기본 행렬

수학에서 기본 행렬은 하나의 기본 행 연산에 의해 ID 행렬과 다른 행렬이다. 기본 행렬은 F가 필드일 때 일반 선형 그룹 GL_n(F)을 생성한다. 기본 행렬에 의한 왼쪽 곱하기(사전 곱하기)는 기본 행 연산을 나타내고 오른쪽 곱하기(후 곱하기)는 기본 열 연산을 나타낸다.

기본 행 연산은 행렬을 행 에셀론 형태로 줄이기 위해 가우스 제거에 사용된다. 그것들은 또한 행렬을 감소된 열 에셀론 형태로 더 줄이기 위해 가우스-요르단 제거에도 사용된다.

기본 행 작업

세 가지 유형의 기본 행렬이 있으며, 이는 세 가지 유형의 행 운영(존중, 열 운영)에 해당한다.

행 전환

행렬 내의 행은 다른 행으로 전환할 수 있다.

${\displaystyle R_{i}\왼쪽 오른쪽 화살표 R_{j}}$

행 곱하기

한 행의 각 원소는 0이 아닌 상수로 곱할 수 있다. 행의 스케일링이라고도 한다.

${\displaystyle kR_{i}\오른쪽 화살표 R_{i}}\\\\\mbox{where }k\neq 0}$

행 덧셈

행은 해당 행과 다른 행의 배수의 합으로 대체될 수 있다.

${\displaystyle R_{i}+kR_{j}\오른쪽 화살표 R_{i},{\mbox{where}}i\neq j}$

E가 아래 설명된 것처럼 기본 행렬인 경우, 기본 행 연산을 행렬 A에 적용하기 위해 왼쪽의 기본 행렬인 EA에 A를 곱한다. 모든 행 연산의 기본 매트릭스는 ID 매트릭스에서 연산을 실행하여 얻는다. 이 사실은 행렬의 범주에 적용된 요네다 보조정리법의 한 예로서 이해할 수 있다.

행 전환

매트릭스 A의 첫 번째 행 작동 유형은 i행의 모든 행렬 요소를 j행의 행렬 요소와 전환한다. 해당 기본 행렬은 ID 행렬의 행 i와 행 j를 스와핑하여 얻는다.

${\displaystyle T_{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&\\&#&#&#&#\&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&&&&&&#1&#{bmats}}}}}}}}}}}}}}}}\nmatsats}}}}}}}}}$

그래서 TA는_ij A의 i행과 j행의 교환으로 만들어진 행렬이다.

특성.

• 이 행렬의 역행렬은 그 자체로 다음과 같다. T_ij⁻¹ = T_ij.
• 아이덴티티 행렬의 결정요인은 통일성이므로 det(T_ij) = -1이다. 따라서 모든 정사각형 행렬 A(정확한 크기의)에 대해 det(TA_ij) = -det(A)가 있다.

행 다중 변환

행렬의 다음 행 연산 유형은 i행의 모든 원소를 m로 곱하며, 여기서 m은 0이 아닌 스칼라(대개 실수)이다. 해당 기본 행렬은 대각 행렬이며, 대각선 항목 1은 m인 ih 위치를 제외한 모든 곳에 있다.

${\displaystyle D_{i}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&\\\&#&#&#&#&&#\&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&&#&&&&&&#1\dots &&#&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&#1\{bmx}}}}}}}}}}}$

그래서 D_i(m)A는 i행과 m을 곱하여 A에서 생성된 행렬이다.

특성.

• 이 행렬의 역행렬은 D_i(m)⁻¹ = D(1_i/m)로 주어진다.
• 행렬과 그 역행렬은 대각 행렬이다.
• det(D_i(m) = m. 따라서 정사각형 행렬 A(정확한 크기의)의 경우 det(D_i(m)A) = m det(A)가 있다.

행 추가 변환

행렬 A의 행 연산의 최종 유형은 행 j에 스칼라 m을 곱한 행을 i행에 추가한다. 해당 기본 행렬은 (i, j) 위치에 m이 있는 ID 행렬이다.

${\displaystyle L_{ij}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&\\\&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&&#1\ddats}{bmats}}}}}}}}}}}}}}}}}}{bmats}}}}{bmats}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그래서 L_ij(m)A는 m 곱하기 j 행을 i행으로 추가함으로써 A에서 생성된 행렬이다. 그리고 A L_ij(m)은 m 곱하기 i열을 j열에 추가하여 A에서 산출한 행렬이다.

특성.

• 이러한 변환은 일종의 전단 매핑으로, 변환이라고도 한다.
• 이 행렬의 역행렬은 L_ij(m)⁻¹ = L(-m_ij)으로 주어진다.
• 행렬과 그 역행렬은 삼각 행렬이다.
• det(L_ij(m) = 1. 따라서 정사각형 행렬 A(정확한 크기의)의 경우 det(L_ij(m)A) = det(A)가 있다.
• 행을 더하는 변신은 스타인버그 관계를 만족시킨다.

참고 항목

• 가우스 제거
• 선형대수학
• 선형 방정식 체계
• 행렬(수학)
• LU 분해
• 프로베니우스 행렬

참조

• Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
• Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
• Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archived from the original on 2009-10-31
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall
• Strang, Gilbert (2016), Introduction to Linear Algebra (5th ed.), Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-09802327-7-6