준정확한 해결 가능성

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A linear differential operator L is called quasi-exactly-solvable (QES) if it has a finite-dimensional invariant subspace of functions ${\displaystyle \{{\mathcal {V}}\}_{n}}$ such that ${\displaystyle L:\{{\mathcal {V}}\}_{n}\rightarrow \{{\mathcal {V}}\}_{n},}$ where n is a dimen$\{{\displaystyle V\mathcal{}}$ ${\displaystyle \}{}_n}$ ${\$의 sion. 중요한 두 가지 경우가 있다.

1. ${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle V\mathcal{}}$ ${\displaystyle \}{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$은(는) 일부 정수보다 높지 않은 다변량 다항식의 공간이며,
2. ${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle V\mathcal{}}$ ${\displaystyle \}{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$은(는) 힐버트 공간의 하위 공간이다$$.기능공간$\{{\displaystyle V\}{}_n}$ ${\$이(가) 1차 차등 연산자의 Lie 대수 g의 유한차원 표현공간과 이형성이 있는 경우도$$ 있다.이 경우 연산자 L을 g-Lie-algebraic Squi-Exactly-Solutable 연산자로 부른다.보통 L이 블록-삼각형 형태를 갖는 근거를 나타낼 수 있다.연산자 L이 2차 순서이고 슈뢰딩거 연산자의 형태를 가지고 있다면 준정확히 해결 가능한 슈뢰딩거 연산자라고 한다.

가장 많이 연구된 경우는 ${\displaystyle \mathrm{1차원}}$ ${\displaystyle s}$ l${\displaystyle }$( 2$){\displaystyle sl(2)}$ -Lie-algebraic$$ 준정확히 해결 가능한 (Schrödinger) 연산자다.가장 잘 알려진 예는 해밀턴식 오실레이터가 있는 섹스트릭 QES(Sextic QES)이다.

${\displaystyle \{{\mathcal {H}}\}=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+a^{2}x^{6}+2abx^{4}+[b^{2}-(4n+3+2p)a]x^{2},\ a\geq 0\ ,\ n\in \mathbb {N} \ ,\ p=\{0,1\},}$

여기서 (n+1) 양의 (음의) 패리티의 고유상태를 대수적으로 찾을 수 있다.그들의 고유 기능은 형식이다.

${\displaystyle \PSI (x)\\x^{p}P_{n}(x^{2})e^{-{-{\frac^{4}}{4}-{\frac^{bx^{2}}\},},}$

여기서 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle P_{n}(x^{2})$은 n 도수의 다항식이고 (energies) 고유값은 도(n+1)의 대수 방정식의 루트다.일반적으로 1차원 QES 문제의 12개 계열이 알려져 있는데, 그 중 2개 계열은 타원형 전위성으로 특징지어진다.

참조

• Turbiner, A.V.; Ushveridze, A.G. (1987). "Spectral singularities and quasi-exactly solvable quantal problem". Physics Letters A. Elsevier BV. 126 (3): 181–183. Bibcode:1987PhLA..126..181T. doi:10.1016/0375-9601(87)90456-7. ISSN 0375-9601.
• Turbiner, A. V. (1988). "Quasi-exactly-solvable problems and ${\displaystyle sl(2,R)}$ algebra". Communications in Mathematical Physics. Springer Science and Business Media LLC. 118 (3): 467–474. doi:10.1007/bf01466727. ISSN 0010-3616.
• González-López, Artemio; Kamran, Niky; Olver, Peter J. (1994), "Quasi-exact solvability", Lie algebras, cohomology, and new applications to quantum mechanics (Springfield, MO, 1992), Contemp. Math., vol. 160, Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 113–140
• Turbiner, A.V. (1996), "Quasi-exactly-solvable differential equations", in Ibragimov, N.H. (ed.), CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, vol. 3, Boca Raton, Fl.: CRC Press, pp. 329–364, ISBN 978-0849394195
• Ushveridze, Alexander G. (1994), Quasi-exactly solvable models in quantum mechanics, Bristol: Institute of Physics Publishing, ISBN 0-7503-0266-6, MR 1329549

외부 링크

• Olver, Peter, A Quasi-Exactly Solvable Travel Guide (PDF)