램지-투란 이론

램지-투란 이론은 극단 그래프 이론의 하위 분야입니다.램지 정리와 투란 정리의 일반화를 연구합니다.간단히 말해, 램지-투란 이론은 하위 그래프와 구조의 제약을 만족시키는 그래프가 가질 수 있는 최대 에지 수를 요구합니다.그 이론은 극단적인 그래프 이론에서 발생하는 많은 자연적인 질문들을 정리합니다.수학자들이 이전에 많은 램지-투란 유형의 ^[2]문제들을 조사했지만,^[1] 이론의 중심 아이디어를 공식화한 최초의 저자들은 1969년 에르되시와 소스였습니다.

램지 정리와 투란 정리

램지의 두 색 정리는 1930년에 원래의 형태로 증명되었으며, 임의의 양의 정수 k에 대해 완전한 그래프 Kn({displaystyle K_{n})의 가장자리 색에 대해 두 색을 사용하는 Kn({displaystyle K_{n})의 단색 복사본을 가질 만큼 충분히 큰 정수 n이 존재한다고 말한다y $L_{1},\dots ,L_{r}$ $L_{1},\dots ,L_{r}$ $L_{1},\dots ,L_{r}$ ({{ $displaystyle L_{1},\dots,$ $R=R(L_{1},\dots ,L_{k})$ ${r$ $R=R(L_{1},\dots ,L_{k})$ R $= R($ $R=R(L_{1},\dots ,L_{k})$ $)({displaystyle$ R= $R($ $L_$ ${1}),\dots$ $,$ $L_$ $n\geq R$ $K_{n}$ $r$ })이 있으므로 n $n\geq R$ $({$ $displaystyle$ $ngeQ$ $})$ 및 $K_{n}$ 의 $K_{n}$ 가 임의의 색상으로 $표시됩니다.$ $1\leq i\leq r$ 1 $1\leq i\leq r$ ≤ $1\leq i\leq r$ ≤ $1\leq i\leq r$ {\ $displaystyle$ 1 $\leqi\leqr}$ 에 $스타일 1\leqi\leqr 표시$ 대해 i{\ $displaystyle$ i $}$ 색으로 $L_{i}$ {\ $displaystyle L_{i}$ 가 $L_i$ 있습니다.

1941년에 증명된 투란의 정리는 $K_{r+1}$ + $K_{r+1}$ ${{$ 을 $n$ 포함하지 않는 $n개$ 의 꼭짓점에서 $최대$ 모서리 수를 갖는 그래프를 특성화합니다.구체적으로, 이 $r,n$ 는 모든 양의 $정수$ r $, n$ {\ $displaystyle$ r $r,n$ n}에 대해 부분 그래프로 $K_{r+1}$ $K_{r+1}$ $K_{r+1}$ {{ $r+1}$ 을 ${\displaystyle K_{r+1}} 표시$ $K_{r+1}$ 하지 $않는$ n\ $displaystyle$ n $}$ - 꼭짓점 $n$ 그래프의 모서리 수가 최대라고 말합니다.

표시{\style{bigg(}1-{\frac{1}{r}}{\bigg)}{\frac{n^{2}}{2}}}}

그리고 Turán

T_{n,r}

T_{n,r}

{

에 의해 고유하게 최대값이 달성됩니다.

이 두 가지 고전적인 결과는 그래프가 특정 속성을 소유하기 전에 얼마나 클 수 있는지에 대한 질문을 던집니다.하지만 눈에 띄는 스타일적 차이가 있습니다.투란 정리의 극한 그래프는 매우 엄격한 구조를 가지며, 작은 수의 큰 독립 집합을 포함합니다.반면, 램지 문제에서 고려된 그래프는 색수가 크고 사소하지 않은 독립 집합을 가진 완전한 그래프입니다.이 두 종류의 문제를 결합하는 자연스러운 방법은 Andrásfai가 ^[3]제기한 다음과 같은 질문을 하는 것입니다.

