미분 연산자

수학에서 미분 연산자는 분화 연산자의 함수로 정의되는 연산자를 말한다. 표기의 문제로서 먼저, 어떤 기능을 받아들이고 다른 기능(컴퓨터 과학에서 고차 함수의 스타일로)을 반환하는 추상적인 연산으로서 분화를 고려하는 것이 도움이 된다.

이 글에서는 가장 일반적인 유형인 선형 미분 연산자를 주로 고려한다. 그러나 슈바르츠 파생상품과 같은 비선형 차동 연산자도 존재한다.

정의

이 구간은 확장이 필요하다. 추가하면 도움이 된다. (2014년 11월)

Assume that there is a map ${\displaystyle A}$ from a function space ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$ to another function space ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$ and a function ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}_{2}}$ so that ${\displaystyle f}$ is the image of ${\displaystyle u}$${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}$ ${\$$displaystyle u\in {\mathcal {F}_{1},$ 즉$$ ${\displaystyle }$= ${\displaystyle A(u)}$ ${\displaystyle f=A(u)}.$u {\$displaystystyle u$}과 그 파생상품에 의해 정밀하게 생성되는 선형 조합으로 차동 연산자를 나타낸다.

where the list ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})}$ of non-negative integers is called a multi-index, ${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$ is called the length of ${\displayst$$yle \alpha }$,${\displaystyle a_{\alpha }(x)}$ are functions on some open domain in n-dimensional space, and ${\displaystyle D^{\alpha }=D_{1}^{\alpha _{1}}D_{2}^{\alpha _{2}}\cdots D_{n}^{\alpha _{n}}}$. The derivative above is one as functions or, sometimes, distributions or hyperfunctions and ${\textstyle D_{j}=-i{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$ or sometimes, ${\textstyle D_{j}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$.

공증

가장 일반적인 차등사업자는 파생상품을 취하는 조치다. 변수 x와 관련하여 첫 번째 파생상품을 취하기 위한 일반적인 명칭은 다음과 같다.

${\displaystyle \frac{d}{}}$$$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle {$d$\$over dx$},$ $D{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ D$\},$ $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle D_{x},$ $\partial {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$

더 높은 순위의 파생상품을 획득할 때, 사업시행자는 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ x ${\displaystyle \frac{n^{}}{}}$ ${\d^{n} \over dx^{n$ $D{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$ D$^{n$ $D{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ n ${\$ 또는 $\partial {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ n ${\$

인수 x의 함수 f의 파생상품은 때때로 다음 중 하나로 주어진다.

${\displaystyle [f(x)]}$

$(\displaystyle f'(x)).}$

D 표기법의 사용과 생성은 형태의 미분 연산자를 고려했던 올리버 헤비사이드에게 인정된다.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}}}}}}$

그의 미분 방정식 연구에서

가장 자주 나타나는 차동 연산자 중 하나는 라플라크 연산자로, 이 연산자는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}:{\partial x_{k}^{2}}.}$

또 다른 미분 연산자는 θ 연산자 또는 ta 연산자로, 다음에^[1] 의해 정의된다.

$\displaystyle \theta =z{d \over dz}.}$

고유특성은 z:의 단원형이기 때문에 이를 동질성 연산자라고도 한다.

n 변수에서 동질성 연산자는

하나의 변수에서와 같이 θ의 에겐스페이스는 동종 다항식의 공간이다.

서면으로, 일반적인 수학 관례를 따르는, 차등 연산자의 주장은 대개 연산자 자체의 오른쪽에 배치된다. 때로는 대체 표기법이 사용된다. 연산자 왼쪽과 연산자 오른쪽의 함수에 연산자를 적용한 결과, 그리고 양쪽에 있는 함수에 미분 연산자를 적용할 때 얻은 차이는 다음과 같이 화살표로 나타낸다.

