라마누잔 합계

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라마누잔 요약은 수학자 스리니바사 라마누잔이 다양한 무한 시리즈에 가치를 부여하기 위해 발명한 기술이다. 다이버전트 시리즈의 라마누잔 합계는 전통적인 의미에서 합은 아니지만, 그것은 전통적인 합계가 정의되지 않은 다이버전트 무한 시리즈 연구에 수학적으로 유용하게 만드는 성질을 가지고 있다.

합계

전체 합계의 속성이 없기 때문에, 라마누잔 합계는 부분 합계의 속성으로 기능한다. 버눌리 숫자를 사용한 수정 규칙과 함께 오일러-매클라우린 합계 공식을 취하면 다음과 같은 것을 알 수 있다.^{[clarification needed][further explanation needed]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}f(0)+f(1)+\cdots +f(n-1)+{\frac {1}{2}}f(n)&={\frac {f(0)+f(n)}{2}}+\sum _{k=1}^{n-1}f(k)\\&=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k+1}}{(k+1)!}}}\왼쪽[f^{(k)}(n)-f^{(k)}(0)\오른쪽]+R_{p}\end{aigned}}$

라마누잔은^[1] 무한대로 가는 경우를 위해 이렇게 썼다.

${\displaystyle \sum \{k=1}^{x}f(k)=C+\int_{0}^{x}f(t)\,dt+{1}{{1}f(x)+\sum_{k=1}{k=1}^{b_{2k}!}}}f^{(2k-1)}(x)}$

여기서 C는 시리즈에 특정한 상수이며, 그 분석적 연속성과 적분 한계는 Ramanujan에 의해 명시되지 않았지만, 아마도 그것들은 위에 주어진 것과 같았다. 두 공식을 비교하고 R이 0이 되는 경향이 x가 무한하다고 가정하면, 일반적인 경우 x = 0에서 차이가 없는 f(x) 함수의 경우:

${\displaystyle C(a)=\int _{0}^{a}f(t)\,dt-{\frac {1}{1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\inflat }{\frac {B_{2k}{(2k)!}}}f^{(2k-1)}(0)}$

여기서 라마누잔은 $a{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle a=0$을 가정했다$.$$}$ $a{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle$ a$=\inful }$을(를) 취함으로써$$ 보통 수렴 영상 시리즈에 대한 합계를 회복한다. x = 1에서 차이가 없는 f(x) 함수의 경우, 다음을 얻는다.

${\displaystyle C(a)=\int _{1}^{a}f(t)\,dt+{\frac{1}{1}{1}{2}}f(1)--\sum _{k=1}^{\inflat }{\frac {B_{2k}{(2k)!}}}f^{(2k-1)}(1)}$

그런 다음 C(0)를 다이버전트 시퀀스의 합으로 사용할 것을 제안했다. 그것은 합산과 통합의 가교와 같다.

적절한 성장 조건을 가진 함수에 대한 합계의 수렴 버전은^{[citation needed]} 다음과 같다.

${\displaystyle f(1)+f(2)+f(3)+\cdots =-{\frac {f(0)}{2}}+i\int _{0}^{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{e^{2\pi t}-1}\,dt}$

비교하려면 아벨-플라나 공식을 참조하십시오.

다이버전트 계열의 합

다음 텍스트에서 (${\displaystyle R}$) ${\displaystyle({\mathfak{R}})$은 "라마누잔 합계"를 나타낸다$$. 이 공식은 원래 라마누잔의 노트 중 하나에 등장했는데, 그것이 새로운 합계 방법을 예시했다는 것을 나타내는 어떠한 표기법도 없었다.

예를 들어 1 - 1 + 1 - 1 - ⋯의${\displaystyle }({\displaystyle R\mathfrak{}}$ ) ${\displaystyle({\mathfak{R}})$은 다음과 같다.

${\displaystyle 1-1+1-\cdots ={\frac {1}{2}}\quad({\mathfrak {R}).}$

라마누잔은 알려진 다이버전트 시리즈의 합계를 계산했다. 라마누잔 합계가 통상적인 의미에서 시리즈 합계가 아니라는 점을 언급하는 것이 중요하다.^[2][3] 즉, 부분 합계는 기호$({\displaystyle R\mathfrak{}}$ ${\displaystyle )}$. ${\displaystyle({\mathfak{R})$로 표시되는 이 값에 수렴되지 않는다.$}}$ 특히$$ $({\displaystyle R}$) ${\displaystyle({\mathfak{R$}}}}의 합은 다음과 같이 계산되었다.

