의사 공간

수학에서 의사 공간(pseudometric space)은 두 점 사이의 거리가 0이 될 수 있는 메트릭 공간의 일반화입니다.유사 측정 공간은 1934년 Duro Kurepa에^[1][2] 의해 도입되었다.모든 정규화된 공간이 미터법 공간인 것처럼, 모든 세미노름화된 공간은 의사 측정 공간입니다.이러한 유사성 때문에 (위상학에서 다른 의미를 갖는) 세미메트릭 공간이라는 용어는 특히 함수 분석에서 동의어로 사용되기도 한다.

의사 메트릭 패밀리를 사용하여 토폴로지가 생성되면 이 공간을 게이지 공간이라고 합니다.

정의.

A의거리 공간(X, d){\displaystyle(X,d)}집합이다. X{X\displaystyle}같이non-negative 실수를 사용한 기능 d로 X×X⟶ R≥ 0,{\displaystyle d:X\times X\longrightarrow \mathbb{R}_{\geq 0},}는 .mw-parser-output .vanchor> 부르던;:target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}pseudometric, su.Ch 모든 x, y, z∈ X에는{x,y,z\in X\displaystyle,}.

1. ${\displaystyle d(x,x)=0.}$
2. 대칭:${\displaystyle }d{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle y}$ ) $=$ (${\displaystyle y}$ ,${\displaystyle x}$) { $displaystyle$d ($x$ , y$)=$ d ( $y$, x ) 。
3. 서브가산도/삼각부등식:${\displaystyle }d{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle z}$ )${\displaystyle d}$d (${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle y}$)+${\displaystyle d}$ (${\displaystyle y}$ ,$z ){$ $displaystyle$d ($x$ , z )\$leq$d ($x$ ,$y$ )+$d ( y$ ,$z$ ) }

메트릭 공간과 달리 의사 측정 공간 내의 포인트는 구분할 필요가 없습니다.즉, 고유한 $값{\displaystyle }$ x${\displaystyle \mu }$y .$$\ $displaystyle$x \ $neq$ y }에 대해 d ${\displaystyle (x}$ ,${\displaystyle y}$ ) ${\displaystyle =}$ { $displaystyle$d ($x$ , y ) =$0$} $이$ 될 수 있습니다$.$

예

임의의 메트릭 공간은 의사 측정 공간입니다.의사 측정법은 함수 분석에서 자연스럽게 발생한다.실수치 $함수{\displaystyle }$f : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$:X\$$to$\$mathbb {R}}$의 공간${\displaystyle }$F($X)$ {style {$F$$}}(X)}$과 $특수점{\displaystyle {}_{}}$ $0$X를 함께 고려합니다$.$ 이 점은 주어진 공간에 의사 함수를 유도합니다$.$

$f{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle gf}$F (${\displaystyle X}$) { $displaystyle$ f$,g \ in$ { $mathcal${ F$$}$（$X ） } 。

벡터 $공간{\displaystyle }$ V$,$ \$displaystyle$ V$,\$$displaystyle$ p는$$ $다음$과 같이 V$\displaystyle$V에 $의사측정$을 유도합니다.

반대로, 균일한 변환 불변 의사 측정치는 세미노름을 유도합니다.

의사측정학은 쌍곡복소다양체 이론에서도 발생한다: 고바야시 측정법 참조.

모든 측정 공간$({\displaystyle \mathrm{\delta }}$,${\displaystyle A}$ ,${\displaystyle }$μ $){displaystyle (\Omega$ , {\$mathcal {A}} ,\$mu )}을(를) 정의하면 완전한 의사 측정 공간으로 볼 수 있습니다.

모든 $A{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle Ba\mathcal{}}$ A$,$ {\$displaystyle$ A$,B\in${\$mathcal {A}}$에 대해 삼각형은 대칭 차이를 나타냅니다.

$f$${\displaystyle }$: ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 1 $→$ ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$2 ({$displaystyle$ f$:X_{1}\to$ X_${2})$가 함수이고₂ d가 X의 의사측정학인₂ $경우{\displaystyle }$ ${\displaystyle {d1\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$) : ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {d2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}x}$) ,${\displaystyle f}$ ( ${\displaystyle y}$ )${\displaystyle }$\$displaystyle d_{1$} ($x$$,$y ) : $d_{2$} ( f ) （ f ) ）$$。d가 메트릭이고 f가 주입인 경우₂ d는₁ 메트릭입니다.