${\displaystyle f{\overleftarrow {\not_{x}g=g\cdot \cdot \f}$

${\displaystyle f{\\overwrightarrow {\reason_{x}g=f\cdot \cdot \reason_{x}g}$

${\displaystyle f{\\weft _{x}g=f\cdot \prow_{x}f.}$

이러한 양방향 화살표 표기법은 양자역학의 확률 전류를 설명하는데 자주 사용된다.

델

나블라라고도 불리는 미분 연산자 델은 중요한 벡터 미분 연산자다. 그것은 맥스웰 방정식의 미분형 같은 곳에서 물리학에서 자주 나타난다. 3차원 데카르트 좌표에서 델은 다음과 같이 정의된다.

델은 경사를 정의하며, 다양한 물체의 컬, 발산, 라플라시안을 계산하는 데 사용된다.

연산자 연선

선형 차동 $연산자{\displaystyle }$ T ${\displaystyle T}$ 지정

이 연산자의 조정은 연산자 $T{\displaystyle {}^{}}$ $∗{\$와 같이 정의된다. 여기서$$ 스칼라 제품이나 내부 제품에 표기법 notation${\displaystyle ,,,}$ {,$\displaystyle \langle \cdot$ \angle }이$(가$) 사용된다$.$ 따라서 이 정의는 스칼라 제품의 정의에 따라 달라진다.

한 변수의 공식 연선

실제 간격(a, b)의 사각 통합 함수의 기능 공간에서는 스칼라 제품을 다음과 같이 정의한다.

여기서 f(x) 위의 선이 f(x)의 복잡한 결합을 나타낸다. f 또는 g가 $x{\displaystyle }$→ $a},$ $x$ → ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x\to b}$로 소멸되는 조건을 더하면 다음과 같이 T의 부호를 정의할 수 있다$.$

이 공식은 스칼라 제품의 정의에 명백히 의존하지 않는다. 그러므로 그것은 때때로 부선 연산자의 정의로 선택된다. 이 공식에 따라 $T{\displaystyle {}^{}}$ $∗{\$ T$^{*}}$를 정의할$$ 때 T의 형식적 부선이라고 한다.

(형식적으로) 자기 적응 연산자는 자신의 (형식) 연관과 동일한 연산자다.

여러 변수

Ω이 R의ⁿ 도메인이고, P가 Ω의 차동 연산자일 경우, P의 조정은 다음과 유사한 방식으로 L²(Ω)로 정의된다.

${\displaystyle \langle f,P^{*}g\angle _{L^{2}(\Oomega )}=\langle Pf,g\rangle _{L^{2}(\Oomega )}}}}}}}$

모든 부드러운 L 함수² f, g. 부드러운 함수는 L에서² 밀도가 높기 때문에, 이것은² L: P의^* 조밀한 부분 집합에 있는 부선을 정의한다.

예

스투름-리우빌 오퍼레이터는 공식적인 자칭 오퍼레이터의 잘 알려진 예다. 이 2차 선형 미분 연산자 L은 양식으로 작성할 수 있다.

${\displaystyle Lu=-(pu'+p'u')+qu=-(pu'+p'u')+qu=-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.}$

이 속성은 위의 형식 조정 정의를 사용하여 증명할 수 있다.

${\displaystyle {\reasoned}L^{*}u&{}=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[(-p')u]+(-1)^{0}(qu)\\&{}=-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\\&{}=-(pu)''+(p'u)'+qu\\&{}=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\&{}=-p'u'-pu''+qu\\&{}=-(pu')'+qu\\&{}=Lu\end{aligned}}}$

이 연산자는 이 연산자의 고유 기능(유전 벡터에 대한 아날로그)이 고려되는 스터름-리우빌 이론의 중심이다.

차동 연산자의 속성

분화는 선형이다.

${\displaystyle D(f+g)=(Df)+(Dg),}$

${\displaystyle D(af)=a(Df),}$

여기서 f와 g는 함수, a는 상수다.

