${\displaystyle (s}$ $){\displaystyle \xi(s)}$의 0 수에 대한 상한선을 얻기 위해 이 기법을 사용한다.

루셰의 정리 증명은 주장 원리를 이용한다.

피드백 제어 이론에 관한 현대 책들은 나이키스트 안정성 기준의 이론적 기초가 되기 위해 꽤 자주 논거 원리를 이용한다.

주장 원리의 보다 일반적인 공식화의 결과는, 동일한 가설에서, g가 Ω의 분석 함수인 경우, 그 다음이다.

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}\point _{C}g(z){f(z)}{f(z)}}{f(z)}}}}}}\f(z=\sum){a}n(c,a)g-\sum _{b}n(b)g(b).}$

예를 들어, f가 단순한 등고선 C 안에 0₁, ..., z가_p 있고 g(z) = z가^k 있는 다항식인 경우,

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}\point _{C}z^{k}{f'(z)}{f}}}{f(z)}}}}}\,dz=z_{1}^{k}+z_{2}+}+{p}^{k}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

f 루트의 파워 합계 대칭 다항식이다.

또 다른 결과는 복잡한 적분을 계산하는 경우 다음과 같다.

${\displaystyle \point _{C}f(z){g'(z) \over g(z)\,dz}$

g와 f의 적절한 선택을 위해 우리는 아벨-플라나 공식을 가지고 있다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)-\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx=f(0)/2+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt\,}$

그것은 이산형 합과 그것의 적분 사이의 관계를 나타낸다.

일반화 논거 원리

주장 원리가 즉각 일반화되고 있다.g가 영역 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$에서 분석적이라고 가정해 보십시오$.$

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}\point _{C}{f(z)\over f(z)}g(z)\,dz=\sum _{a}g(a)n(C,a)-\sum _{b}g(C,b)\,}}$

여기서 첫 번째 합계는 다시 f의 모든 0에 대한 것이며, 두 번째 합계는 그들의 주문과 함께 계산된 f의 극 b에 대한 것이다.

역사

According to the book by Frank Smithies (Cauchy and the Creation of Complex Function Theory, Cambridge University Press, 1997, p. 177), Augustin-Louis Cauchy presented a theorem similar to the above on 27 November 1831, during his self-imposed exile in Turin (then capital of the Kingdom of Piedmont-Sardinia) away from France.그러나 이 책에 따르면, 극이 아닌 0만 언급되었다.카우치에 의한 이 정리는 수년이 지난 1874년에야 손으로 쓴 형태로 출판되어 읽기가 상당히 어렵다.카우치는 죽기 2년 전인 1855년에 0과 극에 대한 토론이 있는 논문을 발표했다.

참고 항목

• 로그파생상품
• 나이키스트 안정성 기준

참조

• Rudin, Walter (1986). Real and Complex Analysis (International Series in Pure and Applied Mathematics). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1.
• Ahlfors, Lars (1979). Complex analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7.
• Churchill, Ruel Vance; Brown, James Ward (1989). Complex Variables and Applications. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-010905-6.
• 백라이트, R.-J. (1914) Sur les zéros de la ponpection zeta de Riemann, C. R. acad.파리 158, 1979–1982.

외부 링크

• "Argument, principle of the", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]