검정력 합계 대칭 다항식

수학에서, 특히 역 대칭 다항식은 합리적 계수를 가진 모든 대칭 다항식은 합리적인 계수를 가진 전력 총 대칭 다항식의 생산물의 합과 차이로 표현될 수 있다는 점에서 대칭 다항식의 기본 구성 블록의 한 유형이다.그러나, 정수 계수를 가진 모든 대칭 다항식이 파워섬 다항식의 생산물의 적분 조합에 의해 생성되는 것은 아니다. 즉, 그것들은 이성 위에 생성되는 집합이지만 정수 위에 생성되는 집합은 아니다.

정의

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 변수$$ x₁, ..., x_n, k = 0, 1, 2, ...에 대해 p라고_k 쓰여진 diquites k의 power sum 대칭 다항식은 변수의 모든 k번째 검정력의 합이다.형식적으로.

${\displaystyle p_{k}(x_{1},x_{2}},\reason,x_{n}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\,}$

이 다항식 중 처음 몇 개는

${\displaystyle p_{0}(x_{1},x_{2}},\reason,x_{n}=1+1+\cdots +1=n\}$

${\displaystyle p_{1}(x_{1},x_{2}},\reason,x_{n}}=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\...}$

${\displaystyle p_{2}(x_{1},x_{2}},\reason,x_{n}=x_{1}^{2}+x_{2}}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\...}$

${\displaystyle p_{3}(x_{1},x_{2}},\reason,x_{n}=x_{1}^{3}+x_{2}}^{3}+\cdots +x_{n}^{3}\,}$

따라서 각 비음수 $정수{\displaystyle }$ k ${\displaystyle k$에 대해 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 변수에$$ $정확히$ 하나의 전력 합계 k ${\displaystyle k}$이(가) 존재한다.

동력합 대칭 다항식의 제품의 모든 일체형 선형 결합을 취함으로써 형성된 다항식 링은 정류형 링이다.

예

다음은 $n{\displaystyle .}${\$displaystyle n.}$의 처음 세 가지 양의 값에 대해 양수까지인 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$n.} 전원$$ 합 대칭 다항식을 나열한 것이다$$. 모든 $경우{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$0 = ${\displaystyle n}${\$displaystyle p_{0}=n}$은 다항식 중 하나이다.1도에서 n까지의 힘의 합 대칭 다항식이 아래에 기술된 정리의 의미에서 기본이기 때문에 목록은 n 도까지 올라간다.

n = 1인 경우:

${\displaystyle p_{1}=x_{1}\,}$

n = 2인 경우:

${\displaystyle p_{1}=x_{1}+x_{2}\...}$

${\displaystyle p_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}}^{2}\,.}$

n = 3인 경우:

${\displaystyle p_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}\}$

${\displaystyle p_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}}^{2}+x_{3}^{2}\,,}$

${\displaystyle p_{3}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}}^{3}\,,}$

특성.

n 변수에서 1, 2, ..., n의 전력 합계 대칭 다항식 집합은 n 변수에서 대칭 다항식의 링을 생성한다.좀 더 구체적으로:

정리.합리적인 계수를 갖는 대칭 다항식의 링은 $합리적$인 다항식 링 Q${\displaystyle }$[${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, p ${\displaystyle n_{}{}_{}}$ . ${\displaystyle \mathb {Q} [p_{1},\ldots ,p_{n}]$와 같다.$}$ 특성 0의 어느 분야에서든 계수를 취하더라도 마찬가지다$$.

그러나 계수가 정수여야 하는 경우에는 그렇지 않다.예를 들어, n = 2의 경우 대칭 다항식

${\displaystyle P(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}}x_{2}}:$

라는 표현이 있다.

${\displaystyle P(x_{1},x_{2})={\frac {p_{1}^{3}-p_{1}p_{1}2}}+{\frac {p_{1}^{2}-p_{2}}:}$

분수를 포함하는.정리에 따르면 $P{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle P(x_{1},x_{2})$를 p와₁ p의₂ 관점에서$$ 표현하는 유일한 방법이다.따라서 P는 일체형 다항 링 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ [p${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle \mathb$ {$Z}[p_{1},\ldots ,p_{n}]$에 속하지 않는다.$}$ 또 다른 예를 들어$$, 전력 총량 다항식에서 다항식으로 표현되는 초기 대칭 다항식 e는_k 모두 적분 계수를 가지지 않는다.예를 들어.

${\displaystyle e_{2}:=\sum _{1\leq i}x_{i}x_{j}={\frac {p_{1}^{2}-p_{2}}:\,}$

장에 0과 다른 특성이 있다면 정리도 거짓이다.예를 들어 필드 F에 특성 2가 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ p ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= p ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$}}:$$p와₁ p는₂ e₂ = xx를₁₂ 생성할 수 없다.

정리에 대한 부분적인 증거의 스케치:뉴턴의 정체성에 의해 힘의 합계는 기본적인 대칭적 다항식의 함수로서, e의_j 관점에서 힘의 합계를 제공하는 명시적 함수는 복잡하지만, 이는 다음과 같은 반복 관계에 의해 암시된다.

${\displaystyle p_{n}=\sum _{j=1}^{n(-1)^{j-1e_{j}p_{n-j}\,}$

동일한 반복을 다시 쓰는 경우, 검정력 합계에 대한 기본 대칭 다항식(역시 암묵적으로, 명시적 공식은 복잡함):

${\displaystyle e_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n(-1)^{j-1e_{n-j}p_{j}\,}$

이는 기본 다항식이 1도, ..., n의 전력 합계 다항식의 선형 결합은 비록 적분은 아니지만 합리적이라는 것을 의미한다. 기초 대칭 다항식은 한 필드에 계수가 있는 모든 대칭 다항식의 대수적 기초이므로, n 변수의 모든 대칭 다항식은 다항식이라는 것을 따른다.al function ${\displaystyle f(p_{1},\ldots ,p_{n})}$ of the power sum symmetric polynomials p₁, ..., p_n. That is, the ring of symmetric polynomials is contained in the ring generated by the power sums, ${\displaystyle \mathbb {Q} [p_{1},\ldots ,p_{n}].$$}}$ 모든 동력합 다항식이 대칭이기 때문에$$ 두 링은 같다.

(이는 다항식 f가 고유하다는 것을 증명하는 방법을 보여주지 않는다.)

유사한 특성을 가진 다른 대칭 다항식 시스템의 경우 완전한 동종 대칭 다항식을 참조하십시오.

참조

• Ian G. Macdonald(1979년), Symmetric Functions 및 Hall Polyomials.옥스퍼드 수학 모노그래프스옥스퍼드: 클라렌던 프레스.
• Ian G. Macdonald (1995년), Symmetric Functions and Hall Polyomials (대칭 기능 및 홀 다항식, 두 번째 에드)옥스퍼드: 클라렌던 프레스. ISBN0-19-850450-0 (페이퍼백, 1998)
• 리처드 P. Stanley(1999), Enumerative Compinatorics, Vol. 2. Cambridge:케임브리지 대학 출판부.ISBN 0-521-56069-1

참고 항목

• 표현 이론
• 뉴턴의 정체성