라마누잔 그래프

스펙트럼 그래프 이론에서 라마누잔 그래프(Ramanujan graph)는 스펙트럼 간격이 거의 가능한 큰 정규 그래프(극단 그래프 이론 참조)이다. 그러한 그래프는 훌륭한 스펙트럼 확장기다. 머티의 측량 논문에서 언급했듯이, 라마누잔은 "순수 수학, 즉 숫자 이론, 표현 이론, 대수 기하학의 다양한 분기를 사용한다"고 그래프를 그린다. 이 그래프들은 간접적으로 스리니바사 라마누잔의 이름을 따서 붙여졌다. 그들의 이름은 라마누잔-에서 유래되었다.피터슨 추측, 이 그래프들 중 몇 가지를 구성하는 데 사용되었다.

정의

Let ${\displaystyle G}$ be a connected ${\displaystyle d}$-regular graph with ${\displaystyle n}$ vertices, and let ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n}}$ be the eigenvalues of the adjacency matrix of ${\displaystyle G}$ (or the spectrum of $$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ $$. Because ${\displaystyle G}$ is connected and ${\displaystyle d}$-regular, its eigenvalues satisfy ${\displaystyle d=\lambda _{1}>\lambda _{2}}$ ${\displaystyle \geq \cdots \geq \lambda _{n}\geq -d}$.

Define ${\displaystyle \lambda (G)=\max _{i\neq 1} \lambda _{i} =\max( \lambda _{2} , \lambda _{n} )}$. A connected ${\displaystyle d}$-regular graph ${\displaystyle G}$ is a Ramanujan graph if ${\displaystyle \lambda$$(G)\leq$ 2${\sqrt{d-1}}$.

많은 출처)max λ 나는 <, dλ 나는<{\displaystyle \lambda '(G)=\max_{\lambda_{나는}, d}\lambda _{나는}}(일이 있을 때 λ 나는{\displaystyle \lambda_{나는}}나는 < λ, d{\displaystyle \lambda_{나는}<>는다고 존재하})Ramanujan 그래프를 정의하는 데′(G)λ 의미를 사용한다.s.[1] 즉, "작은" 고유값 외에${\displaystyle }$- ${\displaystyle d}$ ${\$d 디스플레이 $스타일 -d}$을(를) 허용한다. ${\displaystyle {\lambda n}_{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle d}$ ${\$d 디스플레이 $스타일 \lambda _{n}=-d}$ 그래프가 양분된 경우에만$$ 그래프를 참조하므로, 첫 번째 정의 양분형 Ramanujan 그래프가 아닌 이 대체 정의를 충족하는 그래프를 참조할 것이다. $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) Ramanujan $그래프$라면${\displaystyle {}_{}}$ × ${\displaystyle {K\mathrm{}}_{}}$2 {\$displaystyle G\times K_{$2}}개는$$ 초당적인 Ramanujan 그래프이므로 Ramanujan 그래프의 존재는 더 강하다.

스나다 도시카즈(Sunada)가 관찰한 바와 같이, 정규 그래프는 이하라 제타(Ihara zeta) 함수가 리만 가설의 아날로그를 만족하는 경우에만 라마누잔(Ramanujan)이다.^[2]

예제 및 구성

명시적 예

• The complete graph ${\displaystyle K_{d+1}}$ has spectrum ${\displaystyle d,-1,-1,\dots ,-1}$, and thus ${\displaystyle \lambda (K_{d+1})=1}$ and the graph is a Ramanujan graph for every ${\displaystyle d>1}$. 완전한 초당적 그래프 $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {d,}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\$은(는${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathrm{스펙트럼}}$ d${\displaystyle ,}$ 0${\displaystyle ,}$ 0${\displaystyle ,}$ …, ${\displaystyle 0,}$ - d ${\displaystyle d,0,\dots,0,-d}$을(를)$$가지므로 모든 d {\$displaystyle d}$에 대한 초당적 Ramanujan 그래프가 된다$.$
• 피터슨 그래프에는 스펙트럼 $3{\displaystyle \mathrm{}}$,${\displaystyle }$1,${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$1, ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$1, 1,${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3,$1$,1,1,1,1$,2$,-2,-2$,-2,-2,-2$,-$2,-2,-2$\}$이 있으므로 3-정규 라마누잔 그래프다. 이코사이드 그래프는 5개의 정규 라마누잔 그래프다.^[3]
• 순서 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$의 엷은 그래프는 $q{\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\$ 다른$$ 모든 고유값이${\displaystyle \frac{}{}}$- 1${\displaystyle \frac{}{}}$± ${\displaystyle \frac{q}{\mathrm{}}}$ 2 ${\frac {-1\pm}{\sqrt{q}}}}}},$엷은 그래프를 라마누잔 그래프의 무한 계열로 만든다.
• More generally, let ${\displaystyle f(x)}$ be a degree 2 or 3 polynomial over ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$. Let ${\displaystyle S=\{f(x)\,:\,x\in \mathbb {F} _{q}\}}$ be the image of ${\displaystyle f(x)}$ as a multiset, and suppose ${\displaystyl$$e$ ${\displaystyle {}_{}}$$=-S$ 그러면 $S{\displaystyle }$ ${\$에 대한 Cayley 그래프가 S ${\displaystyle S}$의 생성자를 갖는$$ Ramanujan 그래프인$$ 것이다.