토폴로지

의사측정 토폴로지는 오픈볼에 의해 생성되는 토폴로지입니다.

토폴로지의 ^[3]기반이 됩니다.위상공간은 의사측량위상이 공간상의 주어진 토폴로지와 일치하도록 의사측량을 부여할 수 있는 경우 의사측량가능공간이라고^[4] 한다.

의사 측정과 메트릭의 차이는 완전히 토폴로지적인 것입니다.즉, 의사측정은 생성되는 토폴로지가 T인₀ 경우에만 메트릭입니다(즉, 개별 포인트가 토폴로지적으로 구별 가능).

메트릭 공간에 대한 코시 시퀀스와 메트릭 완료의 정의는 변경되지 않은 ^[5]의사 측정 공간으로 전달됩니다.

메트릭 식별

의사 측정값이 소실되면 메트릭 식별이라고 불리는 등가 관계가 유도되어 의사 측정값이 완전한 메트릭 공간으로 변환됩니다.${\displaystyle \mathrm{이것}}$은${\displaystyle }$d${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle y}$$$) ${\displaystyle =}$ { $display$d ( x , y ) ${\displaystyle {=}^{}}$ 0$${ $style$ d ($x$$$, y ) $let$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {}^{}}$X${\displaystyle }$/ ~$${ \ $display style$ X } =$X$/ { \ $sim$$$$}$ the$$$$、 X / { \ $display style$ X$$} $the$ ient $of{\displaystyle {}^{}}$ of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of 、 X of of of of of of ~ ~ ~ of of of of of of of of of of

$이$는 x ${\displaystyle [}$ [ $]{$ $displaystyle$ x ' \ $in$[ $x$${\displaystyle }$${\displaystyle {]}^{}}$ $=$ { $displaystyle$d ($x$ , $x$ , ${\displaystyle x}$ ' )= $0$${\displaystyle \mathrm{so<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; d(x,x\text{'})=0\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/04a09e5996ba9e9df07bfe3299ad038a31a15b9d"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:11.664ex;\; height:3.009ex;">}}$ $so$ d (${\displaystyle x}$,${\displaystyle }$y ) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle d}$ ( ${\displaystyle x}$,${\displaystyle }$y )${\displaystyle =d}$(${\displaystyle }$x , ${\displaystyle y}$ ) $style$d ( ${\displaystyle x}$ ,$y )$、 $display$ display $dy$d .$다음$으로 d$({$ d$^{*})$는 X$({$ X$^{*})$의 메트릭이며$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ d$))$는 의사계 공간($X,$d$)$에 의해 유도되는 메트릭 공간이라고 불리는 잘 $정의$된 메트릭 공간입니다$.$^[6][7]

메트릭 식별은 유도 토폴로지를 유지합니다.$즉{\displaystyle }$, ($A{\displaystyle }$) ${\displaystyle =}$ [$]$ ($A$$)$$\displaystyle$ ($A$$)$${\displaystyle =}$${\displaystyle }$[A] (A${\displaystyle )}$ \displaystyle (A)$$ [A] (${\displaystyle A}$) \$displaystyle$$$(${\displaystyle A{}^{}}$) = [A$]$ (A) \displaystyle (Display${\displaystyle {}^{}}\}{\displaystyle }$ ($X,$${\displaystyle }$${\displaystyle {}^{}{}^{}}$에서 서브셋 ${\displaystyle X}$가 열려 있다(또는 닫혀 있다.위상 식별은 콜모고로프 지수입니다.

이 구성의 예는 코시 시퀀스에 의한 메트릭 공간의 완성입니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 미터법 공간 – 거리 개념의 수학적 공간
• 메트릭 시그니처 – 메트릭텐서의 양, 음 및 제로 고유값의 수
• 미터법 토폴로지 벡터 공간– 토폴로지를 메트릭으로 정의할 수 있는 토폴로지 벡터 공간

메모들

레퍼런스

• Arkhangel'skii, A.V.; Pontryagin, L.S. (1990). General Topology I: Basic Concepts and Constructions Dimension Theory. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Springer. ISBN 3-540-18178-4.
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, Arthur (1995) [1970]. Counterexamples in Topology (new ed.). Dover Publications. ISBN 0-486-68735-X.
• Willard, Stephen (2004) [1970], General Topology (Dover reprint of 1970 ed.), Addison-Wesley
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• "Example of pseudometric space". PlanetMath.