함수 계수가 있는 D의 모든 다항식도 차등 연산자다. 규칙에 따라 차등 연산자를 구성할 수도 있다.

${\displaystyle(D_{1}\circule D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f)).}$

그런 다음 어느 정도의 주의가 필요하다. 첫째, 운용자 D의₂ 기능 계수는 D의₁ 적용에 필요한 횟수만큼 차이가 있어야 한다. 그러한 연산자의 링을 얻기 위해서 우리는 사용된 계수의 모든 순서의 파생상품을 가정해야 한다. 둘째로, 이 링은 상호작용이 되지 않을 것이다: 조작자 gD는 일반적으로 Dg와 같지 않다. 예를 들어 양자역학에서 기본적인 관계를 가지고 있다.

${\displaystyle Dx-xD=1.}$

D에서 일정한 계수를 갖는 다항식 연산자의 하위 링은 대조적으로 대응적이다. 그것은 다른 방식으로 특징지어질 수 있다: 그것은 번역-변환 연산자로 구성된다.

미분 연산자도 시프트의 정리를 따른다.

여러 변수

동일한 구조를 부분파생상품으로 수행할 수 있으며, 서로 다른 변수에 대한 차별화로 인해 통근하는 사업자가 발생할 수 있다(제2파생상품의 대칭 참조).

다항식 차동 연산자의 링

일변량 다항식 차동 연산자의 링

R이 링인 경우, $R{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle D}$ , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle$R$\langle$ D$,X\angle }$을 변수 D와 X에서 R에 대한 비확정 다항식 링이 되게$$ 하고, 나는 DX - XD - 1에 의해 생성된 양면 이상 링이 되게 한다. 그러면 R 위에 있는 일변량 다항식 미분 연산자의 링은 지수 링 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle ⟨}$ D${\displaystyle }$, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ⟩}$/ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R\langle D,$ X$\angle /I}$이다$.$ 이것은 비확정 단순 링이다. 모든 원소는 X ${\displaystyle a^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ b ${\displaystyle mod}$ I ${\displaystyle X^{a}D^{b}{\text{mod}}}$ 형식의 단항 조합으로 고유한 방법으로 작성할 수 있다$.$ 다항식의 유클리드 분할의 아날로그를 지원한다.

$R{\displaystyle }$[ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle R[X]}$ 위에 있는 차동 모듈^{[clarification needed]}(표준 파생용)$$은 R${\displaystyle }$modules $D{\displaystyle }$ , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ⟩}$/ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R\langle D,$ X$\rangle /I}$ 위에 있는 모듈로 식별할 수 있다$.$

다변량 다항식 차동 연산자의 링

If R is a ring, let ${\displaystyle R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle }$ be the non-commutative polynomial ring over R in the variables ${\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}}$, and I the two-sided ide원소에 의해 생성되는 알

${\displaystyle(D_{i}X_{j}-X_{j}-{j}D_{i}-\delta_{i}D_{j}D_{j}D_{i}}\ \ X_{i_{j}X_{j}X_{j}X_{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

$\Delta {\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle 1\leq$ i,$j{\displaystyle }$$\leq n,}$에 대해 모두 1${\displaystyle i}$ i$j\$delta } Δ ${\displaystyle \delta }$는 Kronecker delta이다. 그 다음에 R 위에 있는 다변량 다항식 차등 연산자의 링은 지수 링 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$D ${\displaystyle n_{}}$, X ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 1_{}}$/ I ${\displaystyle R\langle D_{1},\dots ,D_{n}, X_{n},\ldots ,X_{n}\$n}\$rangele /I}$이다$.$

이것은 비주문적인 심플 링이다. Every element can be written in a unique way as a R-linear combination of monomials of the form ${\displaystyle X_{1}^{a_{1}}\ldots X_{n}^{a_{n}}D_{1}^{b_{1}}\ldots D_{n}^{b_{n}}}$.