수학자들은 종종 $모든{\displaystyle }$ $고정$된 d ${\displaystyle d}$ -정규적인$$ Ramanujan 그래프의 무한 패밀리를 구성하는 데 관심이 있다$.$ 그러한 패밀리는 어플리케이션에 유용하다.

대수구축

라마누잔 그래프의 몇 가지 명시적인 구조는 케이리 그래프로 나타나며 본질적으로 대수학이다. 라마누잔의 추측과 이러한 결과와 관련된 숫자 이론의 다른 측면에 대한 위니 리의 조사를 참조하십시오.^[4]

Lubotzky, 필립스와 Sarnak[1]고 독립적으로 Margulis[5] 어떻게 1(모드 4){\displaystyle p\equiv 1{\pmod{4}≡ 때마다 p{p\displaystyle}은 소수 및 p(p+1){\displaystyle(p+1)}-regularRamanujan 그래프,}}의 무한한 가족을 건설하기. 둘 다 교정은 르는Ramanujan 추측에서 나타났다.d에 몸 상태를그는 라마누잔 그래프의 이름이다. 이러한 구조는 Ramanujan 그래프 외에도 몇 가지 다른 속성을 만족시킨다. 예를 들어, 이들의 둘레는 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}({\log }_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle (n}$)${\displaystyle \Oomega(\log _{p})(n)}$이며, $여기$서 n ${\displaystyle n}$은 노드 수입니다.

루보츠키-필립스-사르나크 건설의 밑그림을 그려보자. Let ${\displaystyle q\equiv 1{\bmod {4}}}$ be a prime not equal to ${\displaystyle p}$. By Jacobi's four-square theorem, there are ${\displaystyle p+1}$ solutions to the equation ${\displaystyle p=a_{0}^{2}+a_{1$$}^{2}+a_{2$$}^{2}+a_{3$$}}^{2}}:$ > ${\displaystyle a_{0}}>0}$이(가) 홀수이고 ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$, ${\$이(가) 짝수인$$ 경우$$. 이러한 각 솔루션에 ${\displaystyle \mathrm{PGL}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle 2\mathbb{}}$,${\displaystyle }$Z${\displaystyle }$/ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$) ${\displaystyle \operatorname {PGL}(2,\mathb {Z} /q\mathb {Z})$ 행렬을$$ 연결하십시오.

If ${\displaystyle p}$ is a quadratic residue modulo ${\displaystyle q}$ let ${\displaystyle X^{p,q}}$ be the Cayley graph of ${\displaystyle \operatorname {PGL} (2,\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )}$ with these ${\displaystyle p+1}$ generators, and otherwise, let ${\displaystyle X^{p,}}$${\displaystyle q^{}}$ ${\$${\displaystyle \}\}}$은(는) 동일한 생성기를 가진$$ ${\displaystyle \mathrm{PSL}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle 2\mathbb{}}$,$$Z${\displaystyle }$/$q /q /mathb {Z})${\$displaysty \operatorname {PSL}$의 Cayley 그래프가 된다$$. Then ${\displaystyle X^{p,q}}$ is a ${\displaystyle (p+1)}$-regular graph on ${\displaystyle n=q(q^{2}-1)}$ or ${\displaystyle q(q^{2}-1)/2}$ vertices depending on whether or not ${\displaystyle p}$ is a quadratic residue modulo ${\displayst$$yle q$ ${\displaystyle X^{}}$ p ,${\displaystyle q^{}}$ ${\$ X$^{p,q}}}$이(가) 라마누잔 그래프임을 증명한다.

