반복정량분석

재발정량화분석(RQA)은 동적 시스템 조사를 위한 비선형 데이터 분석(cf. 혼돈 이론)의 방법이다. 위상 공간 궤적으로 제시된 동적 시스템의 재귀 횟수와 지속시간을 정량화한다.

배경

반복정량분석(RQA)은 그 안의 소규모 구조물을 바탕으로 나타나는 반복도(RP)를 다르게 정량화하기 위해 개발되었다. 반복도는 동적 시스템의 위상 공간 궤적 $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$(${\displaystyle i}$) ${\displaystyle {\vec{x$}}(i$)}$의 반복 동작을 시각화하는 도구다.

${\displaystyle \mathbf {R}(i,j)=\$$Theta(\varepsilon -\\\\\vec {x}(i)-{\vec {x}(j$

여기서 $\theta {\displaystyle \mathrm{}}$: ${\displaystyle R\mathbb{}}$→${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$, 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle \theta :\mathb {R} \rightarrow (0,1)$및$$ $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaysty \varepsilon}$은 사전 정의된$$ 거리.

반복도는 대부분 평균 대각선(identity line, LOI)과 평행하거나 수직/수평인 단일 점과 선을 포함한다. LOI에 평행한 선은 대각선, 수직 구조는 수직선이라고 한다. RP는 대개 대칭이기 때문에 수평선과 수직선이 서로 대응하며, 따라서 수직선만 고려된다. 선은 위상 공간 궤적의 전형적인 행동에 해당한다. 반면에 대각선은 일정 시간 동안 평행하게 흐르는 위상 공간 궤적의 그러한 세그먼트를 나타내고, 수직선은 일정 시간 동안 동일한 위상 공간 영역에 남아 있는 세그먼트를 나타낸다.

시계열만 사용할 수 있는 경우, 시간 지연 임베딩을 사용하여 위상 공간을 재구성할 수 있다(타켄스의 정리 참조).

${\displaystyle {\vec{x}(i)=(u(i),u(i+\tau)),\ldots,u(i+\tau(m-1)),}$

여기서 $u{\displaystyle }$( ${\displaystyle i}$) ${\displaystyle u(i)}$은 시계열이고, $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$ 내장$$ 치수 및 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau}$ 시간$$ 지연이다.

RQA는 동적 시스템의 재발 횟수와 지속시간을 나타내는 반복도의 소규모 구조를 정량화한다. RQA에 대해 도입된 조치는 1992년과 2002년 사이에 경험적으로 개발되었다(Zbilut & Webber 1992; Webber & Zbilut 1994; Marwan et al. 2002). 그것들은 사실 복잡성의 척도들이다. 반복 정량화 분석의 주요 장점은 다른 방법이 실패하는 짧은 데이터와 정지하지 않은 데이터에 대해서도 유용한 정보를 제공할 수 있다는 점이다.

RQA는 거의 모든 종류의 데이터에 적용될 수 있다. 생리학에서는 널리 쓰이나 공학, 화학, 지구과학 등의 문제에도 성공적으로 적용되었다.

RQA 대책

가장 간단한 방법은 반복률로, 반복도의 반복점 밀도:

${\displaystyle {\text{RR}}={\frac{1}{N^{2}}\sum _{i,j=1}^{N}\mathbf {R}(i,j)}$

재발률은 특정 상태가 재발할 확률과 일치한다. LOI가 계산에서 제외되는 상관관계 합계의 정의와 거의 같다.

다음 조치는 최소 길이의 반복 ${\displaystyle {그림}_{}}$에서 대각선을 형성하는 반복 점의 백분율(%)이다$.$ 【\$displaystyle \ell】{\min$ 】}$$:

${\displaystyle {\text{D}ET}}={\frac {\sum _{\ell =\ell _{\min }^{{N}\ell \,P(\ell )}{\sum _{\ell =1}^{N}\ell P(\ell )},},}$

여기서 $P{\displaystyle }$ (${\displaystyle \ell }$) ${\displaystyle P(\ell )}$은 대각선의 $길이$$$lines {\$displaystyle$\ell $}$의 주파수 분포(즉, 길이가 $have{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell }$인 인스턴스 수를 계산함). 이 척도를 결정론이라고 하며 역학계의 예측가능성과 관련이 있는데, 백색 노이즈에는 거의 하나의 점만 있고 대각선은 매우 적은 반면, 결정론적 과정에는 하나의 점만 매우 적지만 많은 긴 대각선이 있는 반복 플롯이 있기 때문이다.

수직선을 형성하는 반복 지점의 수는 동일한 방법으로 계량될 수 있다.

