랜덤 에너지 모델

무질서한 시스템의 통계물리학에서 무작위 에너지 모델은 스핀글라스 등 진부한 장애를 가진 시스템의 장난감 모델이며, 1차 위상 전환을 가지고 있다.^[1][2]$N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 스핀$$ 모음의 통계(예: 자유도 {${\displaystyle {Si}_{}}$∣ i${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$. . . $}$ {\$displaystyle \{S_}\mid$i=$1,...)$에 관한 것이다.$,$${\displaystyle N_{}\backslash \}\}}$ 시스템에 대해 가능한 상태 $수$가 ${\displaystyle {2N}^{}}$ ${\$ $S_{i}=\$$pm 1})$이 $되도록{\displaystyle {}_{}}$ 가능한 두${\displaystyle {}_{}}$값 중 하나를 취할 수 있다$$$.$그러한$$ 상태의 에너지는 독립적이고 ${\displaystyle 동일}$한 분포의 가우스 랜덤 변수 ${\displaystyle E_{}}$ $x{\displaystyle {}_{}}$~ N${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle N\mathrm{}}$/ 2${\displaystyle }$) ${\displaystyle E_{x}\심{\mathcal{N}}}}{\$mathcal{$N$$}}}}}}{\displaysty N/2}.$ 모델의 많은 속성을 정확하게 계산할 수 있다$.$그 단순성은 이 모델을 취침 장애와 복제본 대칭과 같은 개념의 교육학적 도입에 적합하게 만든다.

다른 정렬되지 않은 시스템과의 비교

$r{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ r}$-spin$ 무한$$ 범위 모델은 모든 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$ -spin$$ 세트가 임의의 독립적이고 동일한 분포의 상호 작용 상수와 상호 작용하며 $적절히{\displaystyle }$ 정의된 r →${\displaystyle \mathrm{}}$∞ ${\displaystyle$ r$\to \fty}$ 한계에서$$ 랜덤 에너지 모델이 된다.^[3]

더 정확히 말하자면, 모델의 해밀턴인이

${\displaystyle H(\sigma )=\sum _{{i_{1},\ldots,i_{r}\}\j_{i_{1},\ldots i_{r}\ldots i_{1}\cdotsigma _{i_{r},},}}$

where the sum runs over all ${\displaystyle {N \choose r}}$ distinct sets of ${\displaystyle r}$ indices, and, for each such set, ${\displaystyle \{i_{1},\ldots ,i_{r}\}}$, ${\displaystyle J_{i_{1},\ldots ,i_{r}}}$ is an independent Gaussian variable of 평균 0과 분산 $J{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$!${\displaystyle }$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle r^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$) ${\displaystyle$ J$^{2}r!/(2N^{r-1}),$랜덤 에너지 모델은 $r{\displaystyle }$→$$ {\$displaystyle r\poty }$ 제한으로$$ 복구된다.

열역학 수량의 유도

이름에서 알 수 있듯이, REM에서 각각의 미세한 상태는 에너지의 독립된 분포를 가진다.For a particular realization of the disorder, ${\displaystyle P(E)=\delta (E-H(\sigma ))}$ where ${\displaystyle \sigma =(\sigma _{i})}$ refers to the individual spin configurations described by the state and ${\displaystyle H(\sigma )}$ is the energy associated with it.Edwards-Anderson 모델의 경우와 마찬가지로 자유 에너지와 같은 최종적인 광범위한 변수는 장애의 모든 실현에 걸쳐 평균화되어야 한다.가능한 모든 실현에 대해$$ ${\displaystyle \mathrm{평균}}$ $P{\displaystyle }$( E${\displaystyle }$) ${\displaystyle P(E)}$을(를) 계산해 보면, 주어진 정렬되지 않은 시스템의 구성이 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$과(와) 같은 에너지를 가질 확률은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle [P(E)]={\sqrt {1}{{N\pi J^{2}}:}\exp \left(-{\dfrac {E^{2}}}{J^{2}N}\right),}$

여기서 [${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [\cdots ]}$은(는) 장애의 모든 실현에 대한 평균을 나타낸다$$.$더욱이{\displaystyle }$,$$sp{\$displaystyle \sigma}$와 $\sigma {\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 서로 다른 현미경 구성의 에너지 값의 공동 확률 분포는 다음을$$ 고려한다.

$[\displaystyle [P(E,E')]=[P(E)]\,[P(E')]].}$

주어진 스핀 구성의 확률은 오직 그 상태의 에너지에만 의존하고 개별적인 스핀 구성에 의존하지 않는다는 것을 알 수 있다.^[4]

REM의 엔트로피는 다음에^[5] 의해 주어진다.

${\displaystyle S(E)=N\left[\log 2-\left({\frac {E}){NJ}}\오른쪽)^{2}\오른쪽]}$

E<>;NJ, 2{\displaystyle E<>⁡.만약 스핀의 엔트로피,lim N→ ∞ S(E)/N{\displaystyle \lim_{N\to \infty}(E)/N 때 E<>− NJ로그 ⁡ 2.{\displaystyle E<>-NJ{\sqrt{\log 2}}, 즉,}유한하기 때문에(1/T)=∂ S.NJ{\sqrt{\log 2}}}. 하지만 이 표현만.}을 잡고${\displaystyle /}$ ${\displaystyle \partial \mathrm{}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (1/T)=\partial S/\partial$ E$\},$ 이는 > = /( 2 2) ${\displaystytle T>$에 해당한다.$T_{c}=1/(2{\sqrt {\log 2}})}$. For ${\displaystyle T<T_{c}}$, the system remains "frozen" in a small number of configurations of energy ${\displaystyle E\simeq -NJ{\sqrt {\log 2}}}$ and the entropy per spin vanishes in the thermodynamic limit.

참조