순위 인자화

수학에서 등급 r의 m × n 행렬 A를 주어 A의 순위 분해 또는 순위 인자화는 A = CF 형식의 A의 인자화인데 여기서 C는 m × r 행렬이고 F는 r × n 행렬이다.

존재

모든 유한 차원 행렬은 순위 분해를 가진다.$A$ ${\textstyle A}$을(를) $m$ $\times$ n ${\textstyle m\times n}$ 행렬로$$$$ 두십시오(열 $순위$는$$r {\$textstyle r$Therefore, there are ${\textstyle r}$ linearly independent columns in ${\textstyle A}$; equivalently, the dimension of the column space of ${\textstyle A}$ is ${\textstyle r}$. Let ${\textstyle \mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2},\ldots ,\mathbf {c} _{r}}$ be any basis for the column space of ${\textstyle A}$ and place them as column vectors to form the ${\textstyle m\times r}$ matrix ${\textstyle C={\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{1}&\mathbf {c} _{2}&\cdots &\mathbf {c} _{r}\end{bmatrix}}}$.C{C\textstyle}의 기둥 그러므로, A{A\textstyle}의 매 칼럼 벡터는 일차 결합. 만약 A={\textstyle A={\begin{bmatrix}\mathbf{를}_{1}&[1는 2n⋯], 정확히 말하자면;\mathbf{를}_{2}&, \cdots &, \mathbf{를}_{n}\end{bmatrix}}}은 m×n{\texts.tyle m\time${}_{}$ ${\$를 $j$ ${\textstyle j}$ -th 열로$$ 표시한 다음$$

${\displaystyle \mathbf {a} _{j}=f_{1j}\mathbf {c} _{1}+f_{2j}\mathbf {c} _{2}+\cdots +{rj}\mathbf {c} _{r}}}}$

여기서$$$f{}_{}$ i $j_{}$ ${\$${ij}$s는 ${}_{}$ $c{\mathbf{}}_{}$ 1,${\mathrm{}}_{}$ ${\mathrm{}}_{}$,$\dots ,$ ${}_{}$ ${\mathbf{}}_{}$ ${\$의 $스칼라$ 계수다$.$이는 $A$= $C$ $F$ ${\textstyle A=CF}$을(를) 의미하며$,$ 여기서 $f{}_{}$ $i_{}$ $j_{}$ ${\$는 $F$ ${\textstyle$$$F$}$의 $($$i$j$$$)} -th$ 요소 입니다.

고유하지 않음

If ${\textstyle A=C_{1}F_{1}}$ is rank factorization, taking ${\textstyle C_{2}=C_{1}R}$ and ${\textstyle F_{2}=R^{-1}F_{1}}$ gives another rank factorization for any invertible matrix ${\textstyle R}$ of compatible dimensions.

Conversely, if ${\textstyle A=F_{1}G_{1}=F_{2}G_{2}}$ are two rank factorizations of ${\textstyle A}$, then there exists an invertible matrix ${\textstyle R}$ such that ${\textstyle F_{1}=F_{2}R}$ and ${\textstyle G_{1}=R^{-1}G_{2}$$}$.^[1]

건설

축소된 행 에셀론 폼에서 순위 요인 지정

실제로, 우리는 다음과 같은 특정한 순위 요소를 구성할 수 있다: 우리는 $A$의 축소된 행 에셀론 형식인 B ${\textstyle A}$을$($를) 계산할 수 있다$.$ 그러면 $C$ ${\textstyle A}$에서 모든$$ 비-피봇 열($B$ ${\textstyle$ $A}$에서 열 검색으로 결정할 수 있음)을 제거하여 C {\textstyleanization을 얻는다$$.피벗을 포함하지 않는$$ $B}$과(와$)$ $F$ {\$textstyle F}$은(는) $B$ {\$textstyle B}$의 0행 전체를 제거하여 얻는다$$$.$

참고: 전체 순위 제곱 행렬($예$: $n$= $m$= r ${\textstyle n=m=r}$ )의 경우 이 절차는 사소한 결과 $C$= $A$ ${\textstyle C=A}$ 및 $F$ = $I_{}$ ${}_{}$ ${\$를 산출한다.$$$I_{n}}($$n$ $\times$ $n$ ${\textstyle n\time$ n$} ID$ 매트릭스).

예

행렬 고려

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}=B{\text{.}}}$

$B$ ${\textstyle B}$은(는) 축소된 에셀론 형식이다.

$그런$ 다음 C$${\$textstyle C}$은(는$)$ 피벗 열이 아닌 A {\$textstyle$ A$\}$의 세 번째 열과 B ${\textstyle B$에서 0의 마지막 행을 제거하여$$ $얻으므로$

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1&3&4\\2&7&9\\1&5&1\\1&2&8\end{bmatrix}}{\text{,}}\qquad F={\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\text{.}}}$

는 것을 확인하는 것은 간단하다.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&4\\2&7&9\\1&5&1\\1&2&8\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}=CF{\text{.}}}$

증명

Let ${\textstyle P}$ be an ${\textstyle n\times n}$ permutation matrix such that ${\textstyle AP=(C,D)}$ in block partitioned form, where the columns of ${\textstyle C}$ are the ${\textstyle r}$ pivot columns of ${\textstyle A}$. Every column of ${\textstyle D}$ is a linear c$C$ ${\textstyle C}$ 열의 옴부즈먼트 때문에 $D$= $C$ $G$ ${\textstyle D=$CG$}$과 같은$$ $행렬$ G ${\textstyle$ G$}$이(가) 있으며, 여기서 $G$ ${\textstyle G}$의 열에는 이러한 각 선형 조합의 계수가 포함되어 있다$$$.$따라서 $A$ $P$=$$( $C$, $C$ G$$)$$= C$$( $I_{}$ ${}_{}$, $G$) ${\textstyle AP=(C,$CG$)=C(I_{r}G)},$$I{}_{}$ $r_{}$ ${\$는 $r$ $\times$ $r$ ${\textstyle$ r$\time r} ID$ 행렬이다$$.이제$$(${}_{}$ $r_{}$, $G$)$$= $F$ $P$ ${\textstyle (I_{r},G)=$라는 것을 보여 주겠다.$FP}$.