${\displaystyle {\text{LAM}}={\frac{\sum _{v=v_{\min }^{{N}vP(v)}{\sum _{v=1}^{{N}vP(v)}},}$

여기서 $P{\displaystyle }$(${\displaystyle v}$) ${\displaystyle P(v)}$은 수직선의 $길이$ v${\displaystyle v_$${\min$ }의 주파수 분포로$$, 최소 길이가 ${\displaystyle {vmin}_{}}$ ${\${\min $\}\}\}.$ 이 측정은 linarity라고 하며 시스템의 층상 양(간성)과 관련이 있다.

대각선과 수직선의 길이도 측정할 수 있다. 평균 대각선 길이

${\displaystyle {\text{L}}={\frac{\sum _{\ell =\ell _{\\}}^{{\n}\ell \,P(\ell )}{\sum _{\ell =\}}{\min }P(\ell )}}}}}}$

동적 시스템의 예측 가능 시간 및 수직선의 평균 길이를 측정하는 트래핑 시간과 관련이 있다.

${\displaystyle TT={\frac {\sum _{v=v_{\min }^{{N}vP(v)}{\sum _{v=v_{\min }^{N}P(v)}}}}}}}$

동적 시스템의 층층성 시간, 즉 시스템이 특정 상태로 유지되는 기간과 관련이 있다.

대각선의 길이는 위상 공간 궤적의 세그먼트가 평행하게 흐르는 시간, 즉 궤도의 발산 거동에 관련되기 때문에 대각선 최대 길이의 역수(LOI가 없는 경우)가 대각선 최대 길이의 역수(resistance)가 대각선 최대 리아푸노프 지수에서 양의 최대 리아푸노프 지수에 대한 추정기가 될 것이라고 명시되기도 했다. 동력 계통 따라서 최대 대각선 길이 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {max}_{}}$ ${\$ 또는 분기$$

${\displaystyle DIB={\frac {1}{L_{\max }}}}}$

또한 RQA의 조치들이다. 그러나 양수 최대치 랴푸노프 지수와의 이러한 측정치 사이의 관계는 언급된 것만큼 쉽지는 않지만 더욱 복잡하다(RP로부터 랴푸노프 지수를 계산하기 위해서는 대각선의 전체 주파수 분포를 고려해야 한다). 그 차이는 양의 최대치인 랴푸노프 지수의 추세를 가질 수 있지만 그 이상은 아니다. 더욱이 백색 소음 프로세스의 RP도 한정된 확률만으로 매우 드물기는 하지만 정말로 긴 대각선을 가질 수 있다. 따라서 이 발산에는 최대 랴푸노프 지수를 반영할 수 없다.

The probability ${\displaystyle p(\ell )}$ that a diagonal line has exactly length ${\displaystyle \ell }$ can be estimated from the frequency distribution ${\displaystyle P(\ell )}$ with ${\displaystyle p(\ell )={\frac {P(\ell )}{\sum _{\ell =l_{\min$$}}^{{N}P(\ell$ $)\}\}\}\}.$ 이 확률의 섀넌 엔트로피,

${\displaystyle {\text{ENTER}=-\sum _{\ell =\ell _{\min }^{N}p(\ell )\ln p(\ell ),}$

시스템 내 결정론적 구조의 복잡성을 반영한다. 그러나 이러한 엔트로피는 빈 숫자에 따라 민감하게 달라지기 때문에 데이터 준비뿐만 아니라 동일한 프로세스의 실현에 따라 다를 수 있다.

RQA의 마지막 척도는 반복 플롯의 소모를 계량화한다. 이 추세는 LOI와 평행한 선에서 반복 지점의 밀도와 LOI와의 거리 사이의 선형 관계에 대한 회귀 계수다. 보다 정확하게는 거리 k의 LOI에 평행한 대각선(대각선-와이드-와이드-와이드-와이드-와이드-와이드-와이드-와이드-와이드-와이드-와이드-와이드

${\displaystyle {\text{RR}}_{k}={\frac {1}{{N-k}}\sum _{J-i=k}^{N-k}\mathbf {R}(i,j),}$

그 다음 추세는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\text{TREND}}={\frac {\sum _{i=1}^{\tilde {N}}(i-{\tilde {N}}/2)(RR_{i}-\langle RR_{i}\rangle )}{\sum _{i=1}^{\tilde {N}}(i-{\tilde {N}}/2)^{2}}},}$

${\displaystyle ⟨}$ as$$${\displaystyle \langle$\langle \$cdot \rangle }$을(를) 평균 값으로 하고 ~< ${\displaystyle {\tilde{N}><N$ 이 후자의 관계는 반복 그림의 가장자리에서 너무 낮은 반복 지점 밀도의 가장자리 영향을 피하도록 보장해야 한다. 측정 트렌드는 시스템의 역점성에 대한 정보를 제공한다.

대각선 정의 반복률과 유사하게 대각선(DET, L, ENTER)에 기초한 다른 측정치는 대각선 정의가 가능하다. 이러한 정의는 서로 다른 시스템 간의 상호 관계 또는 동기화를 연구하는데 유용하다(재발 그림 또는 교차 재발 그림 사용).