문제 1: 주어진 양의 정수 m({displaystyle m})에 대해, G({displaystyle G}를 Kr + 1({displaystyle K_{r+1}})을 포함하지 않고 독립 번호 α(G) <m({\displaystyle \alpha(G) <m)을 갖는 꼭짓점 그래프라고 하자. 그러한 그래프가 가질 수 있는 최대 에지의 수는 얼마인가?

본질적으로, 이 질문은 램지 설정에서 투란 문제에 대한 답을 묻습니다. 이 질문은 투란 문제를 덜 질서정연하고 더 무작위적인 구조를 가진 그래프의 하위 집합으로 제한합니다.다음 질문은 반대 방향의 문제를 결합한 것입니다.

문제 2: $L_{1},\dots ,L_{r}$ $L_{1},\dots ,L_{r}$ $({$ L_ ${1},\dots, L_{r}}$ 을 ${\displaystyle L_{1},\dots,L_{r} 표시$ 고정 그래프로 $L_{1},\dots ,L_{r}$ 합니다.ith 색상에 ${{$ $L_{i}}$ 이 $r$ $n$ $L_i$ (가) 포함되지 않은 조건에서 $n개$ 의 꼭짓점에서 $r$ ${$ $displaystyle$ r}-edge 색상 $r$ 가 가질 수 있는 최대 에지 수는 얼마입니까?

일반 문제

램지-투란 이론의 근간은 위의 문제들의 공통된 일반화입니다.

문제 3: $L_{1},\dots ,L_{r}$ $L_{1},\dots ,L_{r}$ $({$ L_ ${1},\dots, L_{r}}$ 을 ${\displaystyle L_{1},\dots,L_{r} 표시$ 고정 그래프로 $L_{1},\dots ,L_{r}$ 합니다.G ${displaystyle$ G $}$ 가 $g$ 다음을 만족하는 $모서리$ $n$ n ${displaystyle$ n $}$ - 꼭짓점 $n$ 그래프가 되게 $합니다$ .
α $\alpha (G)<m$ ( $\alpha (G)<m$ < ${displaystyle \alpha (G)<m}$
${displaystyle$ i $}$ 색상으로 $i$ 정의된 하위 $G_{i}$ $({$ 에는 $G_i$ $({$ 가 $L_{i}$ .
G ${displaystyle$ G $}$ 가 $g$ 가질 수 있는 최대 $에지$ 수는 얼마입니까?우리는 $\mathbf {RT} (n;L_{1},\dots ,L_{r},m)$ $\mathbf {RT} (n;L_{1},\dots ,L_{r},m)$ $\mathbf {RT} (n;L_{1},\dots ,L_{r},m)$ $\mathbf {RT} (n;L_{1},\dots ,L_{r},m)$ ) \ $displaystyle \mathbf {RT}(n;L_{1},\dots,L_{r},m)$ 로 최대값을 나타냅니다 $\mathbf {RT} (n;L_{1},\dots ,L_{r},m)$

램지-투란 유형의 문제는 문제 3의 특별한 경우입니다.이 문제의 많은 사례가 공개되어 있지만, 정확한 점근적 솔루션으로 몇 가지 흥미로운 사례가 해결되었습니다.

주목할 만한 결과

문제 3은 독립번호 제한에 따라 세 가지 경우로 나눌 수 있습니다.제한이 없는 경우가 있는데, $m=n$ 서 m $=$ m= $n$ 은 고전적인 램지 문제로 감소합니다. $0<c<1$ 0 < $0<c<1$ < $1$ { $displaystyle$ $0<c<1$ 0 < c < 1 \ $displaystyle$ 0 < c < $0<c<1$ 1 $0<c<1$ 에 대해 m $m=cn$ $=$ $cn$ = cn} 이며, 마지막으로 $m=o(n)$ 많은 ^[2] $m=o(n)$ 를 $m=o(n)$ 하는 $m=o(n)$ m $m=o(n)$ = $m=o(n)$ o ( n ) { \ $displaystyle$ m = $o$ ( $m=o(n)$ n ) } 케이스가 $m=o(n)$ 있습니다.

