2차 제약 없는 이진 최적화

구속되지 않은 2차 2차 프로그래밍(UBQP)이라고도 하는 2차 무제한 2차 최적화(QUBO)는 금융 및 경제에서 기계 ^[1]학습에 이르기까지 광범위한 응용 프로그램을 사용하는 조합 최적화 문제입니다.QUBO는 NP의 어려운 문제이며, 최대 컷, 그래프 컬러링, 파티션 문제 등 이론적인 컴퓨터 과학에서 발생하는 많은 고전적인 문제에 대해 QUBO에 포함시키는 것이 ^[2][3]공식화되었습니다.기계 학습 모델을 위한 임베딩에는 지원-벡터 기계,^[4] 클러스터링 및 확률론적 그래픽 모델이 포함된다.게다가, 이싱 모델과의 밀접한 연관성 때문에, QUBO는 단열 양자 계산을 위한 중심 문제 클래스를 구성하며, 양자 ^[5]어닐링이라고 불리는 물리적 과정을 통해 해결된다.

정의.

${\displaystyle f_{}}$Q : ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ {\$displaystyle f_{Q}:\mathbb {B}$^{$n}\rightarrow \mathbb {R}}$을$($를) 이진 변수 위의 2차 다항식이라고 합니다.

${\displaystyle f_{Q}(x)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{i}q_{i}x_{i}x_{j}$

$i{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle [}$ [ $]$ \ $displaystyle$ i $\ in$$$[ n$]$의$$경우$$ x $b$B { $displaystyle x$$_$ { i } $in$ \$mathbb$ { R$$$}$ $x{\displaystyle \mathrm{}}$ 、 1${\displaystyle i}$ i$$ ${\displaystyle n\mathbb{}}$ \ $displaystyle$ 1 \ q$le$j ${\$ n 1 with with with with with with${\displaystyle {}_{}}$i with with with i i i i i i i i i i i i i i i i ${\displaystyle i_{}}$ i i i i i i$$ ${\displaystyle {\mathrm{with}}_{}}$ual $to{\displaystyle }$n {\$displaystyle$ n$\}$ $및{\displaystyle \mathbb{}}$ B ${\displaystyle =}$ {${\displaystyle 0}$ , ${\displaystyle 1}$ $}$ { \ $displaystyle$\$mathbb${$B =$ \ $lbrace$0 ,$1$ \ $lbrace$ $\}$ 。$QUBO$ 문제는 모든 바이너리 벡터 중에서$$ { style $f_{Q}$에 $대해{\displaystyle {}_{}}$ 최소값인 $바이너리{\displaystyle {}^{}}$ 벡터 x$$ {\ $displaystyle$ x$$}를$$ 찾는 것입니다.

${\displaystyle x^{*}= 언더셋 {x\in \mathbb {B}^{n}}{\display \min }}~f_{Q}(x)}$

${\displaystyle {때때로}_{}}$ QUBO는 문제의 복잡도 등급에 영향을 미치지 않는 최소화 문제가 아니라 최대화 문제로 정의됩니다. f Q$({$ $f_{$$Q})$의 $최대화$는${\displaystyle {}_{}}$f - ${\displaystyle Q_{}}$ $=$ - ${\displaystyle {}_{}}$({-Q}=-$f_{Q$})$$의 최소화와 같기 때문입니다(아래 참조).$(\$를 공식화하는 또 다른 보다 콤팩트한 방법은 매트릭스 표기법입니다.

${\displaystyle f_{Q}(x)=x^{\top}Qx}$

$여기$서 Q${\displaystyle r^{}}$ R${\displaystyle {}^{}}$×$$n \ $displaystyle$Q \ $in$\ $mathbb${$R$} ^ {$n$ \ $times$ n$$}은$$ 계수q ${\displaystyle i_{}}$ $j{\displaystyle {}_{}}$ {$displaystyle$q _ { $ij }$를 포함하는$$대칭n × $n{\displaystyle }$ {$displaystyle$n \ $times$ n$$} ${\displaystyle \mathrm{행렬}}$입니다.

특성.

• $계수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$j { $display$ style $q$_ { $ij$}에$$ 플러스 > { { $displaystyle$\ $alpha$> $0$}을 곱하면 f$${ $displaystyle$ f$$}의 출력은 그에 따라$$ 스케일업 되고 $최적{\displaystyle {}^{}}$ x ${\$ { $displaystyle$ x$^$ { * }는$$ 변경되지 않습니다.

$\displaystyle f_{\alpha Q}(x)=\sum _{i\leq j}x_{j}=\alpha \sum _{i\leq j}q_{ij}x_{i}x_{j}=\alpha f_{Q}(x}(x)=\alpha f_{Q}(x})$

• 모든 계수의 부호를 플립하면 f$${\$displaystyle$ f$\}$의 출력 부호가 플립되며 x ${\$ {\$displaystyle$ $x$$^{*}$가${\displaystyle {}_{}}$f -$$ ${-Q$를 $최대화$하는 바이너리 벡터가 $됩니다{\displaystyle {}^{}}$.

