수정 가능한 집합

수학에서 수정 가능한 집합은 일정한 측정-이론적 의미에서 매끄러운 집합이다.그것은 고정이 가능한 곡선의 개념을 더 높은 차원으로 확장한 것이다. 느슨하게 말하면, 고정이 가능한 집합은 조각처럼 매끄러운 집합의 엄격한 공식이다.이와 같이 거의 모든 곳에서 정의되는 접선 공간을 포함하여 매끄러운 다지관의 바람직한 특성을 많이 가지고 있다.수정 가능한 집합은 기하학적 측정 이론에서 연구의 기본 대상이다.

정의

A Borel subset ${\displaystyle E}$ of Euclidean space ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ is said to be ${\displaystyle m}$-rectifiable set if ${\displaystyle E}$ is of Hausdorff dimension ${\displaystyle m}$, and there exist a countable collection ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ of conti아주 색다른 지도.

${\displaystyle f_{i}:\mathb {R} ^{m}\to \mathb {R} ^{n}}}}$

$m{\displaystyle }$$$ ${\displaystyle m}$ -하우스도프$$(${\displaystyle {Hausdorff}^{}}$)가 H m {\$displaystyle {\mathcal$ {$H}^{$m}}을(를$)$

${\displaystyle E\setminus \bigcup _{i=0}^{\f_{i}\왼쪽(\mathb {R}^{m}\오른쪽)}}$

0이다.여기서의 백슬래시는 정해진 차이를 나타낸다.동등하게, ${\displaystyle f_{}}$ i ${\$는 정의를 변경하지 않고 Lipschitz 연속형으로 간주될 수 있다$$.^[1][2][3]예를 들어 $E{\displaystyle }$ {\$displaystyle E}$을(를$)$ $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$ -dimension이$$ 아니라 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$을(를) $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^[4]의 일부 경계 부분 집합에서 Lipschitz 이미지로 지정할 수 있는 세트가 되도록$$ 요구하는 다른 정의가 있다.

세트 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$은(는) 모든${\displaystyle }$ (연속적이고 서로 다른) f${\displaystyle }$: ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$ f$:\mathb {R} ^{m}\m$}\$mathb {R} ^{$n$\}\}$이$($가) 있는 경우 순전히 m ${\displaystysty$ m$}$이라고 $한다$.

${\displaystyle {\mathcal {H}^{m}\왼쪽(E\cap f\left)(\mathb {R} ^{m}\right)=0.}$

2차원에서 순전히 수정할 수 없는 세트의 표준 예는 스미스-볼터라-캔터 설정 시간 자체의 교차 제품이다.

메트릭 공간에서 수정 가능한 집합

페더러(1969, 페이지 251–252)는 일반 미터법 공간 X에서 m-수정 가능한 세트 E에 대해 다음과 같은 용어를 제공한다.

1. Lipschitz$$ $map$ $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle K}$→ E ${\displaystyle$ f$:$$E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$에 대한 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ m ${\displaystyle \mathb$ {$R} ^{m}$의 일부 $경계$ 부분 집합 $K{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ K$}$에 대한 $K\to E$$\}.$
2. E가 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$ 수정 가능한$$ 집합의 카운트 가능 패밀리의 조합과 같을 경우 E는 계산 가능한 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ m$}$ 수정$$ 가능한 집합이다.
3. $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle$${\displaystyle }$$\pi }$이($)$ X에 대한 측정값이고$$ $\varphi {\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{E}}$ ${\displaystyle \setminus }$ F${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle \pi (E\setminus F)=0}$과 같은 $m{\displaystyle }$ ${\displaystym m}$ 수정 가능한$$ 집합이 있는 경우 E는 카운트할${\displaystyle }$수 있다$$$.$
4. E는 (${\displaystyle \varphi }$, m${\displaystyle }$) ${\displaystyle (\phi ,m)}$을(를) 카운트다운할 수 있고 (${\displaystyle \varphi }$, ${\displaystyle m}$${\displaystyle }$) ${\$$displaystyle (\phi$$,m)}$을$($를 할 수 있을 때 수정 가능하다$.$
5. ${\displaystyle \pi }$이(가) X에 대한 측정값이고$$ E에purely ()>0${\displaystyle }$(\$displaystyle$ \pi ($F)$$0}$이$($) 있는 m ${\$$displaystystyle$ $m}$ 수정 가능한$$ 집합 F가 $포함$되어 있지 않은 경우 E는 순수하게 (${\displaystyle \varphi }$ , ${\displaystyle m}$ ) {\$pi$) ${\$ph$)$ 수정 불가하다

$\varphi {\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle m^{}}$ ${\$${\displaystyle }X{\displaystyle }$ = ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle$ X$=\mathb{R} ^n}}}}$이(가) 있는 정의는 유클리드 공간의 하위 집합에 대해 위의 정의에 가장$$ 가깝다.

메모들

참조

• Federer, Herbert (1969), Geometric measure theory, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 153, New York: Springer-Verlag, pp. xiv+676, ISBN 978-3-540-60656-7, MR 0257325
• T.C.O'Neil (2001) [1994], "Geometric measure theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Simon, Leon (1984), Lectures on Geometric Measure Theory, Proceedings of the Centre for Mathematical Analysis, vol. 3, Canberra: Centre for Mathematics and its Applications (CMA), Australian National University, pp. VII+272 (loose errata), ISBN 0-86784-429-9, Zbl 0546.49019

외부 링크

• 수학 백과사전 세트 수정 가능