$m=o(n)$ $L_{1}=K_{2k+1}.$ $r=1$ $m=o(n)$ ( $m=o(n)$ {\ $displaystyle$ m $=$ $o(n)}$ 범위에서 $m=o(n)$ 가장 기본적인 사소한 문제는 $r=1$ $L_{1}=K_{2k+1}.$ 1 ({ $displaystyle r$ $=$ } $L_{1}=K_{2k+1}.$ L $L_{1}=K_{2k+1}.$ = $L_{1}=K_{2k+1}.$ $L_{1}=K_{2k+1}.$ + $L_{1}=K_{2k+1}.$ 1 $L_{1}=K_{2k+1}.$ . {\ $displaystyle L_$ {1 $}=K_{2k+$ 1}} Erdős와 Sós가 1969년 ^[1]이 상황에서 람시-투란 수의 점근값을 결정했을 $r=1$ 입니다.

{\displaystyle \mathbf {RT} (n;K_{2k+1},o(n))=sysbigg (}1-{\frac {1}{k}}{\bigg)}{\frac {n^{2}}}+o(n^{2})}}.

짝수 개의 꼭짓점에 대한 완전한 그래프의 경우는 훨씬 더 도전적이며,^[4] 1983년 에르되시, 하이날, 소스, 세메레디에 의해 해결되었습니다.

{\displaystyle \mathbf {RT}(n;K_{2k},o(n))=displayfrac {6k-10}{6k-4}}{\frac {n^{2}}{2}}+o(n^{2})}}.

두 경우 모두에서, 이 문제는 α(G) <o(n) {\displaystyle \alpha(G) <o(n)}라는 투란의 정리에 추가 조건을 추가한 것으로 볼 수 있다,효과는 K 2k + 1({2k+1}) 또는 K 2k({displaystyle) 대신 K K({displaystyle K_{k})를 제외한 것과 같습니다

K_{2k

레퍼런스

^ ^a ^b Erdős, Paul; Sós, Vera T. (1970). Some remarks on Ramsey's and Turán's theorem. Combinatorial theory and its applications, Balatonfüred, 1969. Vol. II. North-Holland. pp. 395–404.
^ ^a ^b Simonovits, Miklós; T. Sós, Vera (2001-02-28). "Ramsey–Turán theory". Discrete Mathematics. 229 (1): 293–340. doi:10.1016/S0012-365X(00)00214-4. ISSN 0012-365X.
^ Andrásfal, B. (1964). "Graphentheoretische Extremalprobleme". Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae. 15 (3–4): 413–438. doi:10.1007/bf01897150. ISSN 0001-5954. S2CID 189783307.
^ Erdős, Paul; Hajnal, András; Sós, Vera T.; Szemerédi, Endre (1983). "More results on Ramsey—Turán type problems". Combinatorica. 3 (1): 69–81. doi:10.1007/bf02579342. ISSN 0209-9683. S2CID 14815278.

[:0-1] Erdős, Paul; Sós, Vera T. (1970). Some remarks on Ramsey's and Turán's theorem. Combinatorial theory and its applications, Balatonfüred, 1969. Vol. II. North-Holland. pp. 395–404.

[:1-2] Simonovits, Miklós; T. Sós, Vera (2001-02-28). "Ramsey–Turán theory". Discrete Mathematics. 229 (1): 293–340. doi:10.1016/S0012-365X(00)00214-4. ISSN 0012-365X.

[3] Andrásfal, B. (1964). "Graphentheoretische Extremalprobleme". Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae. 15 (3–4): 413–438. doi:10.1007/bf01897150. ISSN 0001-5954. S2CID 189783307.

[4] Erdős, Paul; Hajnal, András; Sós, Vera T.; Szemerédi, Endre (1983). "More results on Ramsey—Turán type problems". Combinatorica. 3 (1): 69–81. doi:10.1007/bf02579342. ISSN 0209-9683. S2CID 14815278.

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