Transforming ${\textstyle A}$ into its reduced row echelon form ${\textstyle B}$ amounts to left-multiplying by a matrix ${\textstyle E}$ which is a product of elementary matrices, so ${\textstyle EAP=BP=EC(I_{r},G)}$, where ${\textstyle EC={\begi$$n{pmatrix}$$I_{r}\\0\end{pmatrix$ 그러면 =( r $){\$라고 쓸 수 있다.$I_{r}&G\\0&0\end{pmatrix}}$을를) 식별할 수 있는$$($I$ $r_{}$, G$$)$$= $F$ P ${\textstyle (I_{r}G)=$$FP}$, i.e. the nonzero ${\textstyle r}$ rows of the reduced echelon form, with the same permutation on the columns as we did for ${\textstyle A}$. We thus have ${\textstyle AP=CFP}$, and since ${\textstyle P}$ is invertible this implies ${\textstyle A=CF}$, and the proof is complete.

단수 값 분해

단수 값 분해를 사용하여 $A$ ${\textstyle$ A$}$의 전체 순위 요인화를 구성할 수도 있음

${\displaystyle A=U\Sigma V^{*}={\begin{bmatrix}U_{1}&U_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Sigma _{r}0\0&0\end{bmatrix}}{\bgin{bmatrix}V_{1}^{1}^{{2}^}}\end{bmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}U_{1}\왼쪽(\Sigma _{r}V_{1}^{*}\오른쪽).}$

Since ${\textstyle U_{1}}$ is a full column rank matrix and ${\textstyle \Sigma _{r}V_{1}^{*}}$ is a full row rank matrix, we can take ${\textstyle C=U_{1}}$ and ${\textstyle F=\Sigma _{r}V_{1}^{*}}$.

결과들

계급(A) = 계급(A^T)

An immediate consequence of rank factorization is that the rank of ${\textstyle A}$ is equal to the rank of its transpose ${\textstyle A^{\textsf {T}}}$. Since the columns of ${\textstyle A}$ are the rows of ${\textstyle A^{\textsf {T}}}$, the column rank of ${\textstyle A}$ equals its row rank.^[2]

증명: 왜 이것이 사실인지 알아보려면 먼저 평균 열 순위에 대한 순위를 정의해 봅시다.Since ${\textstyle A=CF}$, it follows that ${\textstyle A^{\textsf {T}}=F^{\textsf {T}}C^{\textsf {T}}}$. From the definition of matrix multiplication, this means that each column of ${\textstyle A^{\textsf {T}}}$ is a linear combination of the columns of ${\textsty$$le F^{\textsf {T}}}$. Therefore, the column space of ${\textstyle A^{\textsf {T}}}$ is contained within the column space of ${\textstyle F^{\textsf {T}}}$ and, hence, ${\textstyle \operatorname {rank} \left(A^{\textsf {T}}\right)\leq \operatorname {rank} \left(F^{$$\textsf {T}\오른쪽$

Now, ${\textstyle F^{\textsf {T}}}$ is ${\textstyle n\times r}$, so there are ${\textstyle r}$ columns in ${\textstyle F^{\textsf {T}}}$ and, hence, ${\textstyle \operatorname {rank} \left(A^{\textsf {T}}\right)\leq r=\operatorname {rank} \left(A\ri$$ght)}$.$이$로써 랭크 $$ (${}^{}$ $T^{}$) $\le$ $\mathrm{순위}$ $$($A$ $)$ ${\$(A$^{\textsf{T}\오른쪽)\leq \operatorname {rank} \좌(A\right)}$ \leq \operatorname}$$\좌(A\right) }).

Now apply the result to ${\textstyle A^{\textsf {T}}}$ to obtain the reverse inequality: since ${\textstyle \left(A^{\textsf {T}}\right)^{\textsf {T}}=A}$, we can write ${\textstyle \operatorname {rank} \left(A\right$$)=\\operatorname {rank} \left(A^{\textsf {T}\right)^{\textsf$ {$T}\leq \operatorname {rank} \left(A^{\textsf {T}\right)}$\ref.$이$로써 랭크 $(A$)$\le (A^{}$ T${}^{}$)$$rank {($A$ T )$$\$textstyle \operatorname {rank} \leq \operatorname {rank}$\reck} \$left(A^{\textsf {T}\right)}$..

We have, therefore, proved ${\textstyle \operatorname {rank} \left(A^{\textsf {T}}\right)\leq \operatorname {rank} \left(A\right)}$ and ${\textstyle \operatorname {rank} \left(A\right)\leq \operatorname {rank} \left(A^{\textsf {T}}\right)}$, so $\mathrm{rank}($$A$)$$= $\mathrm{랭크}$ $$ $({}^{}$ $T^{}$) ${\${rank} $\lack}$ \$left(A^{\textsf {T}\$right$)}$(Lank(선형 대수) § 첫 번째 증거.

메모들

참조