${\displaystyle 1+2+3+\cdots =-{\frac {1}{12}\quad({\mathfrak {R})}$

긍정적이고 균등한 권력으로 확장하여 다음과 같은 이점을 제공했다.

${\displaystyle 1+2^{2k}+3^{2k}+\cdots =0\quad({\mathfrak {R}})}$

그리고 홀수 파워에 대해 접근방식은 베르누이 수와의 관계를 제안했다.

${\displaystyle 1+2^{2k-1}+3^{2k-1}+\cdots =-{\frac {B_{2k}}}\quad({\mathfrak {R})}$

It has been proposed to use of C(1) rather than C(0) as the result of Ramanujan's summation, since then it can be assured that one series ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }f(k)}$ admits one and only one Ramanujan's summation, defined as the value in 1 of the only solution of the difference equation ${\displaystyle }$${\displaystyle {}_{}^{}}$${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$- R${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{x}}$+ 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( x )$$$={\displaystyle {}_{}^{}}$ f ( ${\displaystyle x}$) {\$displaystyle$R${\displaystyle (x}$$)-R(x$+1$)=f(x$)}=${\displaystyle \mathrm{d}}$= 0 ${\$^[4] 조건 확인$$.

라마누잔의 합(∑ n≥로 표시된 1Rf(n){\displaystyle\textstyle \sum_{1n\geq}^{\mathfrak{R}}f(n)의 이 definition[해명 필요한]})이전의 정의했다 전 라마누잔의 합, C(0)도 수렴 시리즈의 가중과 함께 하지만, 다음과 같은 만약 R())는 경향이 있고 재밌는 특성도 있어서 일치하지 않는다. 유한한 제한. x → 1 시리즈 $\sum {\displaystyle \underset{n}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\ge }}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ R ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{f}}}$ ${\displaystyle (n}$) ${\$ 1$}^{\mathfrak{R}f(n)}}$가 수렴되며$$, 다음이 있다.

${\displaystyle \sum \sum_{n\geq 1}^{\mathfak{R}f(n)=\lim_{N\ft}\ft}\ft[\\\\\\\\\\\\\\\\{N\f}{{n=1}f(n)-int_{1}^{{{{{{{{N}f(t(t)(t)\rig)\rig)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

특히 다음과 같은 이점을 누릴 수 있다.

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}^{\mathfrak{R}{\frac {1}{n}=\gamma }}$

여기서 γ은 오일러-마스케로니 상수다.

통합으로 확장

Ramanujan 재기명은 통합으로 확장될 수 있다. 예를 들어, 오일러-매클라우린 합계 공식을 사용하면 글을 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{\infty }x^{m-s}\,dx&={\frac {m-s}{2}}\int _{a}^{\infty }x^{m-1-s}\,dx+\zeta (s-m)-\sum _{i=1}^{a}\left[i^{m-s}+a^{m-s}\right]\\&\qquad -\sum _{r=1}^{\inflt }{\frac {B_{2r}\theta (m-s+1){(2r)!\감마(m-2r+2-s)}}}}}}}}}(m-2r+1-s)\int_{a}^{a}{\infully }x^{m-2r-s}\,dx\end}}}}}}}}$

제타 정규화 알고리즘의 통합에 대한 자연스러운 확장이다.

- r<- ${\displaystyle$ m-2r$<-1}$의 경우 이 $반복$ 방정식은 유한하다

${\displaystyle \int_{a}^{a}^{\inflt }dx\,x^{m-2r}=-{\frac {a^{m-2r+1}{m-2r+1}{m-2r+1}.}$

이에 관련된 사항(제타 함수 정규화 참조)

${\displaystyle I}$(${\displaystyle n}$ ,${\displaystyle \mathrm{\lambda }}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ 0 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle x}$ x ${\displaystyle x^{}}$ n ${\$0}{\$lambda }x\,x^{n$

$\lambda {\displaystyle \mathrm{}}$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle \Lambda \to \infit }$과(와) 함께$,$ 이 Ramanujan 재기명 적용은 양자장 이론의 재기명화에 유한한 결과를 낳는다.

참고 항목

• 보렐 합계
• 제왕절개
• 다이버전트 시리즈
• 라마누잔의 총액

참조