$\displaystyle f_{-Q}(x)=\sum _{i\leq j}(-q_{ij}x_{j}=-\sum _{i\leq j}q_{i}x_{j}=-f_{Q}(x)$

• 모든 계수가 양수인 경우 최적치는 $trivally{\displaystyle {}^{}}$ x${\displaystyle {}^{}}$µ ${\displaystyle =}$ (${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle ...}$, ${\displaystyle 0}$ ) { $display$ x^{*} = ( $0$, \$display$ , $0$$$) 입니다$.$ 마찬가지로 모든 계수가 음수인 경우 최적치는 $x{\displaystyle {}^{}}$µ ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle ...}$ , ${\displaystyle 1}$) { $display style$ x^{*} = ( 1$,\ display$ , 1$$) 입니다$.$
• 만약 제가 j≠ ∀:qi=}, 해당 QUBO 문제 O(n){\displaystyle{{O\mathcal}}(n)에서 해결할 수 있는 알고리즘은}, 나는 ∗ 최적의 가변 과제){\displaystyle x_{나는}^{*}}단순히고 1만약 내 나는 < q;0{\displaystyle q_{ii}<. 0}일 경우와 0otherwis 0{\displaystyle \forall i\neq j:~q_{ij}=0 j.e.

Ising 모델에 대한 연결

QUBO는 해밀턴 함수가 다음과 같이 정의되는 이징 모델과 매우 밀접하게 관련되고 계산적으로 동등하다.

$\displaystyle H(\sigma)=-\sum _{\sum i~j\rangle}J_{ij}\sigma _{j}-\mu \sum _{j}h_{j}\sum _{j}\sigma _{j}$

$실제값{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {파라미터}_{}{hj}_{}}$,$,$ μ {\$displaystyle h_{$j}를 사용합니다.$J_{ij},\mu }$는 모든 $i{\displaystyle ,}$ $,$ j\$displaystyle$ i$,j$에$$적용됩니다.스핀 변수 $(\$ _${j})$는 B$(\$가 ${\displaystyle \mathrm{아닌}}$ ${\displaystyle \{-1,}$ $+1$rbrace}(\$displaystyle \lbrace$-1,+1\rbrace$})$의 값을 가진 이진수입니다. 또한 Ising 모델에서는 변수가 ${\displaystyle \text{일반적}}$으로 인접 변수${\displaystyle }$i(\$displ$$)$의 쌍으로만 배열되어 있습니다${\displaystyle .}$$ystyle \sysle i~j\rangle }$는 0이 아닌 계수를 가질 수 있습니다.아이덴티티${\displaystyle 22x}$ -$$1$(\displaystyle \sigma$ \mapsto $2x-1)$을 적용하면 동등한 QUBO ^[2]문제가 발생합니다.

${\displaystyle {argelle i~j\rangle }-J_{ij}(2x_{i}-1)+{j}\mu h_{j}(2x_{j}-1)\mu h_{j}(2x_{j}-1)\&=_rangle ij}J_{ij}x_{i}+2J_{ij}x_{j}-J_{j}+\sum _{j}2\mu h_{j}-\mu h_{j}-&{\text {using }x_{j}x_{j}-&{\sum}_{i}_{i}_{i}_{i}_{i}+{i}_i}_i}_{i}_i}_i}_i}_i}_i}_i}_i}_i}_i}_i}$

어디에

$\displaystyle { begin { aligned }q _ { if } \ text { if } \ neq j \ sum _ { \ sum _ { \ samle k ~ i \ rangle } 2 J _ { ki } + \ sum _ { \ beginle i ~ \ rangle } 2 J _ { \ mu } } }$

$상수{\displaystyle }$C {\$displaystyle$C}는 최적 xθ$${\$displaystyle$ x$^\{*\}\}$의 위치가 변경되지 않으므로 최적화 시 무시될 수 있으며 원래의 해밀턴 함수 값을 회복하는 데에만 중요합니다.

레퍼런스

외부 링크

• Endre Boros, Peter L Hammer & Gabriel Tavares (April 2007). "Local search heuristics for Quadratic Unconstrained Binary Optimization (QUBO)". Journal of Heuristics. Association for Computing Machinery. 13 (2): 99–132. doi:10.1007/s10732-007-9009-3. S2CID 32887708. Retrieved 12 May 2013.
• Di Wang & Robert Kleinberg (November 2009). "Analyzing quadratic unconstrained binary optimization problems via multicommodity flows". Discrete Applied Mathematics. Elsevier. 157 (18): 3746–3753. doi:10.1016/j.dam.2009.07.009. PMC 2808708. PMID 20161596.