좌표 독립적인 설명

미분 기하학 및 대수 기하학에서 두 벡터 번들 사이의 미분 연산자에 대한 좌표 독립적인 설명을 갖는 것이 종종 편리하다. E와 F를 서로 다른 다지관 M 위에 두 개의 벡터 번들로 두십시오. 섹션 P : linear(E) → γ(F)의 R-선형 매핑은 제트 번들 J^k(E)를 통해 인자를 구하면 k번째 순서 선형 미분 연산자라고 한다. 즉, 벡터 번들의 선형 매핑이 존재한다.

${\displaystyle i_{P}:J^{k}(E)\to F}$

그런

${\displaystyle P=i_{P}\circle j^{k}}}$

여기서 j^k: γ(E) → γ(J^k(E))은 E의 k-jet의 어떤 섹션과 연관되는 연장이다.

이것은 단지 E의 특정 섹션 s에 대해, 지점 x ∈ M에서의 P의 값은 x에서 s의 k번째 순서 극소거동에 의해 완전히 결정된다는 것을 의미한다. 특히 이것은 p(s)가 x에서 s의 배아에 의해 결정된다는 것을 의미하는데, 이는 차등 연산자가 국소적이라는 말로 표현된다. 기초적인 결과는 역도 또한 참임을 보여주는 Peetre 정리이다: 모든 (선형) 국소 연산자는 미분이다.

정류 대수학과의 관계

선형 미분 연산자에 대한 등가지만 순수하게 대수적 설명은 다음과 같다: k+1 매끄러운 $함수{\displaystyle {}_{}}$ f${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$, ${\displaystyle f_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$c ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ (${\displaystyle M}$ )$${\$displaystyle f_{0},\ldots ,f_{k}\in$ C$^{port }(M)}$의 경우, R-선형 지도 P는 k번째 순서 선형 미분산 연산자다.

${\displaystyle [f_{k},[f_{k-1},[\cdots [f_{0},P]\cdots ]=0.}$

여기에서 브래킷${\displaystyle }$[${\displaystyle f}$, ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle ]}$: ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$( ${\displaystyle E}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$(${\displaystyle F}$ ${\displaystyle )}$ ${\디스플레이$ 스타일 $[f,P]:$$\Gamma ($E)\to $\Gamma (F)}$는 정류자로 정의된다.

$[f,P]=P(f\cdot s)-f\cdot P(s)}$

선형 미분 연산자의 이러한 특성화는 그것들이 정류 대수 위에 있는 모듈들 사이의 특정한 매핑임을 보여주며, 그 개념을 정류 대수학의 일부로 볼 수 있게 한다.

예

• 물리과학에 응용할 때, 라플라스 연산자와 같은 연산자는 부분 미분 방정식을 설정하고 해결하는 데 주요한 역할을 한다.
• 차등 위상에서는 외부 파생상품과 Lie 파생상품 사업자가 본질적인 의미를 갖는다.
• 추상 대수학에서 파생의 개념은 미적분학을 사용할 필요가 없는 미분 연산자의 일반화를 허용한다. 종종 그러한 일반화는 대수 기하학 및 정류 대수학에서 사용된다. 제트(수학)를 참조하십시오.
• 복합변수 = x + iy의 홀로모르픽 함수의 개발에서 복합함수는 때때로 두 개의 실제 변수 x와 y의 함수로 간주된다. 부분 미분 연산자인 Weatinger 파생 모델로 사용된다.
  $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ ,\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ .}$$

  
  이 접근방식은 또한 몇 가지 복잡한 변수의 기능과 운동 변수의 기능을 연구하는 데도 사용된다.

역사

차등 연산자를 독립된 존재로 쓰는 개념적 단계는 1800년 루이 프랑수아 앙투안 아르보가스트 덕분이다.^[2]

참고 항목

참조

외부 링크

• Wikimedia Commons의 차등 운영자와 관련된 미디어
• "Differential operator", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]