모겐스터른은^[6] 이후 루보츠키, 필립스, 사르나크의 건설을 연장했다. 그의 확장된 $공사$는 p ${\displaystyle p$}이(가) 유력한 세력일 때마다 유효하다.

아놀드 피서는 루보츠키, 필립스, 사르낙의 그래프보다 둘레가 더 낮은 경향이 있지만, 초대칭 등가성 그래프가 라마누잔이라는 것을 증명했다.^[7] 루보츠키, 필립스, 사르낙의 그래프처럼 이 그래프의 정도는 항상 소수+1이다.

확률론적 예

아담 마커스, 다니엘 스필먼, 니힐 스리바스타바는^[8] 모든 $d{\displaystyle }$≥ 3$[\displaystyle d]$에 대해 무한히 많은 $[\displaystyle d}-$정규적인$$ 양분자 Ramanujan 그래프의 존재를 증명했다^[9]. 나중에 그들은 모든 정도와 정점의 양분자 Ramanujan 그래프가 존재한다는 것을 증명했다$.$ 마이클 B. 코헨은^[10] 다항식 시간에 이러한 그래프를 구성하는 방법을 보여주었다.

초기 작업은 빌루와 리니얼의 접근에 따른 것이었다. 그들은 $d{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $d$$}$ -정규$$ $그래프{\displaystyle }$ G ${\displaystyle$ $G$$}$과(와)의 정점과$$ 각 에지에 기호가 있고$$, ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ {\$displaystyle 2n}$ 정점에$$ 새로운$$$$ $d{\displaystyle }$ ${\$$displaystystyle G}$을(를$)$ 생성하는 2-리프트라는 작업을 고려했다. 빌루 앤 라이니얼은 $G{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ G$'}$의 모든 새로운 고유값이 최대 ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{2d}}}$- 1 ${\$ 2${\sqrt {d-1}$을(를) 가질$$ 수 있도록 항상 서명이 존재한다고 추측했다$.$ This conjecture guarantees the existence of Ramanujan graphs with degree ${\displaystyle d}$ and ${\displaystyle 2^{k}(d+1)}$ vertices for any ${\displaystyle k}$—simply start with the complete graph ${\displaystyle K_{d+1}}$, and iteratively take 2-lifts that retain the Ramanujan property.

마커스, 스필만, 스리바스타바는^[8] 다항식을 상호 결합하는 방법을 사용하여 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 이미 초당적인 라마누잔 그래프일$$ 때 빌루와 리니알의 추측이 유지되고 있음을 증명했는데, 이는 존재 결과를 결론짓기에 충분하다. 그^[9] 속편은 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$ 랜덤$$ 초당적 매치 합계가 비반사 확률의 라마누잔이라는 더 강한 진술을 증명했다.

$d{\displaystyle }$$$${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle d}$ -정규$$($비-bipartite$) 라마누잔 그래프가 무한히 많은지는 아직 해결되지 않은 문제다$.$ 특히 $d{\displaystyle }$= 7 ${\displaysty d-1$}이($가)$ 가장 작은 경우인$$d${\displaystyle }$= ${\displaystyle 7}$ ${\displaysty d-1}$은 프라임 파워가 아니므로 c가 아니다.모겐스턴의 건설로 인해 과대평가된

확장자 그래프로서의 Ramanujan 그래프

라마누잔 그래프의 정의에 있는$$ 상수 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{d}}}$- 1 ${\$ 2${\sqrt{d-1}}$은 점증적으로 날카롭다. 더 자세하게, Alon-Boppana은 모든 d{\displaystyle d}과ϵ>에 0{\displaystyle \epsilon>0}, n{n\displaystyle}존재하지-regular 그래프 G{G\displaystyle}{\displaystyle d}적어도 n{n\displaystyle}vertices과 모든 dλ(G)을 만족하고 그러한;2D주를 묶었다 − 1−$ϵ{\displaystyle \lambda (G)}{{\sqrt{d-1}-\epsilon$ 이것은 기본적으로 라마누잔 그래프가 가장 가능한 확장형 그래프라는 것을 의미한다.