시간에 따른 RQA

전체 반복 플롯의 RQA 측정값을 계산하는 대신 LOI를 따라 반복 플롯 위로 이동하는 작은 창에서 계산할 수 있다. 이것은 혼돈-차오 전환(Marwan et al. 2002)을 감지할 수 있는 시간 의존적 RQA 측정을 제공한다. 참고: 창 크기에 대한 선택은 측정 트렌드에 큰 영향을 미칠 수 있다.

예

적용들

경기순환과 경제발전의 특성을 파악하기 위해 재발 계량분석을 채택했다. 이를 위해 올랜도 외에서는 RQA의 상관관계를 샘플 신호로 테스트하기 위한 이른바 재발 정량화 상관지수를 개발한 후 영업시간 시리즈에 대한 적용 여부를 조사했다.^[1] 이 지수는 시계열의 숨겨진 변화를 감지하는 것으로 증명되었다. 또한,^[2] 광범위한 데이터 집합에 걸쳐 올랜도 외 연구진은 반복 정량화 분석이 1949년, 1953년 등과 같은 층수(즉, 정규)에서 난류(즉, 혼란) 단계로의 전환을 예상하는 데 도움이 될 수 있다는 것을 보여주었다. 마지막으로 중요한 것은 반복 정량화 분석이 거시경제 변수 간의 차이를 탐지하고 경제 역학의 숨겨진 특징을 강조할 수 있다는 것이다.

참고 항목

• 동적(및 기타) 시스템에서 재발의 강력한 시각화 도구인 반복도.
• 반복 기간 밀도 엔트로피, 결정론적 및 확률적 동적 시스템 모두의 반복 특성을 요약하기 위한 정보-이론적 방법.
• 근사 엔트로피

참조

추가 읽기

• Marwan, N. (2008). "A Historical Review of Recurrence Plots". European Physical Journal ST. 164 (1): 3–12. arXiv:1709.09971. Bibcode:2008EPJST.164....3M. doi:10.1140/epjst/e2008-00829-1.
• Marwan, N., Romano, M. C. ,Thiel, M. ,Kurths, J. (2007). "Recurrence Plots for the Analysis of Complex Systems". Physics Reports. 438 (5–6): 237–329. Bibcode:2007PhR...438..237M. doi:10.1016/j.physrep.2006.11.001.{{cite journal}}: CS1 maint : 복수이름 : 작성자 목록(링크)
• Marwan, N., Wessel, N., Meyerfeldt, U., Schirdewan, A., Kurths, J. (2002). "Recurrence Plot Based Measures of Complexity and its Application to Heart Rate Variability Data". Physical Review E. 66 (2): 026702. arXiv:physics/0201064. Bibcode:2002PhRvE..66b6702M. doi:10.1103/PhysRevE.66.026702. PMID 12241313.{{cite journal}}: CS1 maint : 복수이름 : 작성자 목록(링크)
• Marwan, N., Kurths, J. (2002). "Nonlinear analysis of bivariate data with cross recurrence plots". Physics Letters A. 302 (5–6): 299–307. arXiv:physics/0201061. Bibcode:2002PhLA..302..299M. doi:10.1016/S0375-9601(02)01170-2.{{cite journal}}: CS1 maint : 복수이름 : 작성자 목록(링크)
• Webber Jr., C. L., Zbilut, J. P. (1994). "Dynamical assessment of physiological systems and states using recurrence plot strategies". Journal of Applied Physiology. 76 (2): 965–973. doi:10.1152/jappl.1994.76.2.965. PMID 8175612.{{cite journal}}: CS1 maint : 복수이름 : 작성자 목록(링크)
• Zbilut, J.P., Webber Jr., C.L. (1992). "Embeddings and delays as derived from quantification of recurrence plots". Physics Letters A. 171 (3–4): 199–203. Bibcode:1992PhLA..171..199Z. doi:10.1016/0375-9601(92)90426-M.{{cite journal}}: CS1 maint : 복수이름 : 작성자 목록(링크)
• Pratyasa Bhui; Nilanjan Senroy (2016). "Application of Recurrence Quantification Analysis to Power System Dynamic Studies". IEEE Transactions on Power Systems. 31 (1): 581–591. Bibcode:2016ITPSy..31..581B. doi:10.1109/TPWRS.2015.2407894. 종이 번호. TPWRS-01211-2014
• Girault, J.-M. (2015). "Recurrence and Symmetry of time series : application to transition detection" (PDF). Chaos, Solitons & Fractals. 77: 11–28. Bibcode:2015CSF....77...11G. doi:10.1016/j.chaos.2015.04.010.

외부 링크

• http://www.recurrence-plot.tk/
• http://www.scitopics.com/Recurrence_Quantification_Analysis.html