$\lambda {\displaystyle }$($){\displaystyle \lambda (G$에 대한 엄격한 경계 달성으로 인해, 익스팬더 혼합 보조마사는 Ramanujan 그래프에서 가장자리 분포의 균일성에 대해 탁월한 경계를 제공하며, 그래프 상의 임의의 보행은 로그 혼합 시간(정점 수 측면에서): 즉, 무작위 보행은 다음과 같이 수렴된다. 정지 분포가 매우 빠르다 따라서, Ramanujan 그래프의 직경도 정점 수 측면에서 로그로 경계된다.

랜덤 그래프

알론에 대한 추측을 확인하면서^[11] 프리드먼은 무작위 그래프의 많은 가족들이 약하게 라마누잔이라는 것을 보여주었다. 이것은 매 d{\displaystyle d}과ϵ>0{\displaystyle \epsilon>0}과 충분히 큰 n{n\displaystyle}, 무작위 d은{\displaystyle d}-regular n{n\displaystyle}-vertex 그래프 G{G\displaystyle}가 λ(G)<>2d− 1+ϵ{\displaystyle \lambda(G)&lt을 의미한다.;2{\sqrt{d$-1}+\epsilon$}확률 높은. 이 결과는 무작위 그래프가 Ramanujan에 가깝다는 것을 보여주지만, Ramanujan 그래프의 존재를 증명하는 데 사용될 수는 없다. 그러나 ^[12]무작위 그래프는 상당한 확률(대략 52%)을 가진 라마누잔이라고 추측된다. 직접적인 수적 증거 외에도, 이러한 추측에 대한 이론적 뒷받침이 있다: $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d$} - 정규$$ 그래프의 스펙트럼 갭은 동일한 점증상(stepotic)을 예측할 수 있는 무작위 행렬 이론의 트레이시-위덤 분포에 따라 작용하는 것처럼 보인다.

Ramanujan 그래프 적용

익스팬더 그래프는 컴퓨터 과학, 숫자 이론, 그룹 이론에 많은 응용 프로그램을 가지고 있다. 예를 들어 루보츠키의 순수 및 응용 수학 응용에 대한 설문 조사와 컴퓨터 과학에 초점을 맞춘 호리, 리니얼, 위그더슨의 조사를 참조하라. Ramanujan 그래프는 어떤 의미에서 최고의 확장기이므로, 확장기가 필요한 응용 분야에 특히 유용하다. 중요한 것은 루보츠키, 필립스, 사르나크 그래프는 실제로 매우 빠르게 통과될 수 있기 때문에 응용에 실용적이다.

일부 애플리케이션에는 다음이 포함된다.

• Laplacian 선형 시스템을 위한 빠른 해결사들에 대한 애플리케이션에서, Lee, Peng 및 Spielman은^[13] 완전한 그래프의 근사치를 빠르게 하기 위해 모든 수준의 초당파적 Ramanujan 그래프의 존재에 의존했다.
• 루베츠키와 페레스는 모든 라마누잔 그래프에서 단순한 무작위 보행은 컷오프 현상을 보인다는 것을 증명했다.^[14] 즉, 무작위 보행은 완전히 혼합되지 않은 상태에서 전체 변동 규범에서 완전히 혼합된 단계로 위상 전환을 거친다. 이 결과는 단순히 팽창기가 아니라 라마누잔이라는 그래프에 크게 의존한다. 일부 훌륭한 팽창기는 컷오프를 나타내지 않는 것으로 알려져 있다.^[15]
• 피저의 라마누잔 그래프는 후분위 타원곡선 암호법의 기초로 제안되었다.^[16]
• Ramanujan 그래프를 사용해 확장기 코드를 만들 수 있는데, 이는 코드를 수정하는 데 좋은 오류다.

참고 항목

• 익스팬더 그래프
• 알론보파나행
• 익스팬더 혼합 보조정리
• 스펙트럼 그래프 이론

참조

추가 읽기

• Giuliana Davidoff; Peter Sarnak; Alain Valette (2003). Elementary number theory, group theory and Ramanujan graphs. LMS student texts. Vol. 55. Cambridge University Press. ISBN 0-521-53143-8. OCLC 50253269.
• T. Sunada (1985). "L-functions in geometry and some applications". Lecture Notes in Math. Lecture Notes in Mathematics. 1201: 266–284. doi:10.1007/BFb0075662. ISBN 978-3-540-16770-9.

외부 링크

• M. Ram Murty에 의한 설문지
• Alexander Lubotzky 조사서
• 호리, 리니얼, 위그더슨 조사서